Chuyên đề 16: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chương 
Chuyờn đề 16
 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUễNG
A. Kiến thức cần nhớ
1. Hai tam giỏc vuụng đồng dạng nếu:
- Tam giỏc vuụng này cú một gúc nhọn bằng gúc nhọn của tam giỏc vuụng kia;
- Tam giỏc vuụng này cú hai cạnh gúc vuụng tỉ lệ với hai cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng kia;
- Nếu cạnh huyền và một cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh gúc 
vuụng của tam giỏc vuụng kia.
2. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tớch của hai tam giỏc vuụng đồng dạng.
- Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giỏc đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
- Tỉ số diện tớch của hai tam giỏc đồng dạng bằng bỡnh phương tỉ số động dạng.
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Cho tam giỏc nhọn ABC cú đường cao CK. Dựng ra phớa ngoài tam giỏc ABC hai tam giỏc ACE 
và CBF tương ứng vuụng gúc tại E; F và thỏa món ÃCE = CãBA; BãCF = CãAB . Chứng minh rằng: 
CK 2 = AE.BF .
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Để chứng minh CK 2 = AE.BF chỳng ta khụng thể vận dụng định lý Ta-lột hay xột một 
cặp tam giỏc đồng dạng là xong ngay được. Do vậy, chỳng ta suy luận để tạo ra CK 2 , chỳng ta cần ghộp 
CK vào hai cặp tam giỏc đồng dạng. Mỗi cặp tam giỏc đồng dạng đú đều biểu thị CK dưới dạng biểu thức 
(chứa AE hoặc BF). Dễ dạng nhận thấy cú hai cặp tam giỏc đồng dạng thỏa món điều kiện trờn.
* Trỡnh bày lời giải
DACK và DCBF cú : CãKA = BãFC = 90°; CãAK = BãCF
 CK BF
ị ∆ACK  ∆CBF (g.g) ị = (1).
 CA BC
Tương tự, ta cú: ∆BCK  ∆CAE (g.g)
 CK AE
ị = (2)
 CB AC
Nhõn từng vế của (1) và (2) ta được:
CK CK BF AE
 . = . ị CK 2 = AE.BF .
CA CB BC AC
Vớ dụ 2: Cho hỡnh bỡnh hành ABDC (AC > BD) vẽ CE vuụng gúc với AB tại E, vẽ CF vuụng gúc với AD 
tại F. Chứng minh rằng: AB.AE + AD.A F = AC2 .
 Giải DBIM  DBDC (g-g)
 BM BI
ị = ị BM.BD = BC.BI . (1)
 BC BD
 CM CI
Tương tự: DACB DICM (g-g) ị = ị CM.CA = BC.CI (2)
 BC CA
Từ (1) và (2) cộng vế với vế, suy ra:
BM.BD + CM.CA = BC.BI + BC.CI = BC(BI + CI)= BC2 (khụng đổi)
 BH HD 2.HP HD HP HD
c) Xột DBHD DDHC (g-g) ị = ị = ị =
 DH HC 2.HQ HC HQ HC
ị DHPD DHQC (c-g-c) ị PãDH = QãCH
Mà HãDP + DãPC = 90° ị HãCQ + DãPC = 90° ị CQ ^ PD
Vớ dụ 4. Cho tam giỏc ABC. Lấy điểm E, F, P lần lượt thuộc AB, AC, BC sao cho BEFP là hỡnh bỡnh 
hành. Biết rằng diện tớch DAEF và CFP lần lượt là 16cm2 ; 25cm2 . Tớnh diện tớch DABC .
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Khi vẽ hỡnh xong, chỳng ta cú hai hướng suy luận:
Vỡ tam giỏc AEF, FPC cựng đồng dạng với tam giỏc ABC nờn chỳng ta tỡm mối liờn hệ giữa tỷ số hai tam 
giỏc đồng dạng.
Hướng thứ hai, để tớnh diện tớch tam giỏc ABC, chỳng ra tỡm cỏch tớnh diện tớch hỡnh bỡnh hành. Nhận 
thấy tam giỏc BEF và BPF cú diện tớch bằng nhau, mặt khỏc tam giỏc AEF và BEF cú chung đường cao 
kẻ từ F; tam giỏc BPF và CPF cú chung đường cao kẻ từ F. sử dụng tớnh chất đú, kết hợp với định lý Ta-
lột, chỳng ta cú lời giải hay.
* Trỡnh bày lời giải
Cỏch 1. Ta cú: DAEF DABC ; DFPC DABC nờn:
 2
S ổEF ử S EF
 AEF = ỗ ữ ị AEF =
S ốỗBCứữ BC
 ABC SABC
 2
S ổCP ử S CP
 FPC = ỗ ữ ị FPC =
S ốỗBCứữ BC
 ABC SABC
 S + S EF CP
Từ đú suy ra AEF FPC = + = 1
 BC BC
 SABC
 2 2
Hay SABC = SAEF + SFPC = 4 + 5 ị SABC = 9 = 81cm .
 2
Cỏch 2. Đặt SBFE = SBFP = x cm .
Tam giỏc AEF và BEF cú chung đường cao kẻ từ F, suy ra: SIMF + SPQK + SPFN MF + QK + FN
ị = = 1
 BC
 SABC
ị SABC = SIMF + SPQK + SPFN = 3+ 5+ 4 = 12
 2
ị SABC = 144cm .
Nhận xột: Như vậy, với cỏc giải trờn, chỳng ta hoàn toàn làm được bài toỏn tổng quỏt sau: Cho tam giỏc 
ABC. Qua điểm F nằm trong tam giỏc kẻ MN / /BC;PQ / / AB; IK / / AC 
(I, M ẻ AB; N,P ẻ AC;Q,K ẻ BC).
 2 2 2
Đặt SIMF = a ;SPFN = b ; SFQK = c (a;b;c > 0)
 2
Chứng minh rằng: SABC = (a + b + c) .
Vớ dụ 6. Cho tam giỏc ABC. Qua điểm F nằm trong tam giỏc kẻ MN // BC, PQ // AB, IK // AC (
I, M ẻ AB , N,P ẻ AC; Q,K ẻ BC ). Đặt diện tớch tam giỏc ABC là S. Tỡm vị trớ điểm F để tổng 
T = SAPFI + SMBQF + SCNFK đạt giỏ trị lớn nhất.
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Tương tự vớ dụ trờn, chỳng ta đặt:
 2 2 2
SIMF = a ;SPFN = b ; SFQK = c (a;b;c > 0)
Chỳng ta hoàn toàn biểu thị tổng T = SAPFI + SMBQF + SCNFK theo a, b, c. Vậy hiển nhiờn để tỡm giỏ trị lớn 
 1 2
nhất chỳng ta dựng cực trị đại số với chỳ ý rằng ab + bc + ca Ê (a + b + c) .
 3
* Trỡnh bày lời giải
 2 2 2
Đặt SIMF = a ;SPFN = b ; SFQK = c (a;b;c > 0)
Ta cú: ị SABC = SIMF + SFQK + SPFN
 2
Hay SABC = (a + b + c) .
ị SAPFI + SMBQF + SCNFK = SABC - (SIMF + SPFN + SFQK )
 2
ị T = (a + b + c) - (a2 + b2 + c2 )
 2 2 2
T = 2(ab + bc + ca)Ê (a + b + c) = S
 3 3
 2
Vậy T = S khi a = b = c hay F là trọng tõm của tam giỏc ABC
 3
Vớ dụ 7. Cho tấm bỡa hỡnh thang ABCD cú À= Dà= 90°, AD = 4cm; AB = 32cm, CD = 64cm . Gấp tấm 
bỡa lại để cho hai điểm C và B trựng nhau. Tớnh độ dài của nếp gấp. Mặt khỏc ta cú: HãNE = Mã ED (cựng phụ với HãEN );
DãME = NãHE , nờn ∆HNE  ∆MED
 HN HE 2HN HE 2HN BM
ị = ị = ị =
 ME DM BC DM BC DM
 BM BH 2HN BH BH.BC
Mặt khỏc = ị = ị HN =
 DM HA BC HA 2.HA
Vậy N là điểm cố định
 1
Nhận xột: Điểm mấu chốt của bài là khai thỏc điều kiện “Hỡnh chiếu của DE bằng BC ” để từ đú xỏc 
 2
định việc kẻ thờm đường phụ.
C. Bài tập vận dụng
16.1. Cho tam giỏc ABC cú hai gúc B và C thỏa món điều kiện Bà- Cà= 90°. Kẻ đường cao AH. Chứng 
minh rằng: AH 2 = BH.CH
16.2. Cho tam giỏc nhọn ABC cú hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng 
BH.BD + CH.CE = BC2 .
16.3. Cho tam giỏc ABC cõn tại A (À< 90°), đường cao AD, trực tõm H. Chứng minh hệ thức 
CD2 = DH.DA
16.4. Cho tứ giỏc ABCD cú ÃBD = ÃCD = 90° . Gọi I, K thứ tự là hỡnh chiếu của B, C trờn cạnh AD. 
Gọi M là giao điểm của CI và BK, O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng OM ^ AD .
16.5. Cho DABC cố định cú cỏc gúc B, C nhọn và hỡnh chữ nhật MNPG thay đổi nhưng luụn cú M, N 
trờn cạnh BC cũn P, Q lần lượt trờn cạnh AC và AB. Xỏc định vị trớ của cỏc điểm P, Q sao cho hỡnh chữ 
nhật MNPQ cú diện tớch lớn nhất.
16.6. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Hỡnh chữ nhật MNPQ thay đổi thỏa món M thuộc cạnh AB, N 
thuộc cạnh AC và P, Q thuộc cạnh BC. Gọi giao điểm của BN với MQ là K, của CM và NQ là L. Chứng 
minh rằng KãAB = LãAC .
16.7. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Một hỡnh vuụng nối tiếp tam giỏc ABC với D thuộc cạnh AB, E 
thuộc AC và F, G thuộc cạnh BC. Gọi H là giao điểm của BE và DG, I là giao điểm của CD và EF. 
Chứng minh rằng IE = HG.
16.8. Cho hỡnh vuụng ABCD, F là trung điểm của AD và E là trung điểm của FD, Cỏc đường thẳng BE 
và CF cắt nhau tại G. Tớnh tỉ số diện tớch của tam giỏc EFG với diện tớch hỡnh vuụng ABCD. 16.18. Qua điểm M thuộc cạnh BC của tam giỏc ABC kẻ cỏc đường thẳng song song với cỏc cạnh AB và 
AC, chỳng tạo thành với hai cạnh ấy một hỡnh bỡnh hành. Tỡm vị trớ của điểm M để hỡnh bỡnh hành đú cú 
diện tớch lớn nhất.
(Thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Hồ Chớ Minh, năm học 2014 – 2015) ÃOB = DãOC; ÃBO = DãCO
 BO OC
ị ∆AOB  ∆DOC(g.g) ị = (3)
 AB CD
 EO OF OE IB
Từ 91), (2), và (3) suy ra: = ị = (4)
 IB CK OF CK
 IB BM
Ta cú: BI / /CK nờn = . (5)
 CK MK
 OE BO
Ta cú: ∆BEO  ∆NFO (g.g) ị = (5)
 OF ON
 BM BO
Từ (5) và (6) suy ra = , do đú OM / /NK (định lý Ta-lột đảo) hay OM ^ AD .
 MK ON
16.5. Gọi AH là đường cao của ABC, AH cắt PQ tại I.
Đặt BA = a; AH = h; PQ = x; MQ = y
Ta cú: AI = h- y
 PQ AI x h- y a(h- y)
Vỡ ∆APQ  ∆ACB nờn = Û = ị x =
 BC AH a h h
 a
 ị S = xy = (h- y)y
 MNPQ h
 2
 ổa + bử
Vỡ a, h là cỏc hằng số dương nờn S lớn nhất khi (h- y)y lớn nhất. Áp dụng hệ thức: ab Ê ỗ ữ , ta cú:
 ốỗ 2 ứữ
 2
 ổh- y + yử h2 a h2 ah
Mà (h- y)y Ê ỗ ữ = ị S Ê . = .
 ốỗ 2 ứữ 4 MNPQ h 4 4
 ah
Vậy giỏ trị lớn nhất của S là 
 4
 h
Khi h- y = y Û y = tức P, Q lần lượt là trung điểm của AC, 
 2
AB.
16.6. Lấy U, V theo thứ tự thuộc AK, AL sao cho
ÃBU = ÃCV = 90° , Ta cú:
 BU BK
NA / /BU ị = (1)
 NA NK
 NA BK
MN / /BC ị = (2)
 MA NK
 MA ML
MA / /VC ị = (3)
 CV CL
Từ (1), (2) và (3) suy ra: