Chuyên đề 15: Số nguyên tố, hợp số - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8

 CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ
A- LÝ THUYẾT
 KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Ước và bội:
 Nếu a  b thì a la bội của b và b là ước của a.
II. Số nguyờn tố
 1/ Định nghĩa
a) Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.
 Ví dụ: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19....
b) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.
 Ví dụ: 4 có 3 ước số: 1 ; 2 và 4 nên 4 là hợp số.
c) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số
d) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố
 2/ Một số định lý cơ bản
 a) Định lý 1: Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn
 Chứng minh:
 Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p 1; p2; p3; ....pn. trong đó p n là số lớn nhất 
trong các nguyên tố. Xét số N = p1 p2 ...pn +1 thì N chia cho mỗi số nguyên tố pi (1  i 
 n) đều dư 1 (1)
 Mặt khác N là một hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là p n) do đó N phải 
có một ước nguyên tố nào đó, tức là N chia hết cho một trong các số pi 
(1  i  n). (2)
 Ta thấy (2) mâu thuẫn (1).
 Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố.
 b/ Định lý 2:
 Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy 
nhất (không kể thứ tự các thừa số).
 Chứng minh:
 * Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố:
 Thật vậy: giả sử điều khẳng định trên là đúng với mọi số m thoả mãn: 1< m < n 
 ta chứng minh điều đó đúng với mọi n.
 Nếu n là nguyên tố, ta có điều phải chứng minh.
 Nếu n là hợp số, theo định nghĩa hợp số, ta có: n = a.b (với a, b < n)
 Theo giả thiết quy nạp: a và b là tích các thừa số nhỏ hơn n nên n là tích cuả các 
thừa số nguyên tố.
 1 + Nếu a chia hết cho 1 trong 4 số đó thì a là hợp số.
 + Nếu a không chia hết cho số nào đó trong 4 số trên thì a là số nguyên tố.
 Với quy tắc trên trong một khoản thời gian ngắn, với các dấu hiệu chia hết thì học 
sinh nhanh chóng trả lời được một số có hai chữ số nào đó là nguyên tố hay không.
 Hệ quả:
 Nếu có số A > 1 không có một ước số nguyên tố nào từ 2 đến A thì A là một 
nguyên tố.
 (Do học sinh lớp 6 chưa học khái niệm căn bậc hai nên ta không đặt vấn đề chứng 
minh định lý này, chỉ giới thiệu để học sinh tham khảo.).
 4/ Số các ước số và tổng các ước số của 1 số:
 X1 X2 Xn
 Giả sử: A = p1 . p2 ......pn
 Trong đó: pi P ; xi N ; i = 1, n 
 a) Số các ước số của A tính bằng công thức:
 T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) .....(xn + 1)
 Ví dụ: 30 = 2.3.5 thì T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8
 Thật vậy: Ư(30) = 1;2;3;5;6;10;15;30
 Ư(30) có 8 phân tử
 Ứng dụng: Có thể không cần tìm Ư(A) vẫn biết A có bao nhiêu ước thông qua việc 
phân tích ra thừa số nguyên tố.
 3100 có (100 + 1) = 101 ước
 1 000 000 000 = 109 = 29.59 có (9 + 1)(9+1) = 100 ước
 Ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ước của một số các em có thể tin 
tưởng khi viết một tập hợp ước của một số và khẳng định đã đủ hay chưa.
 b) Tổng các ước một số của A tính bằng công thức:
 p X1 + 1 - 1 p X2 + 1 - 1 p Xn + 1 - 1
 (A) = 1 . 2  n
 p1 - 1 p2 - 1 pn - 1
 5/ Hai số nguyên tố cùng nhau:
 1- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước 
chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1.
 a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) = 1 a,b N
 2- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
 3- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
 4- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau (a,b,c) = 1
 5- a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
 a,b,c nguyên tố sánh đôi (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1
 6/ Một số định lý đặc biệt
 a) Định lý Đirichlet
 Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng:
 p = ax + b (x N, a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau).
 3 - Số 0 và số 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp số. Các số nguyên tố nhỏ 
hơn 10 là: 2, 3, 5, 7.
 - Số nguyên tố nhỏ nhất là 2, hai là số nguyên tố chẵn duy nhất.
 - Để kết luận một số a > 1 là một số nguyên tố, ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó không 
chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a, tức là p2 < a.
 - Số nguyên tố 2 và 3 đều có dạng: 6n + 1 với n N*
B- CÁC DẠNG BÀI TẬP:
 Dạng 1: Toán tìm số nguyên tố
 Dạng 2: Chứng minh một số là số nguyên tố hay hợp số.
 Dạng 3: Số nguyờn tố - hợp số. Phõn tớch một số ra thừa số nguyờn tố
 I- BÀI TẬP VẬN DỤNG DẠNG 1:
Bài tập số 1:Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố.
 Bài làm:
 Số p có một trong 3 dạng: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với (k N*)
 - Nếu p = 3k thì p = 3 (vì p là số nguyên tố), khi đó p + 2 = 5, p + 4 = 7 đều là các 
số nguyên tố.
 - Nếu p = 3k + 1 thì p +2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và > 3 nên p + 2 là hợp số (trái với 
giả thiết).
 - Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và > 3 nên p + 4 là hợp số (trái với 
giả thiết).
Bài tập số 2: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r, r là hợp số. Tìm r
 Bài làm:
 Ta có p = 42k + r = 2.3.7.k + r (k , r N, 0 < r < 42)
 Vì p là số nguyên tố nên r không chia cho hết 2, 3, 7. Các hợp số < 42 và không chia 
hết cho 2 là 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39.
 Loại đi các số chia hết cho 3, các số chia hết cho 7 thì ta được r = 25.
 Vậy r = 25
Bài tập số 3:
 Tìm tất cả các giá trị của số nguyên tố p để: p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố.
 Bài làm: (Phương pháp: Chứng minh duy nhất)
 + Nếu p = 3 thì p + 10 = 3 + 10 = 13
 và p + 14 = 3 + 14 = 17 đều là các số nguyên tố
  p = 3 là giá trị cần tìm
 + Nếu p 3 => p có dạng 3k + 1 hoặc dạng 3k – 1
 5 Theo định lý Fermatm ta có: p | 2p-1 – 1
 Mà p | 2p + 1 (giả thiết) => p | 2.2p-1 – 2 + 3
 => p | 2(2p-1 – 1) + 3
 => p | 3 [vì p | 2(2p-1 – 1)]
 Vì p P p | 3 => p = 3
 Vậy: p = 3 là số nguyên tố thoả mãn tính chất p | 2p + 1
 Tóm lại:
 Các bài toán thuộc dạng: Tìm số nguyên tố thoả mãn các điều kiện cho trước là loại 
toán không khó trong các loại bài toán về số nguyên tố. Qua loại toán này, giáo viên cần 
cố gắng trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất về số nguyên tố. Đặc biệt giúp 
học sinh nắm vững: Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất và nhỏ nhất của tập số nguyên tố.
 Dựa vào cách viết số nguyên tố dạng a.x + b, (a,b) = 1. Rèn kỹ năng xét các trường 
hợp có thể xảy ra, phương pháp loại trừ các trường hợp dẫn đến điều vô lý.
 Qua dạng toán này, giáo viên cần giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic, tư duy sáng 
tạo, tính tích cực chủ động khi làm bài.
 II- BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1:
 TOÁN TÌM SỐ
Bài tập 1: Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
a) p + 94 và p + 1994
Bài 2. a) p + 10 và p + 14
 b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14
B ài 3 
 a) p + 2 và p + 10.
 b) p + 10 và p + 20
 c) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14
Bài 4. p và p +3
Bài 5. p + 4 và p +8
Bài 6
 a) 2p – 1 và 4p - 1
 b) 2p +1 và 4p +1
 c) p +2, p + 8, p +14, p +26
 d) p +2, p +8, 4p2 + 1
 7 Bài 2.11: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số giống nhau sao cho chỉ có hai ước là số nguyên tố.
 TOÁN VỀ PHÉP CHIA
Bài tập 4.17: Một số nguyên tố chia hết cho 30 có số dư là r. Tìm r biết rằng: r không là số 
nguyên tố.
Bài 1.1: Tìm số chia và thương của một phép chia biết số bị chia bằng 1339 và số chia là 
số tự nhiên có hai chữ số.
Bài 1.3: Tìm số chia và thương của một phép chia biết số bị chia bằng 213, số dư bằng 10.
Đề 23: : Tìm số chia và thương của một phép chia biết số bị chia bằng 145, dư 12, thương 
khác 1, số chia và thương đều là số tự nhiên.
Bài 1.2 : Tìm số a biết rằng 559 chia hết cho a và 20 < a < 100
 III- BÀI TẬP VẬN DỤNG DẠNG 2:
Bài tập số 1: Chứng minh rằng các số sau đây là hợp số:
 a) 1 + 27 + 311+ 513 + 717 + 1119 c) 42525 - 3715
 b) 21123 + 23124 + 25125 d) 195354 - 15125
Bài làm:
 Nhận xét: 
 + Các chữ số cuối cùng của 1n là 1
 + Các chữ số cuối cùng của 5n là 5 với n > 0
 + Các chữ số cuối cùng của 22 được lặp lại theo chu kỳ: 4k + m (với k N, m = 0, 1, 
2, 3), tức là:
 - n = 0, 4, 8, ..., 4k + 0 có chung chữ số cuối cùng là 6
 - n = 1, 5, 9, ..., 4k + 1 có chung chữ số cuối cùng là 2
 - n = 2, 6, 10, ..., 4k + 2 có chung chữ số cuối cùng là 4
 - n = 3, 7, 11, ..., 4k + 3 có chung chữ số cuối cùng là 8
 + Các chữ số cuối cùng của 3n được lặp lại theo chu kỳ 4k + m (với k N, m = 0, 1, 
2, 3), tức là:
 - n = 0, 4, 8, ..., 4k + 0 có chung chữ số cuối cùng là 1
 - n = 1, 5, 9, ..., 4k + 1 có chung chữ số cuối cùng là 3
 - n = 2, 6, 10, ..., 4k + 2 có chung chữ số cuối cùng là 9
 9 2) a) Khi chia một số tự nhiên A > 2 cho 4 thì được các số dư 0, 1, 2, 3. Trường hợp có số 
dư 0 và 2 thì A là hợp số ta không xét, chỉ còn một trường hợp có số dư là 1 hoặc 3.
 Với trường hợp số dư là 1, ta có A = 4n + 1
 Với trường hợp số dư là 3, ta có A = 4m + 3
 b) Khi chia một số tự nhiên A cho 6 thì ta có các số dư 0, 1, 2, 3.4, 5 Trường hợp số 
dư 0, 2, 3, 4 ta có A  3 nên A là hợp số với trường hợp dư là 1, thì A = 6n + 1
 Với trường hợp số dư là 1, thì A = 6n + 1
 Với trường hợp số dư là 5, thì A = 6m + 5 = 6m + 6 - 1
 = 6(m+1)-1
 = 6n-2 (với n = m+ 1)
Bài tập số 3: CMR: Nếu 2n- 1 (n > 2) thì 2n + 1 là hợp số.
 Bài làm:
 Xét số A = (2n-1) . 2n. (2n+1)
 A là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên A  3
 Mặt khác 2n - 1 là số nguyên tố (theo giả thiết)
 2n không chia hết cho 3
 Vậy 2n+1 phải chia hết cho 3 (đpcm)
Bài tập số 4:
 Chứng minh rằng: (p – 1)! chia hết cho p nếu p là hợp số, không chia hết cho p nếu 
p là số nguyên tố.
 Bài làm:
 +) Xét trường hợp p là hợp số:
 Nếu p là hợp số thì p là tích của các thừa số nguyên tố nhỏ hơn p và số mũ các 
luỹ thừa này không thể lớn hơn số mũ của chính các luỹ thừa ấy chứa trong (p – 1)!.
 Vậy: (p – 1) !: p (điều phải chứng minh).
 +) Xét trường hợp p là số nguyên tố:
 Vì p P => p nguyên tố cùng nhau với mọi thừa số của (p –1)!
 (vì p > p-1 => (p – 1)! : p (điều phải chứng minh)
Bài tập số 5:
 Cho 2m – 1 là số nguyên tố
 Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố.
 Bài làm:
 Giả sử m là hợp số => m = p.q ( p, q N; p, q > 1)
 Khi đó: 2m – 1 = 2p,q - 1 = (2p)q – 1 
 = (2p – 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1)
 vì p > 1 (giả thiết) của điều giả sử => 2p – 1 > 1
 11