Chuyên đề 15: Phương trình, phương trình bậc nhất một ẩn - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chương III
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Chuyên đề 15. PHƯƠNG TRÌNH. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình:
 ⁕ Một phương trình một ẩn x có dạng A(x) B(x) , trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu 
 thức của cùng một biến x
 ⁕ Nghiệm của phương trình: Giá trị của biến thỏa mãn (hay nghiệm đúng) phương trình đã cho
 ⁕ Giải phương trình: Tìm tập nghiệm của phương trình.
 ⁕ Hai phương trình tương đương: có cùng một tập nghiệm.
2. Hai quy tắc biến đổi phương trình:
 a) Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi 
 dấu hạng tử đó.
 b) Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình ta có thể nhân (hoặc chia) cả hai vế với (cho) cùng 
 một số khác 0.
 ⁕ Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương 
 đương với phương trình đã cho.
3. Phương trình bậc nhất một ẩn:
 ⁕ Phương trình có dạng ax b 0 với a, b là hai số đã cho và a 0
 b
 ⁕ Phương trình ax b 0 (a 0) luôn có nghiệm duy nhất: x=-
 a
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho các phương trình
 5x2 3y 4 3x 8y ; 2,5x 10 0 và 4x2 6x 5x 108
 Trong các phương trình trên:
 a) Phương trình nào là phương trình một ẩn?
 b) Phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?
 c) Số nào trong tập S { 4;0;4} là nghiệm của phương trình một ẩn?
 Giải
a) Các phương trình 2,5x 10 0 và 4x2 6x 5x 108 là phương trình một ẩn.
b) Phương trình 2,5x 10 0 là phương trình bậc nhất một ẩn.
c) Lần lượt thay các giá trị x 4;0;4 vào từng phương trình một ẩn ta có:
 ⁕ Với x 4 thì 2,5.4 10 0
 nên x 4 là nghiệm của phương trình 2,5x 10 0
 ⁕ Với x 4 thì 4x2 6x 4.( 4)2 6.( 4) 64 24 88 b) x 1 là nghiệm của phương trình (2) vì thay vào làm 2 vế cùng có giá trị 0. 
 Nhưng không là nghiệm của phương trình (1) và (3) vì khi thay vào 2 phương trình làm hai vế có giá trị 
 khác nhau.
c) Tương tự cách 1.
Ví dụ 3: Cho phương trình với a là tham số: (a2 3a 10)x2 a 2 (1)
 Chứng minh rằng:
 a) Với a 2 phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá trị của x.
 b) Với a 5 phương trình (1) vô nghiệm.
 c) Với a 5 phương trình (1) tương đương với phương trình
 (a 5)x 2016 0 (2)
⁕ Tìm cách giải: Với mọi giá trị của ẩn x:
- Nếu hai vế của phương trình luôn có giá trị bằng nhau thì phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của 
 x(x) . Tập nghiệm là R.
- Nếu hai vế của phương trình luôn có giá trị khác nhau thì phương trình vô nghiệm. Tập nghiệm là  .
- Hai phương trình cùng vô nghiệm được coi là hai phương trình tương đương.
 Giải
a) Với a 2 phương trình (1) có dạng (22 3.2 10)x2 2 2
 hay 0x2 0 . Phương trình (1) nghiệm đúng x .
b) Với a 5 phương trình (1) có dạng (25 15 10)x2 5 2
 hay 0x2 7 . Phương trình vô nghiệm vì hai vế của phương trình luôn có giá trị khác nhau x . Tập 
 nghiệm của phương trình là  .
c) Với a 5 phương trình (2) trở thành 
 ( 5 5)x 2016 0 hay 0x 2016 0. Phương trình này cũng vô nghiệm vì vế trái khác 0, x . Tập 
 nghiệm của phương trình là  cùng tập nghiệm với phương trình 0x2 7 . Do đó hai phương trình 
 0x 2016 0 và 0x2 7 tương đương.
Ví dụ 4: Bằng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân hãy giải các phương trình:
 a) (x 2) (2x 4) (3x 6) ... (50x 100) 2550 (1)
 b) 2x 6 4 3x (2)
⁕ Tìm cách giải:
 Câu a) lưu ý sử dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cộng (từ số thứ hai, các số đều bằng số 
 liền trước cộng với cùng một số):
 1
 Tổng (số hạng đầu + số hạng cuối) x Số số hạng. 
 2
 A neu A 0 
 Câu b) sử dụng định nghĩa về giá trị tuyệt đối: nếu A .
 A neu A<0 (5x 15)(x2 1) 0 3x 20 11.
d) Nếu a 0 thì 5x 9 11 a(5x 9) 11a theo quy tắc nhân.
 Nếu a 0 thì a(5x 9) 11a trở thành 0x 0 0 phương trình này nghiệm đúng với mọi x nên không 
 tương đương với phương trình 5x 9 11 có một nghiệm duy nhất là x 4 .
 ⁕ Nhận xét:
 1
 b) Để ý rằng nhân hai vế với nghĩa là chia cả hai vế cho 3.
 3
 c) Khi áp dụng quy tắc nhân phải lưu ý số nhân (hay chia) phải khác 0.
Ví dụ 6. Cho phương trình (m2 9)x2 2(m 3)x 49 0 với m là số đã cho.
 a) Tìm giá trị của m để phương trình trở thành phương trình bậc nhất có một ẩn số và giải phương trình 
 bậc nhất ẩn vừa tìm được;
 b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm là x 2 .
⁕ Tìm cách giải: a) Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax b 0,(a 0) . Để phương trình đã cho trở 
 thành phương trình bậc nhất một ẩn thì hệ số của x2 là m2 9 0 và hệ số của x là m 3 0 .
 b) x x0 là nghiệm của phương trình A(x) B(x) nếu A(x0 ) B(x0 )
 Giải
 2 m 3
 m 9 0 (m 3)(m 3) 0 
a) Ta có m 3 m 3
 m 3 0 m 3 
 m 3
 Với m 3 phương trình trở thành (9 9)x2 2( 3 3)x 49 0 hay 0x2 12x 49 0 hay 
 12x 49 0 là phương trình bậc nhất có một ẩn số.
 49 1
 Nghiệm của phương trình là x 4 .
 12 12
b) Để phương trình có nghiệm là x 2 ta phải có:
 (m2 9).22 2(m 3).2 49 0
 4m2 36 4m 12 49 0 4m2 4m 1 0
 1
 (2m 1)2 0 2m 1 0 m .
 2
Ví dụ 7. Giải phương trình:
 (x 1) (x 2) (x 3) ... (x 2015) 0 .
⁕ Tìm cách giải: Vế trái của phương trình là tổng của 2015 các hạng tử, mỗi hạng tử là một hiệu giữa x và 
 một số tự nhiên từ 1 đến 2015. Vậy ta có 2015x còn tổng đại số 1 2 3 ... 2015 ta viết thành 
 (1 n)n
 (1 2 3 ... 2015) và sử dụng công thức tính tổng của n số tự nhiên khác 0 đầu tiên S để 
 n 2
 tính. z2 (z 5) 2(z 5) (z2 2)(z 5)
 c) VT z 5 VP
 z2 2 z2 2
15.3. Chứng minh rằng phương trình 2016x 2016x 0 nghiệm đúng x 0 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
 x 0 thì 2016x 2016x . Khi đó 2016x 2016x 0
 2016x 2016x 0 0x 0 nghiệm đúng x 0 .
15.4. Chứng minh rằng mỗi phương trình sau vô nghiệm:
 a) 5(x 4) 5x 15; b) (2y 3)2 5 y2 ;
 2z2 7z 15
 c) 2z 5 ; d) t 2 10 3 t 2 .
 z 5
 Hướng dẫn giải – đáp số
 a) x VT luôn lớn hơn VP 5 đơn cị;
 b) y VT 0;VP 0
 c) Khi z 5 vế phải không có nghía.
 Khi z 5
 2z2 7z 15 2z2 10z 3z 15 (2z 3)(z 5)
 VP 2z 3 (2z 5) 2 ;
 z 5 z 5 z 5
 Vế phải luôn lớn hơn vế trái 2 đơn vị.
 d) t thì VT 0 còn VP 0 .
15.5. Cho phương trình (m2 9m 20)x2 m 4 chứng minh rằng:
 a) Với m 4 phương trình nghiệm đúng x ;
 b) Với m 5 phương trình vô nghiệm;
 c) Với m 0 phương trình vô nghiệm;
 d) Với m 6 phương trình có hai nghiệm là x 1 và x 1.
 Hướng dẫn giải – đáp số
 a) Với m 4 phương trình có dạng 0x2 0 nghiệm đúng x .
 b) Với m 5 phương trình có dạng 0x2 1 vô nghiệm.
 c) Với m 0 phương trình có dạng 20x2 4 vô nghiệm vì 20x2 0,x
 d) Với m 6 phương trình có dạng 2x2 2 x2 1 x 1.
2. Phương trình tương đương
15.6. Các cặp phương trình nào sau đây tương đương. Tại sao?
 a) 2x 5 0 và x 2,5 ; b) x 6 0 và (x 6)(x 6) 0 ;
 c) (x 1)2 4 0 và 3(x 5) 3x 2 .
 Hướng dẫn giải – đáp số 1
 c) Với m 5 ta có 32x 3 5 x ;
 16
 3 1
 d) Với m 0 ta có 18x 3 0 x .
 18 6
15.11. Cho phương trình 5x 2n 8 2x 7 với n là một số.
 a) Biết x 3 là nghiệm của phương trình. Tìm n;
 b) Giải phương trình trên khi n 2017 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
 a) x 3 là nghiệm của phương trình nên
 15 2n 8 6 7 2n 15 8 6 7 2n 10 n 5 .
 b) Khi n 2017 ta có phương trình 5x 4034 8 2x 7 .
 5x 2x 7 4034 8 3x 4035 x 1345 .
15.12. Giải các phương trình: 
 (x 1) (2x 3) (3x 5) ... (50x 99) 5050 .
 Hướng dẫn giải – đáp số
 Vế trái là tổng của 50 hạng tử, mỗi hạng tử chứa trong dấu ( ) là một tổng 2 số hạng, một số hạng chứa x 
 và hệ số của x lần lượt là thứ tự của các hạng tử, số hạng kia lần lượt là các số lẻ từ 1 đến 99. Số các số lẻ 
 cũng là 50 số.
 Do đó (x 1) (2x 3) (3x 5) ... (50x 99) 5050
 x 2x 3x ... 50x 1 3 5 ... 99 5050 .
 x(1 2 3 ... 50) (1 3 5 ... 99) 5050
 (1 50).50 (1 99).50
 x 5050 1275x 2500 5050
 2 2
 1275x 5050 2500 1275x 2550 x 2 .
15.13. Cho phương trình (x 1) (2x 4) (3x 7) ... (nx 61) 420 .
 a) Tính n; b) Giải phương trình.
 Hướng dẫn giải – đáp số
 Ta biết dãy số cộng (từ số thứ hai, các số đều bằng số liền trước cộng với cùng một số; số được cộng vào 
 ta gọi là khoảng cách) có cách tính số số hạng là: [|số cuối-số đầu|:khoảng cách]+1
 Vế trái của phương trình sẽ có 1 4 7 ... 61 là tổng các số hạng của dãy số cộng có khoảng cách (hay 
 công sai) là 3. Do đó số số hạng của tổng sẽ là (61 1) :3 1 21.
 Ta có: (x 1) (2x 4) (3x 7) ... (nx 61) 420
 (x 2x 3x ... nx) (1 4 7 ... 61) 420
 61 1
 a) n chính là số số hạng của tổng 1 4 7 ... 61;n 1 21.
 3
 b) Phương trình trở thành: