Chuyên đề 15: Các trường hợp đồng dạng của tam giác - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chuyờn đề 15.
 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM TÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Khỏi niệm hai tam giỏc đồng dạng
a. Định nghĩa
ΔA B C được gọi là đồng dạng với ΔABC nếu: 
àA àA; Bà Bà ; Cà Cà ; 
A B A C B C 
 AB AC BC
b. Tớnh chất
- Mỗi tam giỏc đồng dạng với chớnh nú.
- Nếu ΔA B C ∽ ΔABC thỡ ΔABC ∽ ΔA B C .
- Nếu ΔA B C ∽ ΔA B C và ΔA B C ∽ ΔABC thỡ ΔA B C ∽ ΔABC
c. Định lớ
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giỏc và song song với cạnh cũn lại thỡ nú tạo thành một tam 
giỏc mới đồng dạng với tam giỏc đó cho.
ΔABC 
  AMN ∽ ΔABC .
MN / /BC
Chỳ ý. Định lý cũng đỳng cho trường hợp đường thẳng cắt phần kộo dài hai cạnh của tam giỏc và song 
song với cạnh cũn lại.
2. Trường hợp đồng dạng thứ nhất
Nếu ba cạnh của tam giỏc này tỉ lệ với ba cạnh của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng.
Nếu ΔABC và ΔA B C cú: 
 AB BC CA
A B B C C A 
 ΔABC ∽ ΔA B C 
3. Trường hợp đồng dạng thứ hai
Nếu hai cạnh của tam giỏc này tỉ lệ với hai cạnh của tam 
giỏc kia và hai gúc tạo bởi cỏc cặp cạnh đú bằng nhau, thỡ 
hai tam giỏc đồng dạng.
Nếu ΔABC và ΔA B C cú: 
 A B A C 
àA àA và thỡ ΔA B C ∽ ΔABC
 AB AC
4. Trường hợp đồng dạng thứ ba ΔADE và ΔBDC cú ãADE Bã DC ; để tỡm một cặp gúc nữa bằng nhau thật khú khăn. Do đú chỳng ta 
 DA DE
 tỡm cỏch chứng minh cặp gúc trờn tỉ lệ thụng qua hai tam giỏc khỏc. Chẳng hạn cần cú chỳng 
 DB DC
 ta nờn chứng minh ΔABD ∽ ΔECD
 - Để chứng minh AB.CE AE.BC AC.BE , ta cú vế trỏi là một tổng nờn vế phải ta cần tỏch thành một 
 tổng: AC.BE AC.x AC.y với x y BE . Do vậy ta chọn điểm F thuộc BD khi đú x BF , y FE 
 và chứng minh AB.CD AC.BF , AD.BC AC.FE . Từ đú chỳng ta chỉ cần chọn điểm F sao cho 
Δ ABF ∽ Δ ACE , Δ AFE ∽ Δ ABC là xong.
 * Trỡnh bày lời giải
 a) Xột ΔABD và ΔECD cú ãADB Eã DC ; Bã AD Cã ED 90 (gt)
 DA DE
 ΔABD ∽ ΔECD(g.g) 
 DB DC
 DA DE
 ΔADE và ΔBDC cú ãADE Bã DC ; 
 DB DC
 suy ra ΔADE ∽ ΔBDC c.g.c 
 b) Cỏch 1. Gọi M là giao điểm AB và CE.
 MB MC
 Xột ΔMBE và ΔMCA , ta cú Mả chung; Mã EB Mã AC 90 ΔMBE ∽ ΔMCA(g.g) 
 ME MA
 MB MC
 Xột ΔMAE và ΔMCB cú , Mả chung ΔMAE ∽ ΔMCB c.g.c Mã EA Mã BC
 ME MA
 Lấy F BE sao cho AF  AE . Xột ΔABF và ΔACE cú:
 Bã AF Cã AE 90 Dã AF ; ãABF ãACE 90 Mả 
 AB BF
 ΔABF ∽ ΔACE g.g AB.CE AC.BF (1)
 AC CE
 Xột ΔAFE và ΔABC cú
 Eã AF Bã AC 90 ; ãAEF ãACB (cựng phụ với hai gúc bằng nhau)
 AE EF
 ΔAFE ∽ ΔABC g.g AE.BC AC.EF (2)
 AC BC
 Từ (1) và (2) cộng vế với vế:
 AB.CE AE.BC AC BF EF AC.BE
 Cỏch 2. Gọi J là điểm trờn cạnh AC sao cho ãABJ Eã BC .
 Xột ΔABJ và ΔEBC cú: Bã AC Bã EC 90 ; ãABJ Eã BC Cỏch 2. Trờn đoạn thẳng BC lấy điểm D sao cho BD 1cm
 CD BC BD 3 cm CD AC nờn ΔACD cõn tại C 
Do vậy Dã AC ãADC (1)
 BD AB 1
ΔABD và ΔCBA cú ãABD chung và .
 BA CB 2
Suy ra ΔABD ∽ ΔCBA c.g.c Bã AD Bã CA (2)
Từ (1) và (2) ta cú: 
Bã AC Bã AD Dã AC ãACB ãADC ãACB ãABC Bã AD
Do đú Bã AC ãABC 2.ãACB .
Vớ dụ 4: Cho tam giỏc ABC ( AB AC ) cú gúc ở đỉnh bằng 20 o; cạnh đỏy BC a ; cạnh bờn AB b . 
Chứng minh rằng a3 b3 3ab2 .
 Giải
Cỏch 1. 
Dựng tia Bx ở nửa mặt phẳng bờ BC cú chứa điểm A sao cho Cã Bx 20 ; 
tia Bx cắt AC ở D; kẻ AH  Bx . Tam giỏc ABC cõn tại A, ta cú: 
àA 20 Bà Cà 80 ãABH ãABC Cã Bx 80 20 60
 AB b
Suy ra ΔABH cú ãABH 60 ; ãAHB 90 BH .
 2 2
Ta cú: AH 2 AB2 BH 2 (định lý Pi-ta-go)
 b2 3b2
 AH 2 b2 
 4 4
ΔBDC cú Bã CD 80; Cã BD 20 Bã DC 80
 Δ BCD cõn tại B BD BC a ,
 b
Do đú DH BH BD a . 
 2
 BC AC
Nhận thấy: ΔABC ∽ ΔBDC g.g 
 CD BC
 BC 2 a2 a
 CD , mà AD AC CD b 
 AC b b
 2 2
 2 2 2 3b b 2 2
Và AD AH DH a b ab a .
 4 2 
 2 2
 a 2 2 4 4 2 2 4 3 2 2
Vậy b b ab a b a 2a b b ab a b
 b 
 a a3 b3 3a2b2 a3 b3 3ab2
Cỏch 2. NB BD
 Xột ΔBND và ΔDBM cú và Nã BD Bã DM 60
 BD DM
 Suy ra ΔBND ∽ ΔDBM c.g.c Mã BD Bã ND
 Mã BD Mã BN Bã ND Mã BN 60
 Mà Bã PD Bã ND Mã BN nờn Bã PD 60
 Nhận xột. Với kỹ thuật như trờn, bạn cú thể giải bài toỏn sau. Cho hỡnh thoi ABCD cú àA 60 vẽ đường 
 thẳng qua C cắt tia đối của tia BA tại M và cắt tia đối của tia DA tại N. Gọi K là giao điểm của DM và 
 BN. Tớnh số đo Mã KB .
 Vớ dụ 6. Cho ΔABC cõn tại A. Lấy M tựy ý thuộc BC, kẻ MN song song với AB (với N AC ), kẻ MP 
 song song với AC (với P AB ). Gọi O là giao điểm của BN và CP. Chứng minh rằng Oã MP ãAMN .
 Giải
 * Tỡm cỏch giải. Nhận thấy Bã PM Mã NC Qã PM ãANM
 Do đú Oã MP ãAMN ΔQPM ∽ ΔANM . Mặt khỏc chỳng ta thấy 
Δ QPM và Δ ANM khú cú thể tỡm thờm được một cặp gúc nữa bằng 
 nhau. Do vậy chỳng ta nờn tỡm cỏch biến đổi thờm hai cặp cạnh kề 
 với hai gúc Oã MP ; ãAMN tỉ lệ là xong.
 * Trỡnh bày lời giải
 Giả sử MB MC . Gọi Q là giao điểm MO và AB; K là giao điểm 
 CP và MN.
 Vỡ MNAP là hỡnh bỡnh hành nờn Qã PM ãANM (1)
 Vỡ ΔABC cõn tại A nờn suy ra ΔPBM cõn tại P và ΔNCM cõn tại 
 N.
 Do đú PB PM AN và NC NM AP kết hợp với MN / / AP , suy ra: 
 PQ PQ KM PB NA
 (2)
 PM PB KN PA NM
 Từ (1) và (2) suy ra: ΔQPM ∽ ΔANM c.g.c 
 Qã MP ãAMN hay Oã MP ãAMN .
 Điều phải chứng minh.
 Vớ dụ 7. Cho tam giỏc ABC cú Bà 2.Cà , AB 4cm, AC 8 cm. Tớnh độ dài cạnh BC?
 Giải
 * Tỡm cỏch giải. Khai thỏc giả thiết, từ Bà 2.Cà chỳng ta cần dựng thờm yếu tố phụ để vận dụng điều này 
 được. Chỳng ta cú hai hướng giải:
 - Cỏch 1. Kẻ đường phõn giỏc BD của gúc B để khai thỏc được gúc bằng nhau. AD AB AD AB
suy ra 
 DC BC AD DC AB BC
 AD 2 4
 AD (cm).
 3 2 2,5 3
 AB 2 3 AC 3
Ta cú: , 
 AD 4 / 3 2 AB 2
 AC AB
suy ra .
 AB AD
 AC AB
Xột ΔABC và ΔADB cú àA chung, suy ra ΔABC ∽ ΔADB c.g.c 
 AB AD
Do đú: ãACB ãABD , vậy ãABC 2.Cà .
Cỏch 2. Trờn tia đối tia BA lấy điểm E sao cho BE BC 
suy ra: 
ãABC 2.Bã EC 2.Bã CE
 AB 2 AC 3 2
Ta cú ; 
 AC 3 AE 2 2,5 3
 AC AB
suy ra .
 AE AC
 AC AB
Xột ΔABC và ΔACE cú àA chung, suy ra 
 AE AC
ΔABC ∽ ΔACE c.g.c 
do đú ãACE ãABC suy ra ãACE 2.Bã CE ãACB Bã CE
Hay ãABC 2.ãACB .
Vớ dụ 9. Cho tam giỏc ABC cú àA 90 và Bà 20 . Cỏc điểm E và F lần lượt nằm trờn cỏc cạnh AC và 
AB sao cho ãABE 10 và ãACF 30 . Tớnh Cã FE .
(Thi Olympic Toỏn quốc tế Đài Loan TAIMC, năm 2012)
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Những bài toỏn tớnh số đo gúc thường khú, trước hết chỳng ta nờn vẽ hỡnh chớnh xỏc, sau 
đú phõn tớch giả thiết để dự đoỏn kỹ thuật kẻ thờm yếu tố phụ. Trong giả thiết chỳng ta nhận thấy 
ãACF 30 FC 2.AF . Từ Bà 20 Cà 70 , khi đú Bã CF 40 , chỳng ta cú liờn tưởng gỡ gúc 
40o này với gúc 20o và 30o ở đề bài khụng? Với suy nghĩ ấy, chỳng ta lấy điểm G trờn AB sao cho 
Bã CG 20 khi đú bài toàn tạo nờn những yếu tố mới: CF là phõn giỏc gúc ACG, tam giỏc BCG cõn tại 
G. Với hỡnh vẽ chớnh xỏc, chỳng ta hoàn toàn cú thể dự đoỏn được CG song song với FE. Từ đú định 
hướng để chứng minh dự đoỏn ấy bằng định lý Ta-lột đảo. Do AB, BC, AC là ba số nguyờn liờn tiếp và AB max AB, BC,AC nờn AB BC 1 hoặc 
AB BC 2 .
 Trường hợp 1. Nếu AB BC 1 thỡ AC BC 1 thay vào (*), ta cú:
BC 2 2.BC 2 0 , khụng tồn tại BC là số nguyờn.
Trường hợp 2. Nếu AB BC 2 thỡ AC BC 1 thay vào (*), ta cú: 
BC 2 BC 2 0 BC 2 BC 1 0 BC 2 (vỡ BC 0 ).
Vậy BC 2 ; AC 3 và AB 4.
Nhận xột. Vận dụng kỹ thuật trờn, bạn cú thể làm được bài toỏn đảo:
Cho tam giỏc MNP thỏa món PN 2 MP.MN MN 2 0 . Chứng minh rằng: 3.Mả 2.Nà 180.
Vớ dụ 11. Cho tam giỏc ABC nhọn cú hai đường cao BE và CF. Kẻ FI và EJ cựng vuụng gúc với BC (I; J 
thuộc BC). Cỏc điểm K, L lần lượt thuộc AB, AC sao cho KI / / AC , LJ / / AB . Chứng mỡnh rằng ba 
đường thẳng EI, FJ và KL đồng quy.
 Giải
Gọi O là giao điểm của EI và FJ. Ta cú:
Kã FI Fã CB (cựng phụ với gúc IFC) 90 ãABC 90 Lã JC Eã JL (1)
Lại cú: IãKF Eã LJ (cựng bự với Bã AC ) (2)
 KF FI
Từ (1) và (2) suy ra: ΔKFI ∽ ΔLJE g.g (3)
 LJ EJ
Xột ΔFOI và Δ JOE cú IãFO Eã JO (so le trong) 
 FO FI
Fã OI JãOE (đối đỉnh) nờn ΔFOI ∽ ΔJOE g.g suy ra (4)
 OJ JE
Lại cú: Kã FO Lã JO (so le trong) (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra ΔKFO ∽ ΔLJO c.g.c . Do đú Fã OK Jã OL , mà hai gúc ở vị trớ đối đỉnh. Suy ra K, 
O, L thẳng hàng, tức là FJ, EI, KL đồng quy.