Chuyên đề 14: Tìm chữ số tận cùng - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8

 TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Dạng 1: Tìm chữ số tận cùng
Tính chất 1 : 
 a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì 
 chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
 b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số 
 tận cùng vẫn không thay đổi. 
 c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc 
 N) thì chữ số tận cùng là 1. 
 d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc 
 N) thì chữ số tận cùng là 6. 
Bài toán 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : 
a) 799 b) 141414 c) 4567
 Lời giải : 
a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 : 
99 - 1 = (9 - 1)(98 + 97 +  + 9 + 1) chia hết cho 4 
=> 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7 
Do 74k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận cùng là 7.
b) Dễ thấy 1414 = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 141414 = 144k có chữ số 
tận cùng là 6. 
c) Ta có 567 - 1 chia hết cho 4 => 567 = 4k + 1 (k thuộc N) 
=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận cùng là 6 nên 4567 có 
chữ số tận cùng là 4. 
 Tính chất sau được => từ tính chất 1. 
Tính chất 2 : Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) 
thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. 
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các 
chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. 
Bài toán 2 : Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 +  + 20048009. 
 Lời giải : 
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa 
đều có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, , 2004}). 
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận 
cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng : 
 (2 + 3 +  + 9) + 199.(1 + 2 +  + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 +  + 
 9) + 9 = 9009. 
 Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9. 
 Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3. 
Tính chất 3 : 
 a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số 
 tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 
 sẽ có chữ số tận cùng là 3. * Các bạn thử nghiên cứu các tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn một chữ số 
tận cùng của một số tự nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục trao đổi về vấn đề này. 
Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng
 Nhận xét : Nếu x Є N và x = 100k + y, trong đó k ; y Є N thì hai chữ số tận 
cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. 
Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự 
nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn). 
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn. 
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x 
= am như sau : 
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am ∶ 2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 ∶ 25. 
 Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq ∶ 4 ta có :
 x = am = aq(apn - 1) + aq. 
 Vì an - 1 ∶ 25 => apn - 1 ∶ 25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn - 1) ∶ 100. 
 Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. 
 Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq. 
Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 ∶ 100. 
 Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có : 
 x = am = av(aun - 1) + av. 
 Vì an - 1 ∶ 100 => aun - 1 ∶ 100. 
 Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của av. 
 Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của av. 
 Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta 
phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng 
tìm hai chữ số tận cùng của aq và av. 
Bài toán 7 : 
 Tìm hai chữ số tận cùng của các số : 
 a) a2003 b) 799 
 Lời giải : a) Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ 
nhất sao cho 2n - 1 ∶ 25. 
 Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 ∶ 25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) ∶ 25 
 => 23(220 - 1) ∶ 100. Mặt khác :
 22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k Є N). 
 Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08. 
 b) Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho 
 7n - 1 ∶ 100. 
 Ta có 74 = 2401 => 74 - 1 ∶ 100. 
 Mặt khác : 99 - 1 ∶ 4 => 99 = 4k + 1 (k Є N) 
 Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q Є N) tận cùng bởi hai chữ số 
 07. 
Bài toán 8 : 
 Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25. + A có hai chữ số tận cùng là lẻ. 
Bài toán 10 : Cho n Є N và n - 1 không chia hết cho 4. Chứng minh rằng 7n + 2 
không thể là số chính phương. 
 Lời giải : Do n - 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}). Ta 
có 74 - 1 = 2400 ∶ 100. Ta viết 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k - 1) + 7r + 2. 
Vậy hai chữ số tận cùng của 7n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r + 2 (r 
= 0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45. Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n + 2 không thể 
là số chính phương khi n không chia hết cho 4. 
Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng
 Nhận xét : Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba 
chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho 
1000. 
Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y Є N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là 
ba chữ số tận cùng của y (y ≤ x). 
Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận 
cùng của số tự nhiên x = am như sau : 
 Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am chia hết cho 2m. Gọi n là số tự nhiên 
sao cho an - 1 chia hết cho 125. 
Viết m = pn + q (p ; q Є N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq chia hết cho 8 ta có : 
 x = am = aq(apn - 1) + aq. 
Vì an - 1 chia hết cho 125 => apn - 1 chia hết cho 125. Mặt khác, do (8, 125) = 1 
nên aq(apn - 1) chia hết cho 1000. 
Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, 
ta tìm ba chữ số tận cùng của aq. 
 Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 chia hết cho 
1000. 
Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có : 
x = am = av(aun - 1) + av. 
Vì an - 1 chia hết cho 1000 => aun - 1 chia hết cho 1000. 
Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của av. Tiếp theo, 
ta tìm ba chữ số tận cùng của av. 
Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4. 
 Tính chất 6 : 
 Nếu a Є N và (a, 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125. 
 Chứng minh : Do a20 - 1 chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 
25 có cùng số dư là 1 
 => a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia hết cho 5. Vậy a100 - 1 = (a20 - 1)( a80 + a60 + 
 a40 + a20 + 1) chia hết cho 125. 
Bài toán 11 : 
 Tìm ba chữ số tận cùng của 123101. 
 Lời giải : Theo tính chất 6, do (123, 5) = 1 => 123100 - 1 chia hết cho 125 
 (1). 
 Mặt khác :