Chuyên đề 14: Tích chất đường phân giác của tam giác - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chương 
Chuyờn đề 
 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định lý
Trong tam giỏc, đường phõn giỏc của một gúc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh 
kề hai đoạn ấy.
 ABC  DB AB
 .
ã ã 
BAD CAD DC AC
2. Chỳ ý
* Định lý vẫn đỳng với đối với đường phõn giỏc gúc ngoài của tam giỏc.
 ABC AB AC  EB AB
  .
ã ã
BAE CAE  EC AC
* Cỏc định lý trờn cú định lý đảo
DB AB
 AD là đường phõn giỏc trong của tam giỏc.
DC AC
 EB AB
 AE là đường phõn giỏc ngoài của tam giỏc.
 EC AC
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1: Cho tam giỏc ABC , trung tuyến BM cắt phõn giỏc CD tại P . Chứng minh rằng: 
PC AC
 1.
PD BC
 Giải
 PC AC PC AC
Dựa vào định ý Ta-lột: 1 1.
 PD BC PD BC
 DA AC DA AC
CD là phõn giỏc của ABC nờn 1 1
 DB BC DB BC
 AB AC PC AB
 1 . Vỡ vậy chỉ cần chứng minh: .
 DB BC PD DB
Cỏch 1. Vớ dụ 2: Cho ABC cõn tại àA và àA 36 . Chứng minh rằng: AB2 AB.BC BC 2
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Phõn tớch đề bài, chỳng ta thu được Bà Cà 72 , nhận thấy 72 2.36 do đú chỳng ta 
nờn kẻ phõn giỏc gúc B (hoặc gúc C ) là suy luận tự nhiờn. Từ đú vận dụng tớnh chất dường phõn giỏc 
trong tam giỏc và biển đổi linh hoạt tỉ lệ thức ta được lời giải hay.
* Trỡnh bày lời giải.
 ã à ả
Kẻ phõn giỏc BD của ABC D AC , khi đú B1 B2 36
 ABD cõn tại D và BCD cõn tại B AD BC BD.
Theo tớnh chất đường phõn giỏc trong tam giỏc ABC , ta cú:
BA AD BA BC
BC CD BC AC AD
Mà AB AC; AD BC
 BA BC
nờn 
 BC BA BC
 BA BA BC BC 2
 BA2 BA.BC BC 2 AB2 AB.BC BC 2.
Nhận xột. Tương tự chỳng ta giải được bày toỏn sau: Cho ABC cõn tại A và àA 108 . Chứng minh 
rằng: AB2 BC 2 AB.BC..
Vớ dụ 3. Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G và I là giao điểm của ba đường phõn giỏc trong. Biết rằng 
IG // BC . Chứng minh rằng: AB AC 2.BC.
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Nhận thấy để khai thỏc IG // BC chỳng ta nờn kẻ đường phõn giỏc gúc A và trung 
tuyến ứng với cạnh BC thỡ sẽ vận dụng được giả thiết đú.
 AI AI
Từ suy luận đú chỳng ta cú kết quả 2 . Mặt khỏc, tỉ số , kết hợp với I là giao điểm của ba 
 ID ID
đường phõn giỏc trong cho phộp chỳng ta liờn tưởng tới khả năng vận dụng tớnh chất đường phõn giỏc 
trong tam giỏc ABD, ACD . Từ đú chỳng ta cú lời giải sau:
* Trỡnh bày lời giải
Gọi D, M lần lượt là giao điểm của AI, AG với BC .
Theo tớnh chất đường phõn giỏc trong tam giỏc ABD, ACD , ta cú:
IA AB CA AB AC AB AC
ID BD CD BD CD BC
 IA GA AB AC
IG // BC 2 2
 ID GM BC
Hay AB AC 2BC . OF BF c OF OC a b c CF a b c
 .
OC BC a b OC a b OC a b
 BE a b c
Tương tự, ta cú: .
 OB a c
 2
 1 BE.CF a b c 
Từ giả thiết OB.OC BE.CF 2 2
 2 OB.OC a c a b 
 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 2a2 2ab 2ac 2bc
a2 b2 c2 , suy ra ABC vuụng tại A .
Vớ dụ 6. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú G là trọng tõm, BM là đường phõn giỏc. Biết rằng 
GM  AC . Chứng minh rằng BM vuụng gúc với trung tuyến AD .
 Giải
Cỏch 1. (Khụng dựng tớnh chất đường phõn giỏc). Gọi I là giao điểm của BM và AD, H là trung điểm 
 1
AC DH // AB và DH AB (vỡ DH là đường trung bỡnh ABC ).
 2
Lại cú GM // AB (cựng vuụng gúc với AC )
 GM // DH . Áp dụng hệ quả định lý ta-lột:
Xột ADH cú GM // DH
 GM AG 2 GM 2
 .
 DH AD 3 DH 3
 GI GM GH 1
Xột ABI cú GM // AB 
 AI AB BH 3
 GI AI A 3 3 3 2 AD
 AI .AG . .AD AI 
 AI 3 4 4 3 2
 I là trung điểm của AD .
 ABD cú BI vừa là đường phõn giỏc, vừa là đường trung tuyến, suy ra ABD cõn tại B nờn BI vừa là 
đường cao vừa là đường phõn giỏc. Do đú BM  AD .
 AM AG 2
Cỏch 2. ADH cú GM // DH 3.AM 2.AH AC AM MC 
 AH AD 3
hay MC 2.AM .
Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc trong ABC , ta cú:
BC MC BC
 2 AB BD.
AB MA 2
Vậy ABD cõn tại B nờn BI vừa là phõn giỏc vừa là đường cao.
Do đú BM  AD ABK cõn tại K , nờn AK AB c.
Do BK // AD nờn theo định lý Ta-lột thỡ 
AD AC b b
 AD .BK (1)
BK KC b c b c
Tam giỏc ABK cú BK AB AK 2c (2)
 2bc
Từ (1) và (2) suy ra: AD .
 b c
 1 b c 1 1 1 1 
Nhận xột. Từ kết luận bài toàn, suy ra: .
 AD 2bc AD 2 b c 
Tương tự như vậy đối với đường phõn giỏc gúc B và gúc C , thỡ chỳng ta giải được bài toỏn hay và khú 
sau: Cho tam giỏc ABC . Gọi la ,lb ,lc là độ dài đường phõn giỏc gúc A, B,C . Đặt BC a, AC b , 
AB c . Chứng minh rằng:
 1 1 1 1 1 1
 .
 la lb lc a b c
Vớ dụ 9. Cho ABC cú AD là đường phõn giỏc, I là giao điểm của ba đường phõn giỏc và K là trung 
điểm của AB . Biết rằng Kã IB 90 . Chứng minh rằng: AB AC 3BC.
 Giải
Trờn BA lấy điểm E sao cho BE BD
Ta cú: BDE cõn tại B cú BI là đường phõn giỏc nờn BI  BE
 KE DI
do đú DE // KI  BI (1)
 KA AI
Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc trong ABD, ACD 
 BD ID CD
ta cú : (2)
 BA IA CA
 BD CD BC
Do đú (3)
 BA CA BA CA
 KE BD BE BE
Từ (1) và (2) suy ra: 
 KA BA BA 2.KA
Hay 2KE BE
 2 1 BD 1
 BE BK BD BA (4)
 3 3 BA 3
 BC 1
Từ (3) và (4) suy ra: AB AC 3.BC.
 BA CA 3
C. Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải
 AB 3
14.1. Ta cú: 2AB 3AC suy ra .
 AC 2
AD là đường phõn giỏc của gúc BAC nờn
 BD 3 BD 3
 .
BD CD 3 2 10 5
 3.10
Suy ra BD 6 cm ;CD 4 cm .
 5
14.2. Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc vào cỏc tam giỏc 
ABC, ABI, AIC :
BI AB AN AI CM IC
 ; ; 
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
 . . . . . 1
IC NB MA AC BI AI AC BI
 BI.AN.CM BN.IC.AM
14.3. Xột ABC cú BC là đường phõn giỏc của ABC nờn:
AM AB AB 1 1
 AB BC.
MC BC BC 2 2
Gọi CN là đường phõn giỏc của ACB , suy ra:
NA AC AC 3 3
 AC .BC
NB BC BC 4 4
 BC 3
Ta cú: AB BC AC 18 BC BC 18
 2 4
 9
 .BC 18 BC 8 cm 
 4
Từ đú ta tớnh được AB 4 cm ; AC 6 cm 
14.4. Ta cú:
 1 1 1
ãAIE Bã AH ãABI àA Bà 45 Bà 45 Cà ãAEI
 2 2 2
Suy ra AIE cõn tại A AI AE (1).
Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc của ABH và BAC , ta cú:
IH BH AB BH
 (2);
IA BA AI IH
EC BC AB BC
 (3)
EA BA AE EC
 BH BC
Từ (2) và (3) suy ra : (4)
 IH EC
Vỡ ABC vuụng cõn tại v nờn BC 2.BH . S ab
và CMN (3)
 SABC a c b c 
Từ (1), (2) và (3) ta cú:
S S S S
 MNP 1 ANP BMP CMN
SABC SABC SABC SABC
 bc ac ab
 1 
 a b a c a b b c a c b c 
 a b a c b c bc b c ac a c ab a b 
 a b a c b c 
 S 2abc
 MNP .
 SABC a b a c b c 
14.7. Gọi D, M lần lượt là giao điểm của AI, AG với BC .
Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc trong tam giỏc ABD , ta cú:
BD AB BD AB
 .
CD AC BD CD AB AC
 BD 4 6.4
 BD 2cm.
 6 4 8 12
ID BD ID 2 1
 .
IA AB IA 4 2
 GM 1
Mặt khỏc G là trọng tõm ABC .
 AG 2
 ID GM 1 
 IG // DM (theo định lý Ta-lột đảo)
 IA GA 2 
 IG AG IG 2 2
 IG DM.
 DM AM DM 3 3
 2 2 2
 IG . BM BD . 3 2 cm .
 3 3 3
14.8. Gọi E là giao điểm của đường thẳng BN và CD
 BM BO
BM // DE nờn 
 ED OE
 BO DN
mà BM DN nờn (1)
 OE ED
 DN BC
Ta cú DN // BC nờn (2)
 ED CE
 BO BC
Từ (1) và (2) suy ra 
 OE CE
 CO là đường phõn giỏc Bã CD