Chuyên đề 14: Chứng minh đẳng thức đại số - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chuyên đề 14. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
A. Một số ví dụ
Chứng minh đẳng thức đại số là bằng phép biến đổi đại số, chúng ta chứng minh hai vế bằng nhau trên tập 
xác định của chúng. Trong các chuyên đề trước chúng ta đã gặp và giải một số bài tập liên quan tới chứng 
minh đẳng thức đại số. Trong chuyên đề này, chúng ta khắc sâu một số kỹ thuật biến đổi chứng minh đẳng 
thức đại số.
I. BIẾN ĐỔI VẾ NÀY THÀNH VẾ KIA
Ví dụ l. Với n nguyên dương. Chứng minh rằng:
 1 3 2n- 1 n2
 4 + 4 + ...+ 4 = 2
4 + 1 4 + 3 4 + (2n- 1) 4n + 1
 (Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội,
 năm học 2009 - 2010)
 Giải
Tìm cách giải. Quan sát đẳng thức, chúng ta nhận thấy vế trái là tổng những phân thức viết theo quy luật và 
vế trái dài, phức tạp hơn vế phái. Những bài toán có một vế phức tạp và một vế đơn giản, chúng ta biến đổi 
vế phức tạp thành vế đơn giản. Do đó chúng ta định hướng biến đổi vế trái thành vế phải.
Nhận thấy nếu vế trái là tổng những phân thức viết theo quy luật, thì chúng ta tách mỗi phân thức thành hiệu 
hai phân thức để khử liên tiếp.
Trình bày lời giải
 2 2
Ta có: 4 + m4 = (m4 + 4m2 + 4)- 4m2 = (m2 + 2) - (2m)
 2 2
= m2 + 2m + 2 m2 - 2m + 2 = é(m + 1) + 1ùé(m- 1) + 1ù
 ( )( ) ëê ûúëê ûú
Thay m = 2k + 1 ta có:
 4 2 2
Þ 4 + (2k - 1) = é(2k) + 1ùé(2k - 2) + 1ù
 ëê ûúëê ûú
 2 2
 1 1 (2k) + 1- (2k - 2) - 1 4(2k - 1)
Nên 2 - 2 = 4 = 4
 (2k - 2) + 1 (2k) + 1 4 + (2k - 1) 4 + (2k - 1)
 é ù
 2k - 1 1 ê 1 1 ú
Þ 2 = ê 2 - 2 ú
 4
 4 + (2k - 1) ëê(2k - 2) + 1 (2k) + 1ûú
Cho k = 1,2,3,...n ta được:
 é ù
 1 ê 1 1 1 1 1 1 ú
VT = ê 2 - 2 + 2 - 2 + ...+ 2 - 2 ú
 4 0 + 1 2 + 1 2 + 1 4 + 1
 ëê (2n- 2) + 1 (2n) + 1ûú
 1 é 1 ù n2
= ê1- 2 ú= 2
 4 ëê 4n + 1ûú 1+ 4n
Suy ra VT = VP. Điều phải chứng minh. a2 b2 c2
Þ + + = 0
 b + c c + a a + b
Điều phải chứng minh.
Nhận xét. Quan sát mẫu thức: b + c; c + a; a + b ta thấy chúng không thể cùng dấu được. Nên ta có thể thay 
kết luận bằng kết luận: trong ba số a, b, c có ít nhất một số âm, ít nhất một số dương.
IV. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Ví dụ 4. Với a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức
(a + b)(b + c)(c + a)= 8abc. Chứng minh rằng:
 a b c 3 ab bc ca
 + + = + + +
a + b b + c c + a 4 (a + b)(b + c) (b + c)(c + a) (c + a)(a + b)
 (Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội,
 năm học 2013 - 2014)
 Giải
Tìm cách giải. Bài toán này là chứng minh đẳng thức có điều kiện. Bài toán này có thể vận dụng điều kiện 
và biến đổi cả hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba.
Tuy nhiên, trong ví dụ này chúng ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương. Phương pháp biến đổi 
tương đương là muốn chứng minh A = B, là chúng ta chứng minh A = B Û C = D Þ ¼ X = Y . Nếu X = Y 
hiển nhiên đúng hoặc là giả thiết, thì chúngta kết luận A = B .
Trình bày lời giải
Biến đổi tương đương:
 a b c 3 ab bc ca
 + + = + + +
a + b b + c c + a 4 (a + b)(b + c) (b + c)(c + a) (c + a)(a + b)
 a æ b ö b æ c ö c æ a ö 3
Û ç1- ÷+ ç1- ÷+ ç1- ÷=
 a + bèç b + cø÷ b + c èç c + aø÷ c + aèç a + bø÷ 4
 ac ba cb 3
Û + + =
 (a + b)(b + c) (b + c)(c + a) (c + a)(a + b) 4
 3
Û ac(a + c)+ ba(b + a)+ cb(c + b)= (a + b)(b + c)(c + a)
 4
Û ac(a + c)+ ba(b + a)+ cb(c + b)= 6abc
Û ac(a + c)+ b(a + b + c)(a = c)= 8abc
Û (a + c)(ac + ab + b2 + bc)= 8abc
Û (a + c)(b + c)(b + a)= 8abc
Đẳng thức này đúng nên điều phải chứng minh là đúng.
V. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Ví dụ 5. Với a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức Trình bày lời giải
 2a + b 2b + c 2c + a
Đặt x = ;y = ;z =
 a- b b- c c- a
 3a 3b 3c
Khi đó x + 1= ;y + 1= ;z + 1=
 a- 2 b- c c- a
 3b 3c 3c
Và x - 2 = ;y- 2 = ;z- 2 =
 a- b b- c c- a
Từ đó suy ra (x + 1)(y + 1)(z + 1)= (x - 2)(y- 2)(z- 2)
Khai triển và rút gọn ta được:
9+ 3(xy + yz + zx)= 3(x + y + z)Û 3+ xy + yz + zx = x + y + z
 (2a + b)(2b + c) (2b + c)(2c + a) (2c + a)(2a + b) 2a + b 2b + c 2c + a
Suy ra: 3+ + + = + +
 (a- b)(b- c) (b- c)(c- a) (c- a)(a- b) a- b b- c c- a
Điều phải chứng minh
VI. PHÂN TÍCH ĐI LÊN TỪ KẾT LUẬN
Ví dụ 7. Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn hệ thức:
b2 + c2 - a2 a2 + c2 - b2 a2 + b2 - c2
 + + = 1
 2bc 2ca 2ab
Chứng minh rằng:
a) Trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng tổng hai số còn lại.
b) Trong ba phân thức trên, tồn tại hai phân thức bằng 1, một phân thức bằng -1.
 Giải
Tìm cách giải. Đọc kỹ phần kết luận câu a, chúng ta nhận thấy phần chứng minh tương đương với: 
a = b + c hoặc b = c + a hoặc c = a + b Û b + c- a = 0 hoặc c + a- b = 0 hoặc 
a + b- c = 0 Û (b + c- a)(c + a- b)(a + b- c)= 0 . Với suy nghĩ ấy, chúng ta biến đổi giả thiết và định 
hướng biến đổi phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về (b + c- a)(c + a- b)(a + b- c)= 0 .
Trình bày lời giải
 a2 + b2 - c2 b2 + c2 - a2 c2 + a2 - b2
a) Từ giả thiết: + + = 1
 2ab 2bc 2ac
 a2 + b2 - c2 b2 + c2 - a2 c2 + a2 - b2
Û - 1+ - 1+ + 1= 0
 2ab 2bc 2ac
 2 2 2
 (a- b) - c2 (b- c) - a2 (a + c) - b2
Û + + = 0
 2ab 2bc 2ac
 (a- b- c)(a- b + c) (b- c- a)(b- c + a) (a + c- b)(a + c + b)
Û + + = 0
 2ab 2bc 2ac
Û c(a- b- c)(a- b + c)+ a(b- c- a)(b- c + a)+ b(a + c- b)(a + c + b)= 0 (b2 - c2 )(b + c)+ (c2 - a2 )(c + a)+ (a2 - b2 )(a + b)
=
 (a + b)(a + c)(b + c)
 b3 + b2c- bc2 - c3 + c3 + ac2 - a2c- a3 + a3 + a2b- ab2 - b3
=
 (a + b)(a + c)(b + c)
 b2c- bc2 + ac2 - a2c + a2b- ab2
=
 (a + b)(a + c)(b + c)
 bc(b- c)- a(b + c)(b- c)+ a2 (b- c)
=
 (a + b)(a + c)(b + c)
 (b- c)(bc- ab- ac + a2 ) (b- c)(c- a)(b- a)
= = (1)
 (a + b)(a + c)(b + c) (a + b)(a + c)(b + c)
Xét vế phải:
b- c c- a a- b (b- c)(c + a)+ (c- a)(b + c) a- b
 + + = +
b + c c + a a + b (b + c)(c + a) a + b
 bc + ab- c2 - ac + bc + c2 - ab- ac a- b
= +
 (b + c)(c + a) a + b
 2bc- 2ac a- b 2c(b- a)(a + b)+ (a- b)(b + c)(c + a)
= + =
 (b + c)(c + a) a + b (a + b)(b + c)(c + a)
 (b- a)é2c(a + b)- (b + c)(c + a)ù
= ë û
 (a + b)(b + c)(c + a)
 (b- a)(2ac + 2bc- bc- ab- c2 - ac) (b- a)(ac- ab + bc- c2 )
= =
 (a + b)(b + c)(c + a) (a + b)(b + c)(c + a)
 (b- a)(c- a)(b- c)
= (2)
 (a + b)(b + c)(c + a)
Từ (1) và (2) suy ra:
 b2 - c2 c2 - a2 a2 - b2 b- c c- a a- b
 + + = + +
(a + b)(a + c) (b + c)(b + c) (c + a)(c + b) b + c c + a a + b
 æb- a c- a b- c ö
 ç( )( )( )÷
= ç ÷
 èç(a + b)(b + c)(c + a)ø÷
Vế trái bằng vế phải điều phải chứng minh.
Cách 2. Đặt a + b = z;a + c = y;b + c = x
Đẳng thức được chứng minh tương đương với:
x(z- y) y(x - z) z(y- x) x - z y- x z- y
 + + = + +
 yz xz xy y z x
Biến đổi vế trái ta có: 2
14.7. Cho ba số a, b, c thỏa mãn b ¹ c;a + b ¹ c và a2 + b2 = (a + b- c)
 2
 a2 + (a- c) a- c
Chứng minh đẳng thức 2 =
 b2 + (b- c) b- c
 1 1 1 1
14.8. Chứng minh rằng nếu ba số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2020 và + + = thì ít nhất một 
 x y z 2020
trong ba số x, y, z phải bằng 2020.
14.9. Cho các số thực a, b, c khác nhau từng đôi một và thỏa mãn điều kiện a2 - b = b2 - c = c2 - a . Chứng 
minh rằng: (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1)= - 1
 (Thi học sinh giỏi Toán, Nam Định, năm học 2011 - 2012)
14.10. Cho x, y, z khác không, khác nhau từng đôi một và zx ¹ 1;yz ¹ 1 thỏa mãn điều kiện: 
 x2 - yz y2 - xz
 =
x(1- yz) y(1- xz)
 1 1 1
Chứng minh rằng x + y + z = + +
 x y z
 1 1
14.11. Cho x, y là hai số thực khác 0 sao cho x + ;y + là các số nguyên. Chứng minh rằng 
 x y
 1
x3y3 + Î ¢
 x3y3
14.12. Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz . Chứng minh rằng: 
 x 2y 3z xyz(5x + 4y + 3z)
 + + =
1+ x2 1+ y2 1+ z2 (x + y)(y + z)(z + x)
 (Tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội,
 năm học 2012 - 2013)
14.13. Với mọi n nguyên dương, chứng minh rằng:
 3 7 13 n2 + n + 1 n2 + 2n
 + + + ...+ =
1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n + 1
14.14. Giả sử x, y là những số thực dương phân biệt thỏa mãn
 y 2y2 4y4 8y8
 + + + = 4 . Chứng minh rằng: 5y = 4x
x + y x2 + y2 x 4 + y4 x8 - y8
 (Tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội
 năm học 2014 - 2015)
 x 4 y4 1
14.15. Cho a, b, x, y thỏa mãn + = và x2 + y2 = 1
 a b a + b
 x2n y2n 2
Chứng minh rằng + = n với n là số nguyên dương.
 an bn (a + b)