Chuyên đề 13: Tứ giác - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8

 CHUYấN ĐỀ TỨ GIÁC
 Bài 1: HèNH THANG, ĐƯỜNG TRUNG BèNH CỦA HèNH THANG
 A. Lí THUYẾT
1. Định nghĩa:
 - Hỡnh thang là tứ giỏc cú hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là hai đỏy, 
 hai cạnh cũn lại là hai cạnh bờn. (H1)
 - Hỡnh thang vuụng là hỡnh thang cú một gúc vuụng. (H2)
 - Hỡnh thang cõn là hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau. (H3)
 - Đường trung bỡnh của tam giỏc là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giỏc. (H4)
 - Đường trung bỡnh của hỡnh thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bờn của hỡnh thang. (H5)
 A B B C A B
 D C A D D C
 H1. HèNH THANG H2. THANG VUễNG H3. THANG CÂN
 A A B
 N N
 M M
 B C D C
 H4.ĐƯỜNG TRUNG BèNH TAM GIÁC H5. ĐƯỜNG TRUNG BèNH HèNH THANG
2. Tớnh chất:
 - Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh bờn song song thỡ hai cạnh bờn ấy bằng nhau.
 - Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh đỏy bằng nhau thỡ hai cạnh bờn song song và bằng nhau.
 - Trong hỡnh thang cõn, hai cạnh bờn bằng nhau.
 - Trong hỡnh thang cõn, hai đường chộo bằng nhau. 
 - Đường trung bỡnh của tam giỏc thỡ song song với cạnh thứ 3 và bằng nửa cạnh ấy.
 1
 Với H4. Ta cú: MN / /BC,MN BC 
 2
 - Đường trung bỡnh của hỡnh thang thỡ song song với hai đỏy và bằng nửa tổng hai đỏy. 
 AB CD 
 Với H5. Ta cú: MN / / AB / /CD và MN 
 2
3. Định lý:
 - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giỏc và song song với cạnh thứ hai thỡ đi qua 
 trung điểm của cạnh thứ ba, và đường ấy cũng chớnh là đường trung bỡnh của tam giỏc. 
 - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bờn của hỡnh thang và song song với hai đỏy thỡ đi qua 
 trung điểm của cạnh bờn cũn lại và đường ấy cũng là đường trung bỡnh của hỡnh thang.
4. Dấu hiệu nhận biết :
 - Hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn.
 - Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn. Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, Vẽ AH vuụng gúc với BC tại H, Gọi M, N lần lượt là trung điểm 
của cỏc đoạn thẳng AH CH, CMR :
MN vuụng gúc với AB và BM vuụng gúc với AN A
HD:
Vỡ MN là đường trung bỡnh
=> MN//AC mà AC  AB
 M
=> MN  AB=> M là trực tõm của ABN
 ABN cú M là trực tõm => BM  AN
 C
 B H N
Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nú, trờn cựng 1 nửa mặt phẳng cú bờ AB, vẽ hai tia Ax và 
By vuụng gúc với AB, Một gúc vuụng đỉnh O cắt Ax tại C, cắt By tại D
a, AC+BD=CD b, CO là tia phõn giỏc của ãACD
HD
a, Gọi I là trung điểm của CD
AC// BD => OI là trung bỡnh của hỡnh thang ABCD D
 AC BD
=> OI I
 2
 C
 2
=> AC BD 2.OI 1
Lại cú COD vuụng => OI là đường trung tuyến 
=> OI= CI= ID=> 2OI = IC +ID = CD
b, Ta cú OCD vuụng tại O cú OI là đường trung tuyến nờn OI = IC 1
 ả à A B
=> IOC cõn tại I => C2 O1 O
 à à à ả ã
Mà: O1 C1 Nờn => C1 C2 Vậy OC là tia phõn giỏc gúc ACD
Bài 5: Cho ABC cú À 800 , AB AC . Trờn cạnh AB lấy D sao cho BD = AC. Gọi E, F lần lượt là 
trung điểm của AD, BC. Tớnh gúc Bã EF ? 
HD:
 A
 80 E
 D
 O
 B
 C F Bài 9: Cho tam giỏc ABC, AM là đường trung tuyến, vẽ đường thẳng (d) đi qua trung điểm I của AM cắt 
cỏc cạnh AB, AC, Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, C trờn đường thẳng (d)
 BB ' CC '
CMR: AA ' 
 2
HD: A
Gọi H, K lần lượt là giao của (d) với AB và AC
Lấy N là hỡnh chiếu của M trờn đường thẳng (d)
=> AA’I = MNI ( cạnh huyền- gúc nhọn)
 C'
=> AA’ = MN B' M'
Hỡnh thang BB’C’C cú MN là đường trung bỡnh nờn: d
 A' I
 BB ' CC '
MN AA' 
 2
 C
 B M
Bài 10: Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao BH, CK. Gọi D và E lần lượt là hỡnh chiếu của B và C 
trờn đường thẳng HK, 
CMR: DK = EH. A
HD:
Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và DE, 
Xột BHC vuụng tại H cú HM là đường trung tuyến nờn:
 1
HM BC (1) E
 2 H
 M'
 BKC vuụng tại K cú KM là đường trung tuyến nờn:
 K
 1
KM BC (2) D
 2
Từ (1) và (2) => MH = MK => KM’ = HM’
Vậy DM’ = EM’
 B M C
Bài 11: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, cỏc đường cao BD và CE, gọi I và K theo thứ tự là hỡnh chiếu 
của B và C trờn đường thẳng ED, CMR: IE=DK
HD: 
Gọi M là trung điểm của BC, kẻ MN  ED
Tứ giỏc BIKC là hỡnh thang => NI= NK (1) A
 1
 BEC vuụng cú EM = . BC
 2
 1
 BDC vuụng cú DM = . BC => EM =DM K
 2 D
=> EDM cõn cú MN đường cao và là trung tuyến N
=> NE = ND (2) E
Từ (1) và (2) => IE= DK I
 B M C Bài 15: Cho tam giỏc ABC cú BC = a, cỏc đường trung tuyến BD, CE, lấy cỏc điểm M, N trờn cỏc cạnh 
BC sao cho BM=MN=NC, GỌi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE, Tớnh IK
HD:
Vỡ DN là đường trung bỡnh của ACM => DN // AM
 BM MN
 BDN cú: => I là trung điểm của BD
 AM / /DN A
Chứng minh tương tự => K là trung điểm của EC
Kộo dài IK cắt AB và AC lần lượt tại G và H
Khi đú BED cú GI đi qua trung điểm I của BD và // ED 
Nờn GE=GB CED cú KH đi qua trung điểm K của EC và // ED 
Nờn HD=HC
 1 1 1 1 E D
Khi đú ta cú: GI ED a, KH ED a
 2 4 2 4
 1 3a 3a
Cũn 2GH a a GH G H
 2 2 4 I K
 3a 1 1 a
Nờn IK= GH - GI- HK= a a 
 4 4 4 4
 a B M N C
Vậy IK 
 4
Bài 16: Cho hỡnh thang ABCD cú àA Bà 1v, BC 2AB 2AD , Gọi M là 1 điểm nằm trờn đỏy nhỏ AD, 
kẻ Mx vuụng gúc với BM và Mx cắt CD tại N
CMR: MB = MN
HD: 
Kẻ DK //AB, chứng minh BDC vuụng tại D A M D
 1
 ã 0 0 0 2
=> ADC 90 45 135 , 2 1
Gọi H là trung điểm của BN, N
Chứng minh MH  BN vỡ BMN vuụng
 1 1
MH BN, DH BN MH DH
 2 2
 1 2 H
Hã MD Hã DM mà Hã DM ãABH Dã MN Mã BH (1) 3
Và Hã MD Hã MN Dã MN (2) B K C
Từ (1) và (2) => Mã BH Hã MN
Mà: Mã BH Mã NH 900 Hã MN Mã NH 900
Bài 17: Cho tam giỏc ABC nhọn, trực tõm H, M là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc 
với HM, cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F
 a. Trờn Tia đối tia HC, lấy điểm D sao cho HD=HC, CMR E là trực tõm của tam giỏc DBH
 b. CMR: HE=HF
HD: A
a, Ta cú MH là đường trung bỡnh BCD D
 => MH// BD, 
Mà EF // MH => EF  BD K
Ta lại cú: BA  DH => BDH cú E là trực tõm F
b, Gọi G là giao điểm của DE và BH H
=> K là giao điểm BH và AC
=> DHG = CHK ( cạnh huyền - gúc nhọn) => HG =HK E
=> HGE = HKF ( c. g. c) => HE= HF G
 B M C