Chuyên đề 13: Định lý Ta-lét trong tam giác - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

doc 19 trang thanh nguyễn 20/09/2025 181
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề 13: Định lý Ta-lét trong tam giác - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề 13: Định lý Ta-lét trong tam giác - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

Chuyên đề 13: Định lý Ta-lét trong tam giác - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8
 Chương III.
 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Chuyờn đề 13.
 ĐỊNH Lí TA-LẫT TRONG TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
• Tỉ số của hai đoạn thẳng. Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chỳng theo cựng một đơn vị đo.
• Đoạn thẳng tỉ lệ. Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn 
thẳng A’B và C’D nếu cú tỉ lệ thức:
 AB A' B' AB CD
 hay 
 CD C' D' A' B' C' D'
• Định lý Ta-let trong tam giỏc. Nếu một đường thẳng song song 
với một cạnh của tam giỏc và cắt hai cạnh cũn lại thỡ nú định ra trờn hai 
cạnh đú những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Trong hỡnh bờn
 ΔABC  AB' AC' AB' AC' B' B C' C
  ; ; 
 B'C'//BC AB AC B' B C' C AB AC
1. Định lý Ta-lột đảo. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giỏc 
và định ra trờn hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thỡ đường 
thẳng đú song song với cạnh cũn lại của tam giỏc.
 ΔABC 
Trong hỡnh bờn AB' AC'  B'C'//BC 
 =
 B'B C'C  
2. Hệ quả của định lý Ta-lột. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giỏc và song song với cạnh 
cũn lại thỡ nú tạo thành một tam giỏc mới cú ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giỏc đó cho.
 ΔABC  AB' AC' B'C'
Trong hỡnh bờn:  = = 
 B'C'//BC AB AC BC
 Chỳ ý. Hệ quả trờn vẫn đỳng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giỏc và 
cắt phần kộo dài của hai cạnh cũn lại.
 AB' AC' B' C'
 AB AC BC EF EG EC BE EF EG BC
 hay 2. 
AM AM CM BM AM BM
Suy ra EF EG 2.AM . 
Vớ dụ 2: Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD). Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = CD. Gọi 
 AK AC
giao điểm của AC với DB và DE theo thứ tự là I và K. Chứng minh hệ thức . 
 KC CI
 Giải
 AK AC
* Tỡm cỏch giải. Nhận thấy rằng: chỳng ta khụng thể chứng minh trực tiếp , do vậy nờn sử 
 KC CI
dụng tỉ số trung gian. Khai thỏc BE = CD và AB//CD rất tự nhiờn chỳng ta vận dụng hệ quả định lý Ta-
lột.
* Trỡnh bày lời giải
 Đặt AB = a, BE = CD = b. Theo hệ quả định lý Ta-lột
 AK AE a b
Ta cú: AE//CD 1 
 KC CD b
 AI AB a
 AB//CD 
 CI CD b
 AI CI a b AC a b
 2 
 CI b CI b
 AK AC
Từ (1) và (2) suy ra: . 
 KC CI
 1 1 1
Vớ dụ 3. Cho tam giỏc ABC cú àA 120 , AD là đường phõn giỏc. Chứng minh rằng: . 
 AB AC AD
 Giải
Kẻ DE // AB, ta cú:
ả à ả
D1 A1 60; A2 60 nờn tam giỏc ADE đều. Suy ra AD = AE = DE.
 DE CE AD CE
Áp dụng hệ quả định lý Ta-lột: hay . 
 AB AC AB AC
 AD AE AD AD CE AE AC
Mặt khỏc nờn 1. 
 AC AC AB AC AC AC AC
 1 1 1
Suy ra . 
 AB AC AD
Nhận xột. Những bài toỏn chứng minh đẳng thức cú nghịch đảo độ dài đoạn thẳng, bạn nờn biến đổi và 
chứng minh hệ thức tương đương cú tỉ số của hai đoạn thẳng.
Vớ dụ 4. Một đường thẳng đi qua trọng tõm G của tam giỏc ABC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. 
Chứng minh rằng:
 AB AC BM CN
 a) 3; b) 1. 
 AM AN AM AN PB QC
* Tỡm cỏch giải. Vẽ hỡnh xong và quan sỏt, chỳng ta nhận thấy tỉ số ; đó cú ở cõu b, vớ dụ 4 và cú 
 PA QA
 PB QC
kết quả là 1 . Do vậy khai thỏc yếu tố này, kết hợp với bất đẳng thức đại số cho lời giải đẹp.
 PA QA
* Trỡnh bày lời giải
 BP CQ
Dựa vào vớ dụ 4, ta cú: 1 
 AP AQ
Áp dụng bất đẳng thức x y 2 4xy; 
 2
 BP CQ BP QC BP QC 1
Ta cú: 1 4. . hay . .. 
 AP AQ PA QA PA QA 4
Vớ dụ 6. Cho ABCD là hỡnh bỡnh hành cú tõm O. Gọi M, N là trung điểm BO; AO. Lấy F trờn cạnh AB 
sao cho FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng:
 BA BC
 a) 4; b) BE AK BC. 
 BF BE
 Giải
* Tỡm cỏch giải.
Với phõn tớch và suy luận như cõu a, vớ dụ 4 thỡ cõu a, vớ dụ này khụng quỏ khú.
 AD AB AD AB AB BC
Tương tự cõu a, chỳng ta cú kết quả: 4 và suy ra 8 để liờn kết được 
 AK AF AK AF BF BE
BE + AK với nhau, mà với suy luận trờn thỡ BE, AK cựng nằm ở mẫu số, do đú chỳng ta liờn tưởng tới 
 1 1 4
bất đẳng thức đại số sẽ cho chỳng ta yờu cầu. Với suy luận đú, chỳng ta cú lời giải sau:
 x y x y
* Trỡnh bày lời giải
a) Kẻ CI //AH // EF (với I ,H BD )
Xột AOH và COI cú ãAOH ãCOI (đối đỉnh); OA = OB; ãHAO ãICO (so le trong) 
 AOH COI (c.g.c) IO OH . Áp dụng định lý Ta-lột, ta cú:
BA BC BH BI BH BI BO OH BO OI 2.BO
 4. 
BF BE BM BM BM BM BM
b) Tương tự ta cú: BF
* Tỡm cỏch giải. Nhận thấy từ FB=2.FC suy ra: 2 mang tớnh chất trọng tõm tam giỏc. Do vậy nếu 
 CF
gọi G là trọng tõm tam giỏc, AH là đường trung tuyến thỡ dễ dàng nhận được GF // AC và AH  BC nờn 
G là trực tõm tam giỏc ABF. Do đú ta cú lời giải sau:
* Trỡnh bày lời giải.
Gọi G là trọng tõm tam giỏc ABC và AG kộo dài cắt BC 
tại H AH là đường trung tuyến của tam giỏc ABC.
Mặt khỏc, ABC vuụng cõn tại A nờn AH  BC
 BG
Ta cú: 2 (vỡ G là trọng tõm);
 GM
 BF
Và 2 (giả thiết)
 FC
 BG BF
 FG//AC (theo định lý Ta-let đảo)
 GM FC
 FG  AB nờn G là trực tõm ABF BG  AF hay
BM  AF .
 BM BN
Vớ dụ 9. Cho tam giỏc ABC. Biết tồn tại điểm M, N lần lượt trờn cạnh AB, BC sao cho 2. và
 AM CN
ãBNM ãANC . Chứng minh tam giỏc ABC vuụng. 
 Giải
Cỏch 1. Gọi P là trung điểm của AM, Q là giao điểm của AN với CP
 BM BM BN
Ta cú: 2. MN //CP (định lý Ta-let đảo).
 PM AM CN
 ãQCN ãMNB ãANC QCN cõn tại Q. 
Mặt khỏc PA PM ,PQ//MN QA QN nờn QA QC QN
 CAN vuụng tại C ABC vuụng tại C.
Cỏch 2. Dựng D là điểm đối xứng của N qua C 
 ND CN CD 2.CN
 MB BN MB BN BN
Ta cú: 2 
 MA CN MA 2.CN DN
 MN//AD (định lý Ta-let đảo).
 à ả ả
 D=N1=N2 AND cõn. Do đú đường trung tuyến AC cũng là 
đường cao.
Vậy AC  CB ABC vuụng tại C. AM AM KA
Ta cú theo định lý Ta-lột AM//CP nờn (1)
 MB CP KC
Nhận thấy EAQ EDN (g.c.g) nờn DN = AQ.
 DN AQ KA
Theo định lý Ta-lột, ta cú: AQ // CN nờn (2)
 NC NC KC
 AM DN AM DN AM DN
Từ (1) và (2) suy ra: 
 MB NC AM MB DN NC AB DC
Suy ra AM = DN.
Do đú ADNM là hỡnh bỡnh hành suy ra AD = MN. 
C. Bài tập vận dụng
 1
13.1. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AC = 24 cm . Điểm E thuộc cạnh AB sao cho AE EB . Điểm F là 
 2
trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của AC với DE, DF. Tớnh cỏc độ dài AI, IK, KC. 
13.2. Cho tam giỏc ABC cú BC là cạnh lớn nhất. Trờn cạnh BC lấy cỏc điểm D, E sao cho BD =BA; 
CE = CA . Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại M. Đường thẳng qua E song song với AC 
cắt AB tại N. Chứng minh AM = AN. 
(Tuyển sinh lớp 10 chuyờn Toỏn, TP. Hồ Chớ Minh, năm học 2013 - 2014)
13.3. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AH. Đường vuụng gúc với 
BC tại C cắt đường thẳng BI tại D. Chứng minh DA = DC.
13.4. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Trờn đường chộo AC lấy một điểm I. Tia DI cắt đường thẳng AB tại M, 
cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh rằng:
 AM DM CB
a) ;
 AB DN CN
b) ID2 IM .IN.
13.5. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Vẽ về phớa ngoài hai tam giỏc ABD và ACE vuụng cõn tại B và E. 
Gọi H là giao điểm của AB và CD; K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng:
a) AH = AK;
b) AH 2 BH .CK .
13.6. Cho hỡnh vuụng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Gọi F là giao điểm của AE và CD, G là giao điểm 
của DE và BF.
a) Gọi I và K theo thứ tự là giao điểm của AB và CG và DG. Chứng minh rằng IE song song với BD.
b) Chứng minh rằng AE vuụng gúc với CG.
13.7. Cho tam giỏc ABC và D là một điểm tựy ý trờn AC. Gọi G là trọng tõm ABD . Gọi E là giao điểm 
 EB CA
của CG và BD. Tớnh .
 ED CD

File đính kèm:

  • docchuyen_de_13_dinh_ly_ta_let_trong_tam_giac_boi_duong_hsg_toa.doc