Chuyên đề 13: Biến đổi các phân thức hữu tỉ - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chuyên đề 13. BIẾN ĐỔI CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
• Một biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên những phân 
 thức gọi là biểu thức hữu tỉ.
• Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi biểu thức hữu tỉ 
 thành một phân thức.
• Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 là điều kiện để giá trị của phân thức được 
 xác định.
B. Một số ví dụ
 æ 6- xö 1 x 3+ x
 ç1- ÷. -
 èç 3 ø÷ 2
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức: A = x - 3+ - 2 4
 2 2
 Giải
Tìm cách giải. Đối với những biểu thức phức tạp, nhiều tầng lớp phân thức, chúng ta nên biến đổi dần dần ở 
tử thức của từng phân thức trước. Sau đó được biểu thức đơn giản hơn, rồi rút gọn tiếp.
Trình bày lời giải
 æ 6- xö 1 x 3+ x
 ç1- ÷. -
 èç 3 ø÷ 2
Ta có: A = x - 3+ - 2 4
 2 2
 3- 6 + x
 2x - 3- x
= x - 3+ 3 -
 4 8
 x - 3 x - 3 æ 1 1ö 23x - 69
= x - 3+ - = (x - 3)ç1+ - ÷=
 12 8 èç 12 8ø÷ 24
Ví dụ 2. Cho biểu thức
 é3 æ x 4 + 1ö x 3 - x(4x - 1)- 4ù x 2 + 29x + 78
A = ê - çx 4 - ÷. ú:
 ê ç 2 ÷ 7 6 ú 2
 ë2 è x + 1ø x + 6x - x - 6 û 3x + 12x - 36
a) Rútt gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho A có giá trị nguyên.
 Giải
Tìm cách giải. Những biểu thức có nhiều ngoặc, chúng ta thực hiện trong ngoặc tròn trước, sau đó thực hiện 
đến ngoặc vuông. Khi thực hiện chúng ta nên rút gọn biểu thức nếu có thể nhằm đưa về những phân thức 
đơn giản hơn.
Trình bày lời giải
a) Ta có
 é 6 4 4 3 2 ù
 ê3 x + x - x - 1 x - 4x + x - 4ú (x + 3)(x + 26)
A = ê - 2 . ú:
 2 x + 1 x + 6 x6 - 1 3(x + 6)(x - 2)
 ëê ( )( ) ûú Giải
 2
 x2 + y2 + xy æx - yö
 ç ÷
 xy èç xy ø÷
Ta có: P =
 x2 y2 x2 + y2
 + -
 y2 x2 xy
 2 4 4 2 2
 x2 + xy + y2 (x - y) x + y - (x + y )xy
= . :
 xy x2 y2 x2 y2
 2
 x 2 + xy + y2 (x - y) x 4 + y4 - x 3 y- y3 x
= . :
 xy x 2 y2 x 2 y2
 2
 x2 + xy + y2 (x - y) x2 y2
= . .
 xy x2 y2 (x - y)(x3 - y3)
 2
 x2 + xy + y2 (x - y) x2 y2 1
= . 2 2 . 2 =
 xy x y (x - y) (x2 + xy + y2 ) xy
Ví dụ 5. Giả sử x, y, z là các số thực khác không, thỏa mãn hệ đẳng thức:
ïì æ ö æ ö æ ö
ï ç1 1÷ ç1 1÷ ç1 1÷
ï xç + ÷+ yç + ÷+ zç + ÷= - 2
íï èçy zø÷ èçz xø÷ èçx yø÷
ï
ï 3 3 3
îï x + y + z = 1
 1 1 1
Hãy tính giá trị của biểu thức: P = + +
 x y z
 (Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội,
 năm học 2001 – 2002)
 Giải
Tìm cách giải. Bài toán này thuộc dạng tính giá trị biết điều kiện của biến số. Quan sát, nhận thấy bài toán 
có hai điều kiện nhưng có ba biến số (số biến nhiều hơn số điều kiện). Do điều kiện hai đơn giản, không 
phân tích tiếp được. Với điều kiện thứ nhất, chúng ta biến đổi và nhận thấy phân tích thành nhân tử được, 
tìm được mối quan hệ giữa hai trong ba biến. Từ đó tìm được cách giải sau.
Trình bày lời giải.
 æ1 1÷ö æ1 1ö æ1 1÷ö
Từ đẳng thức: xç + ÷+ yç + ÷+ zç + ÷= - 2
 èçy zø÷ èçz xø÷ èçx yø÷
Ta có: 2xyz + x2z + x2 y + y2z + z2 y + z2 x = 0
Û (xyz + x2z)+ (xyz + y2z)+ (x2 y + y2 x)+ (z2 x + z2 y)= 0
 ïì x + y = 0
 ï
Û (x + y)(y + z)(z + x)= 0 Û íï y + z = 0
 ï
 îï z + x = 0
Không mất tổng quát, giả sử x + y = 0 Þ x3 + y3 = 0 é ù
 y- x ê y2 2x2 y x2 ú
a) Rút gọn biểu thức: A = : ê 2 - 2 + 2 2 ú
 xy ê(x - y) x2 - y2 y - x ú
 ëê ( ) ûú
b) Chứng minh rằng: A = - 4
 1 1 1
13.8. Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = + + = 0 và xyz = 1
 x y z
 x6 + y6 + z6
Tính giá trị M =
 x3 + y3 + z3
 a- 1 x1 - 1 x2 - 1
13.9. Cho a Ï {0;1;- 1} và x1 = ;x2 = ;x3 = ;...
 a + 2 x1 + 1 x2 + 1
Tìm a nếu x2020 = 3
 6
 æ 1ö æ6 1 ö
 çx + ÷ - çx + ÷- 2
 èç xø÷ èç x6 ø÷
13.10. Cho M = 3
 æ 1ö 3 1
 çx + ÷ + x +
 èç xø÷ x3
a) Rút gọn M.
b) Cho x > 0 , tìm giá trị nhỏ nhất của M.
 2 2
 éæ1- x3 öæ1+ x3 öù (1- x )
13.11. Cho biểu thức A = êç + x÷.ç - x÷ú:
 êç ÷ç ÷ú 2
 ëè1- x øè1+ x øû 1+ x
Chứng tỏ rằng biểu thức A dương với mọi x ¹ ± 1
 é 2 2 æ ö2 ù
 ê x - y 2 ç1 1÷ ú 1
13.12. Cho P = ê 2 2 + :ç + ÷ ú.
 x + 2xy + y xy èçx yø÷ x - y
 ëê ûú
 1 2xy 3
Và Q = + +
 x + y (x2 - y2 )(x + y) x2 - 2x + 2
Với giá trị nào của x; y thì P – Q đạt giá trị nhỏ nhất.
 y- x y + x 2 y + x 2
13.13. Rút gọn A = 2 + - + + trong đó x > 5 và 
 xy xy z xy z
 x2 - 25 x2 - 25
y = ;z =
 10x + 25 15x + 25
 x + x +
 x x - 5
 Hướng dẫn giải – đáp số
 æ 2 ö a3 - 8 2
13.1. Ta có: A = ça + ÷: + (a ¹ ± 2;0)
 èç 0,5a + 1ø÷ a + 2 2a- a2
 æ 2 ö - 2 2 + 2 + 4
 ça + 2a 4 ÷ (a )(a a ) 2
A = ç + ÷: -
 èç a + 2 a + 2ø÷ a + 2 a(a- 2) (x - 1)(x + 1)(x + 2)é x - 3 ù x + 2
= ê ú=
 ê ú 2
 x(x - 3)(x + 1) ëêx(x - 1)ûú x
 éx = 1(lo¹i)
 x + 2 2 ê
M = = 3 Û 3x = x + 2 Û (3x + 2)(x - 1)= 0 Û ê - 2
 x2 êx = (tháa m·n)
 ëê 3
13.5.
 æ x 2 1 ö æ 10- x2 ö
 = ç + + ÷ ç - + ÷ ¹ ±
a) Ta có: A ç 2 ÷:çx 2 ÷(x 2)
 èçx - 4 2- x x + 2ø÷ èç x + 2 ø÷
 é x 2(x + 2) x - 2 ù æx2 - 4 10- x2 ö
A = ê - + ú:ç + ÷
 ê ú ç ÷
 ëê(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2) (x + 2)(x - 2)ûú è x + 2 x + 2 ø
 éx + x - 2- 2x - 4ù æx2 - 4 + 10- x2 ö
A = ê ú:ç ÷
 ê ú ç ÷
 ëê (x - 2)(x + 2) ûú è x + 2 ø
 - 6 6 1
A = : =
 (x - 2)(x + 2) x + 2 2- x
 é 1
 êx = (tháa m·n)
 1 ê 2
b) x = Û ê
 2 ê 1
 êx = - (tháa m·n)
 ëê 2
 1 1 2
với x = thì A = =
 2 1,5 3
 1 1 2
với x = - thì A = =
 2 2,5 5
c) A 2
Vậy với x > 2 thì A < 0
d) A Î Z Û 1M(2- x)Î {± 1} Û x Î {3;1}
Vậy với x Î {3;1} thì A Î Z
13.6. 
a) TXĐ: x ¹ 3;x ¹ 4
 12x - 45 x + 5 2x + 3
Ta có: Q = - -
 (x - 3)(x - 4) x - 4 x - 3
 12x - 45- (x + 5)(x - 3)- (2x + 3)(x - 4)
=
 (x - 3)(x - 4)
 12x - 45- x2 + 3x - 5x + 15- 2x2 + 8x - 3x + 12
=
 (x - 3)(x - 4) x1 - 1 - 3 - 2a- 4 - a- 2
13.9. Ta có: x2 = = ;x3 = = ;
 x1 + 1 2a + 1 2a- 2 a- 1
 - a- 2- a + 1 2a + 1 a- 1
x = = ;x =
 4 - 3 3 5 a + 2
Vậy xk = xk+ 4 = xk+ 8 = ...
 2a + 1
x = x = 3 Û = 3
 2020 4 3
Vậy a = 4
13.10.
a) Ta có:
 6 2 éæ 1ö3 æ 1 öùéæ 1ö3 æ 1 öù
 æ 1ö æ3 1 ö êç ÷ ç 3 ÷úêç ÷ ç 3 ÷ú
 çx + ÷ - çx + ÷ çx + ÷ - çx + 3 ÷ çx + ÷ - çx + 3 ÷
 ç ÷ ç 3 ÷ êèç ø÷ èç ø÷úêèç ø÷ èç ø÷ú
 èç xø èç x ø ëê x x ûúëê x x ûú
M = 3 = 3
 æ 1ö æ3 1 ö æ 1ö æ3 1 ö
 çx + ÷ + çx + ÷ çx + ÷ + çx + ÷
 èç xø÷ èç x3 ø÷ èç xø÷ èç x3 ø÷
 3
 æ 1ö æ3 1 ö 3 1 æ3 1 ö æ 1ö 3
= çx + ÷ - çx + ÷= x + - çx + ÷+ 3çx + ÷= 3x +
 èç xø÷ èç x3 ø÷ x3 èç x3 ø÷ èç xø÷ x
 3 3
b) M = 3x + ³ 2 3x. = 6
 x x
dấu bằng xảy ra Û x = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 6 khi x = 1.
13.11. Ta có
 éæ 2 öæ 2 öù 2 2
 êç(1- x)(1+ x + x ) ÷ç(1+ x)(1- x + x ) ÷ú (1- x )
A = ç + x÷ç - x÷ :
 êç ÷ç ÷ú 2
 êç 1- x ÷ç 1+ x ÷ú 1+ x
 ëè øè øû
 2
 (1- x2 )
= (1+ x + x2 + x)(1- x + x2 - x):
 1+ x2
 2 2
 2 2 1+ x 2 2 1+ x 2
= (1+ x) (1- x) 2 = (1- x ) 2 = 1+ x
 (1- x2 ) (1- x2 )
Vì x2 ³ 0 do đó A = 1+ x2 > 0 với mọi x ¹ ± 1
13.12.
 é 2 ù
 ê(x - y)(x + y) 2 (x + y) ú 1
Ta có: P = ê 2 + : 2 2 ú.
 xy x y x - y
 ëê (x + y) ûú
 é 2 2 ù é ù
 êx - y 2 x y ú 1 êx - y 2xy ú 1
P = ê + . 2 ú = ê + 2 ú.
 x + y xy x - y x + y x - y
 ëê (x + y) ûú ëê (x + y) ûú
 x - y 1 2xy 1 1 2xy
P = . + 2 . = +
 x + y x - y (x + y) x - y x + y (x2 - y2 )(x + y)