Chuyên đề 12: Phương pháp diện tích - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chuyên đề 12
 PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH
A. Kiến thức cần nhớ
1. Ta đã biết một số công thức tính diện tích của đa giác như công thức tính diện tích hình tam giác, hình 
thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, Khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được 
diện tích của những hình ấy. Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình chẳng hạn biết hai tam giác 
có diện tích bằng nhau và có hai đáy bằng nhau thì suy ra được các chiều cao tương ứng bằng nhau. Như 
vậy các công thức tính diện tích cho ta các quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng.
2. Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau:
- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình.
- Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài.
- Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh.
3. Một số biện pháp thực hiện:
- Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích tam giác.
- Sử dụng tính chất: Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng tỉ số hai diện 
tích. Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng bằng tỉ số hai diện tích.
- Sử dụng tính chất: Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao (ứng với đáy 
đó) thì diện tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, một đường thẳng cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: 
S AM.AN
 AMN .
SABC AB.AC
 Giải
Áp dụng tính chất hai tam giác có cùng đường cao, ta có: 
S AN S AM
 AMN ; AMC 
SAMC AC SABC AB
 S S S AM.AN
Từ đó suy ra: AMN AMN . AMC 
 SABC SAMC SABC AB.AC
(điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và A B C có A ºA .
 S A B .A C 
Chứng minh rằng: A B C 
 SABC AB.AC
 Giải
Trên đường thẳng AB, AC lấy hai điểm M và N sao cho AM A B , AN A C .
Từ đó suy ra: A B C AMN c.g.c . Phương pháp diện tích là để tìm tỉ số đoạn thẳng, ta tìm tỉ số diện tích của hai tam giác nhận hai đoạn 
thẳng ấy làm cạnh.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Một điểm M thuộc cạnh BC, kẻ MD vuông góc với AB, ME 
vuông góc với AC. Chứng minh rằng tổng MD ME không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh BC.
 Giải
* Tìm cách giải : Nhận thấy khi điểm M di động trên cạnh BC thì quan hệ MD vuông góc với AB, ME 
vuông góc với AC là không đổi, nên dễ dàng nhận biết được tổng diện tích hai tam giác ABM và ACM là 
không đổi. Do vậy chúng ta nghĩ tới phương pháp diện tích.
* Trình bày lời giải
Kẻ BH  AC H cố định BH không đổi. 
Ta có: SABM SAMC SABC
 1 1 1
 AB.DM AC.ME AC.BH
 2 2 2
 1 1
 AB. MD ME AC.BH (vì AB AC )
 2 2
Do đó DM ME BH không phụ thuộc vào vị trí của M trên cạnh BC.
Nhận xét: 
- Ngoài cách giải trên, chúng ta còn có cách giải khác như sau: Kẻ MI vuông góc với BH. Chúng ta chứng 
minh được MD BI, ME IH , từ đó suy ra DM ME BH không phụ thuộc vào vị trí của M trên 
cạnh BC.
- Tam giác ABC đều sẽ là trường hợp đặc biệt của tam giác cân, do vậy với kỹ thuật trên chúng ta giải 
được bài toán sau: Cho tam giác đều ABC. Một điểm M bất kì thuộc miền trong hoặc trên cạnh của tam 
giác ABC. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm M đến các cạnh của tam giác ABC không phụ 
thuộc vào vị trí điểm M.
- Nếu cho điểm M chuyển động trên tia đối của tia CB, ta có: SABM SAMC SABC . Với kỹ thuật trên 
chúng ta giải được bài toán sau: Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Một điểm M tùy ý trên tia đối của tia CB. 
Kẻ MD vuông góc với cạnh AB, ME vuông góc với AC. Chứng minh rằng hiệu MD ME không phụ 
thuộc vào vị trí điểm M.
- Bản chất của cách giải là dùng diện tích, kết hợp với AB AC để chứng minh kết quả trên bằng độ dài 
đường cao ứng với cạnh bên. Với tư tưởng ấy chúng ta giải được bài toán sau: Cho tam giác đều ABC. 
Một điểm M bất kì thuộc miền trong góc A, nhưng nằm ngoài tam giác ABC. Kẻ MD vuông góc với cạnh 
AB, ME vuông góc với AC, MK vuông góc với BC. Chứng minh rằng: MD ME MK không phụ 
thuộc vào vị trí điểm M.
Ví dụ 5: Một hình chữ nhật bằng giấy được gấp theo đường chéo AC như hình vẽ. Diện tích của hình 
 5
nhận được bằng của diện tích ban đầu. Biết diện tích tam giác AMC là 18cm2 .
 8 Kẻ AP vuông góc CD và cắt MN tại I; BQ vuông góc CD và cắt MN tại J; DK vuông góc MN tại K; CH 
vuông góc MN tại H;
Ta có:
 1 1
S .CD.AP;S .CD.BQ
 ACD 2 BCD 2
Mà AP BQ , nên SACD SBCD SAOD SBOC
Mặt khác,
 1 1 1 1
S S S .OM.AI .OM.DK .OM. AI DK .OM.AP
 AOD AOM DOM 2 2 2 2
 1 1 1 1
S S S .ON.BJ .ON.CH .OM. BJ CH .ON.BQ
 BOC BON CON 2 2 2 2
 1 1
Suy ra: .OM.AP .ON.BQ OM ON
 2 2
Ví dụ 7: Cho x¼Oy 90 có tia Oz là phân giác. Lấy điểm P cố định thuộc Oz P O . Qua P kẻ đường 
 1 1
thẳng d bất kì cắt Ox, Oy tại M, N. Chứng minh khi d thay đổi thì không đổi.
 OM ON
 Giải 
Kẻ PI  Ox, PH  Oy , ta có PI PH và không đổi. 
Ta có: SOPM SOPN SOMN , nên:
1 1 1
 OM.PI ON.PH OM.ON
2 2 2
 1
Chia hai vế cho OM.ON 
 2
 PI PH
Ta có: 1
 ON OM
 1 1 1
Do PI PH , nên ta có: không đổi.
 ON OM PI
Ví dụ 8: Trong tam giác ABC nhọn gọi ha ,hb ,hc là độ dài các đường cao ứng với cạnh BC, CA, AB. Gọi 
x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong tam giác đến BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
 min ha ,hb ,hc x y z max ha ,hb ,hc 
 Giải 
Giả sử ha hb hc thì c b a
Mà 2.S ax by cz ax ay az 
 x y z ha (1)
2.S ax by cz cx cy cz 1 1 1 1
 ha hb hc r
12.12. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: 
 AI 2 BI 2 CI 2
 1 .
AB.AC BA.BC CA.CB
12.13. Hai đường chéo của tứ giác ABCD cắt nhau tại O, chia tứ giác thành bốn tam giác có đỉnh O là 
OAB, OBC, OCD, OAD. Biết số đo diện tích của các tam giác này là các số nguyên. Chứng minh rằng 
tích các số đo diện tích của các tam giác đó là một số chính phương.
12.14. Cho lục giác ABCDEF, mỗi đường chéo AD, BE, CF chia lục giác thành hai phần có diện tích 
bằng nhau. Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy.
12.15. Cho lục giác ABCDEF. Gọi các trung điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA lần lượt là L, 
M,N,P,Q,R. Biết mỗi đoạn LP, MQ, NR đều chia lục giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Chứng 
minh rằng LP, MQ, NR đồng quy.
12.16. Cho tứ giác ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Đường thẳng EF cắt các 
đường thẳng AB, CD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng MA.NC MB.ND
 Hướng dẫn giải
 2 2
12.1. Ta có: SABCD AD 144 cm nên AD 12cm 
 1 1 1
Mặt khác: S S nên AB.AE AB.AD
 ABE 3 ABCD 2 3
 2 2
 AE AD .12 8 cm 
 3 3
12.2. Ta có: AM MB; DN CN , mà AMND và BCNM là 
hình thang có chung đường cao, nên SAMND SBCNM . 
Ta có: SAMI SBMF vì AM BM và đường cao hạ từ E; F 
bằng nhau.
Ta có: SDEN SFCN vì ND NC và đường cao hạ từ E; F 
bằng nhau SEMN SFMN
Kẻ EK  MN; FH  MN nên EK FH .
Suy ra EKI FHI nên EI FI .
12.3. Đặt diện tích OBC, OAC, OAB, ABC lần lượt là 
S1;S2 ;S3 và S.
Áp dựng tỉ số diện tích hai tam giác có chung đường cao và 
tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: BCE có MC ME, NB NE
 MN là đường trung bình của BCE .
 MN PBC .
 XP S S S
12.7. Nối MX ; BX ; BY;CX ;CZ . Ta có: MXP MXY PXY
 XN SMXN SMXZ SNXZ
Từ đó, với chú ý rằng: BP PYZ thì SPXY SBXY
và CN PZX thì SNXZ SCXZ . Ta có: 
XP S S
 MXY BXY (1)
XN SMXZ SCXZ
Mặt khác vì YZ PBC nên ta có:
MB S S S S
 XMB YMB XMB YMB
MC SXMC SZMC SXMC SZMC
 S S
 MXY BXY (2)
 SMXZ SCXZ
 XP MB
Từ (1) và (2) suy ra: .
 XN MC
12.8. Kẻ DH  AE;CK  AE . Ta có: 
S EC 1 S AD 1
 AEC ; ADE 
SABE BE 4 SABE AB 4
(vì BE 4.EC; BD 3.DA )
 SAEC SADE
 SAEC SADE CK DH
 SABE SABE
Suy ra HFD KFC
 (vì Hº Kº 90; F¼HD F¼CK;CK AH )
 FD FC
12.9. Kẻ DD , BB , EH, FK cùng vuông góc với AC.
 EH AE
Do EH PBB 
 BB AB
 FK CF
FK PDD 
 DD CD
 AE CF EH FK
mà gt suy ra .
 AB CD BB DD 
Ta có: HIE KIF (vì IE IF,
H¼IE K¼IF) HE FK vậy BB DD . 
Suy ra: SACD SABC . Từ (1), (2), (3) cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh. 
12.13. Gọi S1, S2 , S3 , S4 theo thứ tự là diện tích của các 
tam giác OAB,OBC,OCD,OAD
 S OA
Suy ra 1 (1) 
 S2 OC
 S OA
Tương tự 3 (2)
 S4 OC
 S S
Từ (1) và (2) ta có: 1 4
 S2 S3
 2
Suy ra S1S3 S2S4 nên S1S2S3S4 S1S3 là một số chính phương.
12.14. Giả sử AD, BE, CF không đồng quy, gọi giao điểm các cặp đường chéo AD và BE là M, BE và CF 
là N, CF và AD là P. Do M không thuộc CF nên M nằm trong một trong hai tứ giác FABC hoặc CDEF, 
giả sử M nằm trong tứ giác FABC. Theo giả thiết AD, BE cùng chia đa giác ABCDEF thành hai phần có 
 1
diện tích bằng nhau nên S S S S S
 ABCD BCDE 2 ABCDEF MAB MDE
 S MA.MB
 MAB 1 1
 SMDE MD.ME
 MA.MB MD.ME PD.NE (1)
Chứng minh tương tự, ta có:
 1
S S S S S
 CDEF DEFA 2 ABCDEF PCD PFA
 PC.PD PF.PA NF.MA (2)
 1
S S S S S
 EFAB FABC 2 ABCDEF NEF NBC
 NE.NF NB.NC MB.PC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: MA.MB.PC.PD.NE.NF MA.MB.PC.PD.NE.NF vô lí.
Vậy AD, BE, CF đồng quy.
12.15. Gọi giao điểm của LP và MQ là O, ta có: SOLA SOLB
Đặt S1 SOLA SOLB ,
Tương tự S2 SOMB SOMC , 
S3 SONC SOND , S4 SOPD SOPE ,
S5 SOQE SOQF , S6 SORF SORA ,
 1
S S, S S S ,
 ABCDEF LBCDP MCDEQ 2
 SOLBM SOPEQ