Chuyên đề 12: Phép nhân và phép chia các phân thức đại số - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chuyên đề 12. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Kiến thức cần nhớ
 A C A.C
Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau: . =
 B D B.D
Phép nhân các phân thức có các tính chất:
 A C C A
 • Giao hoán: . = . ;
 B D D B
 æA C ö E A æC Eö
 • Kết hợp: ç . ÷. = .ç . ÷;
 èçB Dø÷ F B èçD Fø÷
 AæC Eö A C A E
 • Phân phối đối với phép cộng: ç + ÷= . + . .
 B èçD Fø÷ B D B F
1. Phân thức nghịch đảo. Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.
 A A B A B
Tổng quát, nếu là phân thức khác 0 thì . = 1, do đó là phân thức nghịch đảo của phân thức .
 B B A B A
2. Phép chia
 A C A C
Quy tắc. Muốn chia phân thức cho phân thức khác 0, ta nhân với phân thức nghịch đảo của .
 B D B D
A C A D C
 : = . với ¹ 0 .
B D B C D
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Thực hiện các phép tính sau:
 12x + 5 4x + 3 12x + 5 6- 3x
a) P = . + .
 x + 9 360x + 150 x + 9 360x + 150
 x + 3y 4x - 2y x + 3y x - 3y
b) P = . - .
 3x + y x - y 3x + y x - y
 Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy trong các biểu thức đều có phân thức chung. Do đó nên vận dụng tính chất phân 
phối của phép nhân nhằm đưa bài toán về dạng đơn giản hơn.
Trình bày lời giải
a) Dùng tính chất phân phối, ta có:
 12x + 5 æ 4x + 3 6- 3x ö 12x + 5 x + 9 1
P = .ç + ÷= . =
 x + 9 èç360x + 150 360x + 150ø÷ x + 9 30(12x + 5) 30
b) Dùng tính chất phân phối, ta có:
 x + 3y æ4x - 2y x - 3yö x + 3y 3x + y x + 3y
P = .ç - ÷= . =
 3x + y èç x - y x - y ø÷ 3x + y x - y x - y
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: 2
4ab- c2 - (a- b)
 = (3)
ab + 2c2 (c- a)(c- b)
Từ (1) và (2), (3) ta có:
 2 2 2
 4bc- a2 4ca- b2 4ab- c2 - (a- b) (b- c) (c- a)
M = 2 2 2 = 2 2 2 = 1
 bc + 2a ca + 2b ab + 2c - (a- b) (b- c) (c- a)
Vậy giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị của biến.
b) Ta có:
 æ aöæ böæ cö a + b c + b a + c (- c)(- a)(- b)
N = ç1+ ÷.ç1+ ÷.ç1+ ÷= . . = = - 1
 èç bø÷èç cø÷èç aø÷ b c a abc
Vậy giá trị biểu thức N không phụ thuộc vào giá trị của biến.
 1 1
Ví dụ 5: Cho x là số thực âm thỏa mãn x2 + = 23. Tính giá trị biểu thức A = x3 +
 x2 x3
 Giải
Tìm cách giải. Do kết luận có dạng hằng đẳng thức a3 + b3 , nên để tính giá trị biểu thức, chúng ta cần tính 
 1 1
được x + . Với suy nghĩ ấy, chúng ta khai thác điều kiện để tìm x + . Từ đó chúng ta có lời giải sau:
 x x
Trình bày lời giải
 2
 2 1 2 1 æ 1ö
Từ giả thiết x + = 23 Þ x + 2 + = 23 Þ çx + ÷ = 25
 x2 x2 èç xø÷
 1
Vì x < 0 nên x + = - 5
 x
 3
 3 1 æ 1ö æ 1ö 3
Ta có: A = x + = çx + ÷ - 3çx + ÷= (- 5) - 3.(- 5)= - 110 .
 x3 èç xø÷ èç xø÷
Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức với n là số nguyên dương:
 æ öæ öæ ö æ ö
 ç 2 ÷ç 2 ÷ç 2 ÷ ç 2 ÷
A = ç1+ ÷ç1+ ÷ç1+ ÷...ç1+ ÷
 èç 1.4øèç 2.5øèç 3.6ø èç n(n + 3)ø÷
 Giải
Tìm cách giải. Với phép nhân các biểu thức theo quy luật, chúng ta thường xét phân thức có dạng tổng quát. 
Sau đó phân tích thành nhân tử cả tử và mẫu dạng tổng quát ấy. Cuối cùng thay các giá trị từ 1 đến n vào 
biểu thức và rút gọn.
Trình bày lời giải
 2 k2 + 3k + 2 (k + 1)(k + 2)
Xét 1+ = =
 k(k + 3) k(k + 3) k(k + 3)
Thay k = 1; 2; 3;...;n ta được: é 2 2 ù
 ê (x - 1) 1- 2x + 4x 1 ú 2x
12.4. Cho biểu thức: P = ê 2 - 3 + ú: 3
 x - 1 x - 1 x + x
 ëê3x + (x - 1) ûú
a) Rút gọn biểu thức P.
 1
b) So sánh P với .
 2
 2
 æx3 - 1 x3 + 1ö 2(x - 2x + 1)
 = ç + ÷
12.5. Cho P ç 2 2 ÷: 2
 èçx - x x + xø÷ x - x
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.
 æ x x - y ö æ y2 1 ö x
 = ç - ÷ ç + ÷
12.6. Cho A ç 2 2 ÷:ç 3 2 ÷:
 èçy + xy x + xyø÷ èçx - xy x + yø÷ y
a) Rút gọn A
b) Tìm x, y để A > 1 và y < 0
 1
12.7. Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện x2 + = 7
 x2
 1 2
Tính giá trị biểu thức A = x3 + và B = x5 +
 x3 x5
12.8. Thực hiện phép tính: 
 14 + 4 54 + 4 94 + 4 174 + 4
a) A = . . .... ;
 34 + 4 74 + 4 114 + 4 194 + 4
 1 1 1 1
 14 + 34 + 54 + 294 +
b) B = 4 . 4 . 4 ... 4
 1 1 1 1
 24 + 44 + 64 + 304 +
 4 4 4 4
12.9. Cho hai số thực a, b thỏa điều kiện ab = 1,a + b ¹ 0 . Tính giá trị của biểu thức:
 1 æ1 1 ö 3 æ1 1 ö 6 æ1 1ö
P = ç + ÷+ ç + ÷+ ç + ÷
 3 ç 3 3 ÷ 4 ç 2 2 ÷ 5 ç ÷
 (a + b) èça b ø (a + b) èça b ø (a + b) èça bø
 2
 b2 + c2 - a2 a2 - (b- c)
12.10. Cho x = ;y = 2
 2bc (b + c) - a2
Tính giá trị biểu thức P = xy + x + y
 æ1 1 1ö2 1 1 1
12.11. Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn: ç + + ÷ = + +
 èça b cø÷ a2 b2 c2
Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 3
12.12. Rút gọn biểu thức với n là số tự nhiên: é 3 2 2 ù
 ê (x - 1) 1- 2x + 4x x + x + 1 ú 2
P = ê - + ú: 2
 x - 1 x2 + x + 1 x - 1 x2 + x + 1 x - 1 x2 + x + 1 x + 1
 ëê( )( ) ( )( ) ( )( )ûú
 é 3 2 2 2 ù
 êx - 3x + 3x - 1- 1+ 2x + 4x + x + x + 1ú 2
= ê ú: 2
 x - 1 x2 + x + 1 x + 1
 ëê ( )( ) ûú
 x3 - 1 x2 + 1 x2 + 1
= =
 (x - 1)(x2 + x + 1) 2 2
 x2 + 1 1
b) P = ³
 2 2
 1
dấu bằng không xảy ra. Vậy P >
 2
12.5.
 2
 æx3 - 1 x3 + 1ö 2(x - 2x + 1)
 = ç + ÷
a) Ta có: P ç 2 2 ÷: 2
 èçx - x x + xø÷ x - x
 æ 2 2 ö
 çx + x + 1 x - x + 1÷ 2(x - 1)
= ç + ÷:
 èç x x ø÷ x
 æ 2 ö 2 2
 ç2x + 2÷ 2(x - 1) x + 1 x x + 1
= ç ÷: = . =
 èç x ø÷ x x x - 1 x - 1
ĐK: x ¹ 0, x ¹ 1
 x2 + 1 2 2
b) Ta có P = = x + 1+ vì x Î Z Þ x + 1Î Z Û Î Z
 x - 1 x - 1 x - 1
Û x - 1Î Ư(2) suy ra:
 x - 1 1 2 -1 -2
 x 2 3 0 -1
Kết hợp với tập xác định x Î {0;1;- 1} thì x Î {2;3} ta được P Î Z .
12.6.
 æ x x - y ö æ y2 1 ö x
 = ç - ÷ ç + ÷
a) Ta có: A ç 2 2 ÷:ç 3 2 ÷:
 èçy + xy x + xyø÷ èçx - xy x + yø÷ y
 æ 2 2 ö æ 2 2 ö
 ç x xy- y ÷ ç y x - xy ÷ x
A = ç - ÷:ç + ÷:
 èçxy(x + y) xy(x + y)ø÷ èçx(x + y)(x - y) x(x - y)(x + y)ø÷ y
 x2 - xy + y2 x2 - xy + y2 x x(x - y)(x + y) x x - y
= : : = : =
 xy(x + y) x(x - y)(x + y) y xy(x + y) y x
ĐK: xy ¹ 0, x ¹ ± y
 - y
b) A > 1 Û > 0 Û x > 0
 x 2 2
 2 2 2 é(a + b) ù
 (a + b + 2ab) ëê ûú
= 4 = 4 = 1
 (a + b) (a + b)
Vậy P = 1 , với ab = 1,a + b ¹ 0 .
 2
 b2 + 2bc + c2 - a2 (b + c) - a2 (b + c- a)(b + c + a)
12.10. Xét x + 1= = =
 2bc 2bc 2bc
 b2 + 2bc + c2 - b2 + 2bc- c2 4bc
Xét y + 1= =
 (b + c- a)(b + c + a) (b + c- a)(b + c + a)
Vậy P = xy + x + y = (x + 1)(y + 1)- 1= 2- 1= 1
 æ1 1 1ö2 1 1 1
12.11. Ta có: ç + + ÷ = + + (1)
 èça b cø÷ a2 b2 c2
æ1 1 1ö2 1 1 1 2 2 2
ç + + ÷ = + + + + +
èça b cø÷ a2 b2 c2 ab bc ca
 1 1 1 2(a + b + c)
= + + + (2)
 a2 b2 c2 abc
 2(a + b + c)
Từ (1) và (2) Þ = 0 Þ a + b + c = 0
 abc
 3 3
Ta có: a3 + b3 + c3 = (a + b) - 3ab(a + b)+ c3 = (a + b + c) - 3abc(a + b + c)- 3ab(- c)= 3abcM3
12.12.
 7 k2 + 6k - 7 (k - 1)(k + 7)
a) Xét 1- = =
 k(k + 6) k(k + 6) k(k + 6)
thay k = 6;7;8;...;n ta được:
 5.13 6.14 7.15 (n- 1)(n + 7) 5.6.7...(n- 1)13.14.15...(n + 7)
B = ... =
 6.12 7.13 8.14 n(n + 6) 6.7.8...n 12.13.14...(n + 6)
 6(n + 7)
=
 12n
 2
 22 k2 + 4k + 22 (k + 2)
b) Xét 1+ = =
 k(k + 4) k(k + 4) k(k + 4)
thay k = 1;2;3;...;n ta được:
 2
 32 42 52 (n + 2) 3.4.(n + 2) 6(n + 1)(n + 2)
C = . . ... = =
 1.5 2.6 3.7 n(n + 4) 1.2.(n + 4) (n + 3)(n + 4)