Chuyên đề 11: Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8

 CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Phương pháp:
 + So sánh P với m: Xét hiệu P – m, rồi so sánh với số 0
 A 0 A 0
 A B 0 A B 0
 Chú ý: 0 Hoặc: 0 
 B A 0 B A 0
 B 0 B 0
 A
 + Tìm x nguyên để P nguyên: P Z B U A 
 B
 + Tìm x để P nguyên: Chặn miền giá trị của P hoặc đặt bằng k (k Z) 
 A
 + Tìm Min Max của P : Nếu bậc của tử bậc của mẫu: chia xuống chú ý dấu bằng xảy ra.
 B
 Chú ý SD BĐT: a b 2 ab 
 (x 1)2 1 2x2 4x 1 x2 x
Bài 1: Cho biểu thức: A 2 3 : 3
 3x (x 1) x 1 x 1 x x
 a) Rút gọn biểu thức A.
 b) Tìm giá trị của x để A > -1
HD:
 x2 1
 a, Rút gọn được: A 
 x 1
 x2 1 x2 x 2
 b, Để A 1 thì 1 0 
 x 1 x 1
 Do đó x2 x 2 và x 1 phải cùng dấu
 2
 2 1 7
 mà x x 2 x 0 
 2 4
 nên x 1 0 x 1 
 Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x 1,x 0, x 1 thì A > -1
 1 3 x2 1 
Bài 2: Cho biểu thức: A 2 : 2 
 3 x 3x 27 3x x 3 
 a) Rút gọn biểu thức A;
 b) Tìm giá trị của x để A < -1.
HD:
 ĐKXĐ: x 0,x 3,x 3 
 x 3
 a, Rút gọn được: A 
 x
 x 3 x 3 x 3 3
 b, Để A 1 thì 1 1 1 0 0 x 0
 x x x x
 (vì 3 > 0 )
 Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x 0, x 3 thì A <-1 2 2
 y2 y 2y 2 x x 10x 25 y y 1 2 y 1 x x 5 
 Khi đó: D : : 
 y 2 x 5 x 5 y 2 x 5 x 5 
 y 1 y 2 x 5 x 5 y 1 x 5 
 . 2 
 y 2 x x 5 x x 5 
 b, Vì x2 x 2 4y2 4xy 0 
 2
 x2 4xy 4y2 x 2 0 x 2y x 2 0 
 2 7
 x 2y 0 và x 2 0 x 2, y 1 D 
 3
 x y x2 y2 y 2 4x4 4x2 y2 4
Bài 7: Cho A , Với x y x y y x2 
 2 2 : 2 0, 0, 2 , 2 2 
 2y x 2y xy x x y xy x
 a) Rút gọn biểu thức A
 2
 b) Cho y 1 .Hãy tìm x để A 
 5
HD:
 x y x2 y2 y 2 4x2 4y2 y2 4 
 a, A 2 2 : 2 
 2y x 2y xy x x y xy x 
 x y x2 y2 y 2 x y x 1 
 A . 
 2 2
 2y x x y 2y x 2x y 2 2x y 2 
 2x2 y 2 x y x 1 x 1
 A . 
 x y 2y x 2x2 y 2 2x2 y 2 2y x 2x2 y 2 
 x 1 2
 b, Với y 1 A 4x3 8x2 11x 7 0 
 2 x 2x2 3 5
 x 1 4x2 4x 7 0 x 1 
 x 1 1 2 x3 2x2
Bài 8: Cho biểu thức: Q 1 3 2 : 3 2 
 x 1 x x 1 x 1 x x x
 a) Rút gọn Q
 3 5
 b) Tính giá trị cảu Q biết : x 
 4 4
 c) Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên
HD:
 x 1 1 2 x3 2x2
 a, Q 1 3 2 : 3 2 
 x 1 x x 1 x 1 x x x
 2
 x 1 x 1 2 x x 1 x2 x 1 2x2 4x x2 x 1
 1 . 1 . 
 x 1 x2 x 1 x x 2 x 1 x2 x 1 x x 2 
 2x x 2 x2 x 1
 1 . , ĐK: x 0; 1;2 
 x 1 x2 x 1 x x 2 
 2 x 1
 Q 1 
 x 1 x 1
 3 5 1
 b, Với x x hoặc x 2 (Loại)
 4 4 2 2
 x x 4 x 2 x 1 x 1
 M . 
 2 x 2 x2 4 x2 2x
 x 1 x 1 1
 Đẻ M nguyên thì 2M nguyên hay nguyên, Mà 1 Z x 1;1 
 x x x
 3 x 2 2x2 x 10 5 3 3 2
Bài 12: Cho biểu thức: P : . 
 3 2 2 2 x x 1 x 1
 x x x 1 x 1 x 1 2x x 1 2 1 
 a) Rút gọn P
 b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P có giá trị là bội của 4
HD:
 3 x 2 2x2 x 10 5 3 3 2
 a, P : . 
 3 2 2 2 x x x 1
 x x x 1 x 1 x 1 2x x 1 2 1 2 1 
 3x 6 2x2 x 10 10x2 10 6x2 6 2
 P : . 
 x 1 x2 1 x 1 x2 1 2 x 1 x 1 x2 1 x 1
 8 x2 x 2 2 x 1 
 P 
 4 x2 4 x 2
 b, Tìm x nguyên để P có giá trị là bội của 4
 2 x 1 2
 ĐK x 1, x 2 , Để P nguyên thì Z Z x 2 U 2 1; 2 
 x 2 x 2
 Với x=3 thỏa mãn
 6x 1 6x 1 x2 36
Bài 13: Cho biểu thức: A 2 2 . 2 Rút gọn A
 x 6x x 6x 12x 12
HD:
 ĐKXĐ: x 0, x 6 
 6x 1 6x 1 x2 36 6x 1 x 6 6x 1 x 6 x2 36
 Ta có: A 2 2 . 2 . 
 x 6x x 6x 12x 12 x x2 36 12 x2 1 
 2
 6x2 37x 6 6x2 37x 6 x2 36 12 x 1 x2 36 1
 . . 
 x x2 36 12 x2 1 x x2 36 12 x2 1 x
 x 2 1 10 x2 
Bài 14: Cho biếu thức: A 2 : x 2 
 x 4 2 x x 2 x 2 
 a) Rút gọn A
 1
 b) Tính giá trị của A biết x 
 2
 c) Tìm giá trị của x để A<0
 d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
HD:
 1
 A, Rút gọn A ta được: A 
 x 2
 c, Để A 0 x 2 
 1
 d, Để A Z Z x 1;3 
 x 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của K
HD:
 a, ĐKXĐ: x 1;2;3 
 x2 x2 x 1 x 3 
 K . 
 4 2
 x 3 x 2 x 2 x 1 x x 1
 2x2 x 1 x 3 2x2
 K . K 
 4 2 4 2
 x 1 x 3 x x 1 x x 1
 b, Nếu x 0 K 0 
 2 2 2 2
 Nếu x 0 K , vậy K lớn nhất bằng khi x= - 1
 1 2 3 3
 x2 1 1 
 x2 x 3
 x 
 3x2 6x 3
Bài 21: Cho phân thức : A 
 2x 2 x 3 
 a) Rút gọn phân thức :
 b) Tìm giá trị của phân thức khi x=4
HD:
 a, ĐKXĐ: x 1, x 3 
 2
 3x2 6x 3 3 x 1 3 x 1 
 b, A 
 2x 2 x 3 2 x 1 x 3 2 x 3 
 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 5
Bài 22: Cho biểu thức : A 3 2 : 
 x 1 x x 1 x 1 x 1
a, Rút gọn A
b, Tìm giá trị lớn nhất của A
HD:
 a, ĐKXĐ: x 1 
 3x2 3 x2 2x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1
 Ta có: A . . 
 x3 1 2x2 5x 5 x3 1 2x2 5x 5
 1
 A 
 2x2 5x 5
 1 1 1 8
 b, Ta có: A 
 2x2 5x 5 5 25 15 2 15
 2 x2 2. x 5 15
 2 x 
 4 16 8 4 8
 x2 x 2
Bài 23: Cho biểu thức: A 
 x2 5x 6
 a) Rút gọn A
 b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
HD:
 a, ĐKXĐ: x 2; x 3 
 x 1 x 2 x 1
 A 
 x 2 x 3 x 3
 x 1 4 4
 b, A 1 , đề A nguyên thì Z x 3 U 4 
 x 3 x 3 x 3
 3 x 3 x 4x2 2x 1 
Bài 24: Cho biểu thức : P 2 : 1 
 3 x 3 x x 9 x 3