Chuyên đề 11: Phép cộng và phép trừ các phân thức đại số - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chương II
 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
 Chuyên đề 11. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức
 Quy tắc. Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu 
 thức.
2. Cộng hai phân thức có mẫu số khác nhau
- Quy tắc. Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân 
 thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
- Chú ý. Phép cộng các phân thức có các tính chất sau:
 A C C A
 + Giao hoán: ;
 B D D B
 A C E A C E 
 + Kết hợp: .
 B D F B D F 
1. Phân thức đối
- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
 A A
- Phân thức đối của phân thức được kí hiệu bởi 
 B B
 A A A A
 Như vậy và .
 B B B B
2. Phép trừ
 A C A C
 Quy tắc: Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng với phân thức đối của :
 B D B D
 A C A C 
 . 
 B D B D 
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính:
 2
 x4 x 1 2 x2 x2 1 x2 x 1 2 1
a) A 2 2 2
 x2 1 x2 x2 x 1 1 x4 x 1 
 Giải
Tìm cách giải. Quan sát kĩ các phân thức, nhận thức tử thức của mỗi phân thức đều phân tích đa thức thành 
nhân tử được, do vậy ta nên phân tích thành nhân tử cả tử thức và mẫu thức và rút gọn phân thức trước khi 
thực hiện phép cộng.
Trình bày lời giải.
Ta có: 4a3 4a3 8a7 8a7 8a7 16a15
 B B B 
 a4 b4 a4 b4 a8 b8 a8 b8 a8 b8 a16 b16
Ví dụ 4. Cho a b c 2 a2 b2 c2. Rút gọn biểu thức:
 a2 b2 c2
 P .
 a2 2bc b2 2ac c2 2ab
 Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy nếu quy đồng mẫu trực tiếp là không khả thi bởi các mẫu hiện tại không phân tích 
thành nhân tử được và nếu quy đồng thì biểu thức rất phức tạp, mặt khác chưa khai thác được giả thiết. Phân 
tích giả thiết ta được ab bc ca 0 , khai thác yếu tố này vào mẫu thức ta được:
a2 2bc a2 2bc ab bc ca và phân tích thành nhân tử được. Do vậy ta có lời giải sau:
Trình bày lời giải
Từ a b c 2 a2 b2 c2. ta có: a2 b2 c2 2 ab bc ca a2 b2 c2 nên ab bc ca 0
Xét a2 2bc a2 2bc ab bc ca a2 ab ca bc a b a c .
Tương tự ta có:b2 2ac b a b c ;c2 2ab c a c b .
 a2 b2 c2
Do đó ta có: P 
 a b a c b a b c c a c b 
 a2 b c b2 c a c2 a b 
 P 
 a b b c c a 
 a b b c c a 
Phân tích tử thức thành nhân tử, ta có: P 1.
 a b b c c a 
 3x2 3x 3 A B 1
Ví dụ 5. Tìm A, B thỏa mãn: 
 x3 3x 2 x 1 2 x 1 x 2
 Giải
Tìm cách giải. Để tìm hệ số A và B, chúng ta biến đổi vế phải. Sau đó đồng nhất hệ số hai vế.
Trình bày lời giải
Ta có: x3 3x 2 x3 2x x 2 x x 1 x 1 2 x 1 
 x 1 x2 x 2 
 x 1 2 x 2 
Từ đó suy ra:
 3x2 3x 3 A B 1
 x 1 2 x 2 x 1 2 x 1 x 2
 A x 2 B x 1 x 2 x 1 2
 x 1 2 x 2 Tìm cách giải. Bài toán có tính quy luật, thay số vào tính là không khả thi. Do vậy chúng ta nghĩ đến việc 
tách mỗi phân thức thành hiệu của hai phân thức, rồi khử liên tiếp. Nhận thấy 3k 2 3k 1 k 1 3 k 3 , nên 
chúng ta có lời giải sau:
Trình bày lời giải
 3
 3k 2 3k 1 k 1 k 3 1 1
Ta có: ak 3 3 3 3
 k 2 k k 3 k 1 k k 1 
Do đó:
 S 1 a a ... a
 1 2 9
 1 1 1 1 1 1 1999
 1 1 3 3 3 ... 3 3 2 3 .
 2 2 3 9 10 10 1000
Ví dụ 8. Rút gọn biểu thức:
 1 1 1 1
M 
 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30
 Giải
 1 1 1 1
Ta có: M 
 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30
 1 1 1 1
 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6 
 1 1 1 1 1 1 1 1
 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6
 1 1 4
 .
 x 2 x 6 x 2 x 6 
C. Bài tập vận dụng
 3x 1 a b
11.1. Xác định các số a, b biết: .
 x 1 3 x 1 3 x 1 2
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:
 3x 1 a b 3x 1 a bx b
 x 1 3 x 1 3 x 1 2 x 1 3 x 1 3 x 1 3
 3x 1 bx a b b 3 b 3
 3 3 3x 1 bx a b 
 x 1 x 1 a b 1 a 2
11.2. Rút gọn biểu thức:
 2
 20x2 120x 180 5x2 125 2x 3 x2
A .
 3x 5 2 4x2 9x2 2x 5 2 3 x2 8x 15 
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: Ta có:
 a2 1 a3 1 a4 a3 a 1
M 
 a a2 a a a3
 2
 a2 1 a 1 a a 1 a4 a3 a 1
 a a a 1 a a2 1 
 2 2 2
 a2 1 a2 a 1 a 1 a 1 a a 1 
 a a a a2 1 
 a2 1 a2 a 1 a2 1 a a2 2a 1
 a a a
 x2 y2 x2 y2
11.6. Đặt a 
 x2 y2 x2 y2
 x8 y8 x8 y8
Tính giá trị của biểu thức: M .
 x8 y8 x8 y8
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2 2
 x2 y2 x2 y2 
Từ giả thiết a 
 x2 y2 x2 y2 
 4 4
 2 x y x4 y4 a
 a 
 x4 y4 x4 y4 2
 4 4 2 4 4 2
 a 2 x4 y4 x4 y4 x y x y 
Ta có: 
 2 a x4 y4 x4 y4 x4 y4 x4 y4 
 8 8
 a 2 2 x y x8 y8 a 1 a2 4
 2 a x8 y8 x8 y8 4 a 4a
 a2 4 4a a4 24a2 16
 M 
 4a a2 4 4a a2 4 
11.7. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên
 2x3 x2 2x 5
A 
 2x 1
 Hướng dẫn giải – đáp số
 2
 x 1 2x 1 4 4
Ta có: A x2 1 
 2x 1 2x 1
 4
Để A Z thì Z 2x 1 1 x 0; 1.
 2x 1
 x y 2 x y 
11.8. Cho x y 1 và xy 0 . Rút gọn biểu thức: A 
 y3 1 x3 1 x2 y2 3 yz yz yz
x2 2yz x2 xy zx yz x y x z 
 zx zx xy xy
Tương tự: ; 
 y2 2zx y z y x z2 2xy z x z y 
 yz zx xy
A 
 x y x z y z y x z x z y 
yz z y xy y x zx x z 
 1
 x y y z z x 
11.11. Cho ax by c;by cz a;cz ax b và a b c 0 . Tính giá trị của biểu thức:
 1 1 1
P .
 x 1 y 1 z 1
 Hướng dẫn giải – đáp số
Từ giả thiết suy ra:
a b c 2 ax by cz a b c 2 c cz 2c 1 z 
 1 2c
Nên: 
 z 1 a b c
 1 2a 1 2b
Tương tự: ; .
 x 1 a b c y z a b c
 1 1 1 2a 2b 2c
Suy ra: P 2
 x 1 y 1 z 1 a b c
11.12. Cho a, b thỏa mãn 4a2 2b2 7ab 0 và 4a2 b2 0
 3a b 5b 3a
Tính giá trị của biểu thức: A .
 2a b 2a b
 Hướng dẫn giải – đáp số
 6a2 ab b2 10ab 6a2 3ab 14ab 6b2
Ta có: 2
 4a2 b2 7ab 3b2
 33 13 53 23 73 33 1013 503
11.13. Tính giá trị của biểu thức: A ... 
 23 13 33 23 43 33 513 503
 Hướng dẫn giải – đáp số
Xét phân thức tổng quát:
 2 2
 2n 1 3 n3 3n 1 2n 1 n 2n 1 n 
 n 1 3 n3 3n2 3n 1
 3n 1 3n2 3n 1 
 3n 1
 3n2 3n 1
Do đó: A 3.1 1 3.2 1 3.3 1 ... 3.5 1 
 3 1 2 3 ... 50 50 3875.