Chuyên đề 11: Diện tích đa giác - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chuyên đề 11
 DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương có các tính chất sau:
- Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
- Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng 
tổng diện tích của những đa giác đó.
- Hình vuông cạnh có độ dài bằng 1 thì có diện tích là 1.
2. Các công thức tính diện tích đa giác
- Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó S a.b (a,b là kích thước hình chữ nhật).
- Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó S a2 (a là độ dài cạnh hình vuông).
 1
- Diện tích hình vuông có đường chéo dài bằng d là d 2 .
 2
 1
- Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông S a.b (a,b là độ dài hai cạnh góc vuông).
 2
 1
- Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó S a.h (a,h là độ dài 
 2
cạnh và đường cao tương ứng).
- Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao: 
 1
S a b .h (a, b là độ dài hai đáy, h là độ dài đường cao).
 2
- Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S a.h (a, h là độ dài 
một cạnh và đường cao tương ứng).
- Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo.
 1
 S .d .d ( d ; d là độ dài hai đường chéo tương ứng).
 2 1 2 1 2
 1
- Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo S .d .d ( d ; d là độ dài hai đường chéo tương 
 2 1 2 1 2
ứng).
3. Bổ sung
- Hai tam giác có chung một cạnh (hoặc một cặp cạnh bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đường 
cao ứng với cạnh đó.
- Hai tam giác có chung một đường cao (hoặc một cặp đường cao bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng tỉ số 
hai cạnh ứng với đường cao đó.
- ABCD là hình thang (AB//CD) . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O thì SAOD SBOC .
- Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
- Hai hình chữ nhật có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy. giác vuông ADF có chung cạnh AD, đồng thời biết diện tích của chúng nên dễ dàng tìm đựơc mối quan 
hệ giữa DF và CD. Từ đó ta có lời giải sau:
⁕ Trình bày lời giải
 2
Ta có: SABCD 24cm suy ra: 
 1
S S s 12cm2
 ABC ACD 2 ABCD
 ABC và ABE có chung đường cao AB
 BE S 4
 nên ABE 
 BC SABC 12
 BE 1 CE 2
hay .
 BC 3 BC 3
 DF S 9 DF 3 CF 1
 ADF và ADC có chung đừơng cao AD nên ABE hay .
 DC SABC 12 DC 4 CD 4
 SCEF CE.CF 1 2 1 1 1 1 2
Ta có: . . SCEF .SABCD .24 2cm .
 SABCD 2.BC.CD 2 3 4 12 12 12
 2
Do vậy SAEF SABCD SABE SADF SCEF SAEF 24 4 9 2 9cm .
Ví dụ 3. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) . Biết BD 7cm ; ·ABD 45 . Tính diện tích hình thang 
ABCD.
(Olympic Toán Châu Á- Thái Bình Dương 2007)
 Giải
Cách 1. Nối AC cắt BD tại E. ABE vuông cân BE  AC . Diện tích 
hình thang là: 
 1 1 49
S AC.BD BD2 cm2
 2 2 2
Cách 2. Kéo dài tia BA lấy điểm E sao cho AE CD , ta được : 
 AED CDB (c.g.c) suy ra: ·AED C· DB 45 . Từ đó suy ra: 
 BDE vuông cân tại D.
SABCD SABD SCDB SABD SAED
 1 49
 S BD2 cm2
 DBE 2 2
Cách 3. Kẻ DH  AB , BK  CD . Do AB//CD nên H· DK 90 mà DB là 
phân giác H· DK (vì B· DK 45 )
 HDKB là hình vuông mà HAD KCB (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra SHDA SBCK nên 
SABCD SABKD SCKB SABKD SAHD SDHBK diện tích của các tam giác AFP, PKQ và QDC là 10cm2 . Nếu ta cộng tổng diện tích này với diện tích tứ 
 2
giác DFPQ thì bằng diện tích tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC theo cm2 .
 3
(Olympic Toán học Trẻ Quốc Tế Hàn Quốc KIMC 2014 (Malaysia đề nghị))
 Giải
Ta có: SDFPQ SABC SBDF SAFP SCDQ SABC SDFK SAFP SCDQ 
 SABC SDFPQ SKPQ SAFP SCDQ 
 2 1
 S S S .
 ABC 3 ABC 3 ABC
 1
 S S S S
 KPQ AFP CDQ 3 ABC
 2
 SABC 3.10 30cm
Ví dụ 6. Chín đường thẳng có cùng tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ 
 2
số bằng . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất ba đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm.
 3
(Thi vô địch CHLB Nga- năm 1972)
 Giải
* Tìm cách giải. Chứng mình tồn tại ít nhất ba đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm, mà không 
chỉ ra được cụ thể tường minh đó là điểm nào, chúng ta liên tưởng tới khả năng vận dụng nguyên lý 
Đirichle. Trong trường hợp này, chúng ta cần chỉ ra 9 đường thẳng phải đi qua ít nhất 1 trong 4 điểm cố 
định nào đó. Từ đó nếu mỗi điểm có nhiều nhất chỉ có 2 đường thẳng 
đi qua thì nhiều nhất chỉ có 4.2 8 đường thẳng (nhỏ hơn 9), vô lý. 
Chúng ra có cách giải sau:
* Trình bày cách giải
Các đường thẳng đã cho không thể cắt các cạnh kề nhau của hình 
vuông ABCD. Bởi vì thế không thể tạo ra hai tứ giác mà là tam giác 
và ngũ giác. 
Giả sử một đường thẳng cắt các cạnh BC và AD tại các điểm M và N. 
Các hình thang ABMN và CDNM có các đường cao bằng nhau do đó 
tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số các đường trung bình. Tức là MN chia đoạn thẳng nối trung điểm của 
 2
các cạnh AB và CD theo tỉ số .
 3
 2
Tổng số các điểm chia các đường trung bình của hình vuông theo tỉ số là 4.
 3
Bởi số dường thẳng đã cho là 9 và đều phải đi qua một trong số bốn điểm nói trên, nên có một điểm thuộc 
ít nhất 3 đường thẳng. Tức là có ít nhất ba đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm. Vẽ CM, CN (như hình vẽ) CM CN .
Suy ra CA là tia phân giác góc MAN và góc MCN. Chứng minh 
tương tự, ta có: BD là phân giác của E· BF .
Dựa vào cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc, ta có: 
M· AN E· BF nên C· AE D· BF
Từ đó suy ra AC  BD .
 1
Do đó S AC.BD
 ABCD 2
 1 1 1
S S AC.BD CN.BD a.b .
 AEBFCIDH ABCD 2 2 2
Nhận xét. Sử dụng kĩ thuật của chuyên đề tam giác đồng dạng. Các bạn có thể giải được bài toán sau: cho 
hai hình chữ nhật cùng kích thước a b . Một hình chữ nhật các cạnh tô màu đỏ, một hình chữ nhật các 
cạnh tô màu xanh, được xếp sao cho chúng cắt nhau tại 8 điểm. Chứng minh rằng hình bát giác có tổng 
các cạnh màu đỏ bằng tổng các cạnh tô màu xanh.
C. Bài tập vận dụng
11.1. Cho hình chữ nhật ABCD có CD 4cm , BC 3cm . Gọi H là hình chiếu của C trên BD. Tính điện 
tích tam giác ADH.
11.2. Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB 5cm ,CD 15cm , độ dài hai đường chéo là 
AC 16cm , BD 12cm . Tính diện tích hình thang ABCD.
11.3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho 
BD AE . Xác định vị trí D, E sao cho tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
11.4. Cho tam giác ABC có diện tích là S, trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD 2DB . Gọi E là trung 
điểm của AC và I là giao điểm CD và BE. Tính diện tích của tam giác IBC.
11.5. Cho tứ giác lồi ABCD. Qua trung điểm K của đường chéo BD dựng đường thẳng song song với 
đường chéo AC, đường này cắt AD tại E. Chứng minh rằng CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích 
bằng nhau (biết E nằm giữa A và D).
11.6. Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB va CD lần lượt lấy các điểm M và K sao cho AM CK . 
Trên đoạn AD lấy điểm P bất kì. Đoạn thẳng MK lần lượt cắt PB và PC tại E và F. Chứng minh rằng: 
SPEF SBME SCKF
11.7. Cho tam giác ABC có các trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau 
tại O. Biết rằng AC b ; BC a . Tính diện tích hình vuông có cạnh là a. 
11.8. Đặt một hình vuông nhỏ vào bên trong một hình vuông lớn rồi nối 4 
đỉnh của hình vuông lớn tương ứng theo thứ tự với 4 đỉnh hình vuông nhỏ 
(như hình vẽ).
Chứng minh rằng: SAMNB SCDQP SADQM SBCPN 11.20. Cho tam giác ABC, gọi M, N, D lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và P là điểm tùy ý nằm 
ngoài tam giác. Chứng mình rằng trong ba tam giác PAM, PBN, PCD luôn tồn tại một tam giác có diện 
tích bằng tổng diện tích hai tam giác còn lại.
 Hướng dẫn giải
11.1. Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông BCD, ta có:
BD2 BC 2 CD2 32 42 25 52 nên BC 5cm .
 2S BC.CD 3.4
CH BCD 2,4(cm)
 BD BD 5
Xét tam giác vuông CDH, ta có:
DH2 CD2 CH 2 42 2,42
 10,24 3,22
nên DH 3,2cm .
Kẻ AK  BD . Ta có: SABD SCBD nên AK CH 2,4cm .
 1 1
Vậy S DH.AK .3,2.2,4 3,86(cm2 ) .
 ADH 2 2
11.2.
Qua A kẻ đường thẳng song song với BD, cắt đường thẳng CD tại E. Suy ra ABDE là hình bình hành.
 AE BD 12cm; DE AB 5cm CE 20cm .
Ta có: AE 2 AC 2 122 162 400 .
CE 2 202 400 .
Do đó: AE 2 AC 2 CE 2 ACE vuông tại A.
 1 1
 S .AC.AE .16.12 96(cm2 ) .
 ACE 2 2
Mặt khác: SADE SABC (vì AB DE ; đường cao kẻ từ A; C của hai 
tam giác đó bằng nhau).
 2
 SABCD SABC SACD SADE SACD SACE SABCD 96cm .
 1 1
11.3. Ta có: S AD.AE AD.BD
 ADE 2 2
 1 1 2
 SADE AD AB AD AB.AD AD 
 2 2