Chuyên đề 10: Rút gọn phân thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

doc 9 trang thanh nguyễn 24/09/2025 160
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề 10: Rút gọn phân thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề 10: Rút gọn phân thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

Chuyên đề 10: Rút gọn phân thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8
 Chương II
 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
 Chuyên đề 10. RÚT GỌN PHÂN THỨC
A. Kiến thức cần nhớ
Muốn rút gọn phân thức ta có thể:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ( nếu cần) để tìm nhân tử chung;
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Chú ý: Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu (lưu ý tới tính chất
A A ).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Rút gọn phân thức sau:
 x2 2x 8 a4 5a2 4
a) A ; b) B ;
 x2 x 12 a4 a2 4a 4
 x3 x2 4x 4
c)C .
 x3 8x2 17x 10
 Giải
a) Ta có:
 2
 x2 2x 1 9 x 1 9 x 1 3 x 1 3 
 A 
 x2 4x 3x 12 x x 4 3 x 4 x 4 x 3 
 x 2 x 4 x 2
 A .
 x 4 x 3 x 3
 2 2 2
 a4 a2 4a2 4 a a 1 4 a 1 
b) Ta có: B 
 a4 (a2 4a 4) a4 a 2 2
 a2 1 a2 4 a 1 a 1 a 2 a 2 
 B 
 a2 a 2 a2 a 2 a2 a 2 a 1 a 2 
 a 1 a 2 
 B .
 a2 a 2
 x2 x 1 4 x 1 x 1 x2 4 
c) Ta có:C 
 x3 x2 7x2 7x 10x 10 x 1 x2 7x 10 
 x 1 x 2 x 2 x 2
 C .
 x 1 x 2 x 5 x 5
Ví dụ 2. Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn ab bc ca 1. Rút gọn biểu thức sau:
 a b 2 b c 2 c a 2
A .
 1 a2 1 b2 1 c2 
 Giải Tìm cách giải. Trong phân thức F(x) thì bậc của tử thức và mẫu thức là 4, khá lớn. Do đó việc tìm giá trị 
nhỏ nhất gặp nhiều khó khăn, vậy cần rút gọn biểu thức F(x) . Khi F(x) viết được dưới dạng phân thức mà 
tử thức và mẫu thức là bậc hai, ta tìm cực trị bằng cách lấy biểu thức F(x) m , sao cho kết qủa tử thức viết 
được dưới dạng hằng đẳng thức (a b)2.
Trình bày lời giải
 x4 x3 x2 2x 2 x4 x3 x2 2x2 2x 2
F(x) 
 x4 2x3 x2 4x 2 x4 2x3 x2 2x2 4x 2
 x2 x2 x 1 2 x2 x 1 x2 x 1 x2 2 
 x2 x2 2x 1 2 x2 2x 1 x2 2x 1 x2 2
 x2 x 1
 x2 2x 1
 2
 3 x2 x 1 3 4x2 4x 4 3x2 6x 3 x 1 
Xét F(x) 0
 4 x2 2x 1 4 4x2 8x 4 4 x 1 2
 3
Suy ra F(x) . Dấu bằng xảy ra khi x 1
 4
 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x) khi x 1
 4
 x4 x3 x 1
Ví dụ 5. Cho biểu thức B . Chứng minh rằng biểu thức B không âm với mọi giá trị 
 x4 x3 3x2 2 x 1 
của x.
 Giải
Tìm cách giải. Chứng minh biểu thức không âm với mọi giá trị của x, ta cần phải rút gọn biểu thức. Sau đó 
chứng tỏ tử thức không âm và mẫu thức dương.
Trình bày lời giải
 2
 x3 x 1 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 2
B 
 x2 x2 x 1 2 x2 x 1 x2 2 x2 x 1 x2 2
 x 1 2
B 0.
 x2 2
Vây B không âm với mọi giá trị của x.
 19862 1992 19862 3972 3 .1987
Ví dụ 6. Tính P .
 1983.1985.1988.1989
 (Thi Học sinh giỏi NewYork (Mỹ) – năm học 1986-1987 )
 Giải
Tìm cách giải. Bài toán này chứa số khá lớn. Nhiều số gần với 1986, do đó rất tự nhiên đặt 1986 x , rồi 
biểu diễn các số gần với 1986 theo x, ta được biểu thức P biến x. Sau đó rút gọn biểu thức P. n3 2n2 1 n3 n2 n2 1
A 
 n3 2n2 2n 1 n3 n2 n2 n n 1
 n2 n 1 n 1 n 1 n2 n 1
 n2 n 1 n n 1 n 1 n2 n 1
 2
 x5 2x4 2x3 4x2 3x 6 x4 x 2 2x x 2 3 x 2 
M 
 x2 2x 8 x 2 x 4 
 x2 1 x2 3 
 x 4
 2 2 2
 xy y y x 1 y 4 1 1
N 
 x2 y4 2y4 x2 2 x2 2 y4 1 x2 2
 abc a b c ab bc ca 1 
10.3. Rút gọn biểu thức: P .
 a2b 1 a2 b 
 Hướng dẫn giải – đáp số
 abc bc a 1 ab b ac c a 1 bc 1 b c 
P 
 a2b a2 b 1 b 1 a2 1 
 a 1 b 1 c 1 c 1
 .
 b 1 a 1 a 1 a 1
 20032.2013 21.2004 1 2003.2008 4 
10.4. Tính giá trị của biểu thức sau: P .
 2004.2005.2006.2007.2008
 ( Tuyển sinh 10, Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2003 – 2004 )
 Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt x 2003 . Ta có:
 x2 x 10 31 x 1 1 x x 5 4 
P 
 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 
 x3 10x2 31x 30 x2 5x 4 
 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 
Phân tích tử thức thành nhân tử, ta được:
 x 2 x 3 x 5 x 1 x 4 
P 1
 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 
10.5. Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn ab bc ca 1. Rút gọn biểu thức sau:
 a2 2bc 1 b2 2ca 1 c 2 2ab 1 
B 
 a b 2 b c 2 c a 2 Hướng dẫn giải – đáp số
 x4 x 2 2x2 x 2 3 x 2 x 2 x4 2x2 3 
Ta có: A 
 x 1 x 2 x 1 x 2 
 x2 3 x 1 x 1 
 x2 3 x 1 
 x 1
 1 x4 x8 ... x2020
Ta có:Q 
 1 x4 x8 ... x2020 x2 x6 x10 ... x2022 
 1 x4 x8 ... x2020 1
 1 x2 1 x4 x8 ... x2020 1 x2
 x y z x2 y2 z2
10.9. Cho . Rút gọn biểu thức: P .
 a b c (ax+by+cz)2
 Hướng dẫn giải – đáp số
 x y z
Đặt k suy ra: x ak; y bk; z ck.
 a b c
 2 2 2 2
 a2k 2 b2k 2 c2k 2 k a b c 
Từ đó ta có P 2 2
 a2k 2 b2k 2 c2k 2 k 2 a2 b2 c2 
 1
Suy ra P 
 a2 b2 c2
10.10. Cho a b c abc.Chứng minh rằng: 
 a b2 c2 b a2 c2 c a2 b2 
 abc.
 ab bc ca 3
 Hướng dẫn giải – đáp số
Xét tử thức ta có:
ab2 ac2 a2b bc2 a2c b2c
 ab2 a2b abc ac2 a2c abc bc2 bc2 abc 3abc
 ab a b c ac a b c bc a b c 3abc
 a b c ab ac bc 3abc
 abc ab ac bc 3 
 a b2 c2 b a2 c2 c a2 b2 
Vậy suy ra: abc.
 ab bc ca 3
Điều phải chứng minh.
 x2 a 1 a a2 x2 1
10.11. Chứng minh rằng giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của x.
 x2 a 1 a a2 x2 1 Xétbc y z 2 ca z x 2 ab x y 2
 bcy2 2bcyz bcz2 caz2 2cazx cax2 abx2 2abxy aby2
 a2 x2 aby2 acz2 abx2 b2 y2 bcz2 acx2 bcy2 c2 z2 
 a2 x2 b2 y2 c2 z2 2abxy 2bcyz 2cazx 
 a b c ax2 by2 cz2 ax by cz 2
 a b c ax2 by2 cz2 (vì ax by cz 0 )
Từ đó suy ra, vế trái
 ax2 by2 cz2 ax2 by2 cz2 1
 .
bc y z 2 ca z x 2 ab x y 2 a b c ax2 by2 cz2 a b c

File đính kèm:

  • docchuyen_de_10_rut_gon_phan_thuc_boi_duong_hsg_dai_so_8.doc