Chuyên đề 10: Giải phương trình - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8

 CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
 Dạng 1: PHƯƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG
Phương pháp giải: 
 Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x2 , rồi đặt ẩn phụ 
Bài 1: Giải phương trình: x4 3x3 4x2 3x 1 0 
HD:
 Thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình: Chia hai vế cho x2 ta được:
 2 1 1 2 1  
 x 3x 4 2 0 x 2 3 x 4 0 
 x x x 3 
 1 1
 Đặt x y x2 y2 2 , Thay vào phương trình ta có:
 x x2
 y2 2 3y 4 0 
Bài 2: Giải phương trình: 6x4 25x3 12x2 25x 6 0 
HD:
 Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của PT x2 0 ta được:
 2 25 6 2 1 1 
 6x 25x 12 2 0 6 x 2 25 x 12 0 
 x x x x 
 1 1
 Đặt: x t x2 t 2 2 , Thay vào phương trình ta được: 
 x x2
 6 t 2 2 25t 12 0 6t 2 25t 24 0 
Bài 3: Giải phương trình: x4 5x3 12x2 5x 1 0 
HD:
 Nhận thấy x=0 không phải nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho x2 0 , ta được:
 2 5 1 2 1 1 
 x 5x 12 2 0 x 2 5 x 12 0 
 x x x x 
 1 1
 Đặt: x t x2 t 2 2 , Thay vào phương trình ta được:
 x x2
 t 2 5t 14 0 t 7 t 2 
Bài 4: Giải phương trình: x4 2x3 4x2 2x 1 0 
Bài 5: Giải phương trình: x4 3x3 6x2 3x 1 0 
HD:
 Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho x2 0 , ta được:
 2 3 1 2 1 1 
 x 3x 6 2 0 x 2 3 x 6 0 
 x x x x 
 1
 Đặt x t , Phương trình tương đương với: t 2 3t 4 0 
 x
Bài 6: Giải phương trình: 2x4 9x3 14x2 9x 2 0 
HD:
 Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình , chia cả hai vế của PT cho x2 0 ta 
được:
 2 9 2 2 1 1 
 2x 9x 14 2 0 2 x 2 9 x 14 0 
 x x x x Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG x a x b x c x d k
Phương pháp: 
 Nhận xét về tích a d b c , rồi nhóm hợp lý tạo ra biểu thức chung để đạt ẩn phụ
 Đôi khi ta phải nhân thêm với các hệ số để có được biểu thức chung
Bài 1: Giải phương trình: x 7 x 5 x 4 x 2 72
HD:
 Phương trình tương đương với 
 x 7 x 2 x 5 x 4 72 x2 9x 14 x2 9x 20 72 0
 Đặt x2 9x 14 t , khi đó phương trình trở thành:
 t t 6 72 0 t 12 t 6 0
 2
 2 9 23
 Với t 12 x 9x 14 12 x 0
 2 4
 Với t 6 x2 9x 14 6 x 1 x 8 0
Bài 2: Giải phương trình: x 1 x 3 x 5 x 7 297
HD:
 Phương trình tương đương với:
 x 1 x 5 x 3 x 7 297 0 x2 4x 21 x2 4x 5 297 0
 Đặt x2 4x 5 t khi đó phương trình trở thành:
 2
 t 16 t 297 0 t 8 192 0 t 27 t 11 0
 Với t 27 x2 4x 5 27 x 8 x 4 0
 2
 Với t 11 x2 4x 5 11 x 2 2 0
Bài 3: Giải phương trình sau: x 7 x 5 x 4 x 2 72 
HD:
 Biến đổi phương trình thành: x2 x x2 x 2 24 
 Đặt x2 x 1 y , Khi đó phương trình trở thành:
 y 1 y 1 24 y2 1 24 y2 25 
Bài 4: Giải phương trình: x 1 x 2 x 4 x 5 40 
Bài 5: Giải phương trình: x x 1 x 1 x 2 24 
Bài 6: Giải phương trình: x 4 x 5 x 6 x 7 1680 
Bài 7: Giải phương trình: x x 1 x 1 x 2 24 
Bài 8: Giải phương trình: x 1 x 3 x 5 x 7 297 
Bài 9: Giải phương trình: x x 1 x 2 x 3 24
Bài 10: Giải phương trình: x 2 x 2 x2 10 72 
HD:
 2
 Đặt x2 4 y . Phương trình trở thành: y y 6 72 y2 6y 9 81 y 3 92 0 Dạng 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
 4 4
 x a x b c 
 4 4
Bài 1: Giải phương trình: x 1 x 3 82 
HD:
 4 4
 Đặt y x 2 , ta có: y 1 y 1 82 y4 6y2 40 0 
 4 4
Bài 2: Giải phương trình: x 6 x 8 16 
HD:
 4 4
 Đặt x 7 y , phương trình trở thành: y 1 y 1 16 
 Rút gọn ta được: 2y 4 12y2 2 16 y 4 6y2 7 0 
 4 4
Bài 3: Giải phương trình: x 2 x 6 82 
 4 4
Bài 4: Giải phương trình: x 3 x 5 2 
 4 4
Bài 5: Giải phương trình: x 3 x 5 16 
 4 4
Bài 6: Giải phương trình: x 2 x 3 1 
 4 4
Bài 7: Giải phương trình: x 1 x 3 82 
 4 4
Bài 8: Giải phương trình: x 2,5 x 1,5 1 
 4 4
Bài 9: Giải phương trình: 4 x x 2 32 
Bài 10: Giải phương trình: x 1 4 x 3 4 2 2
Bài 11 : Giải phương trình: x2 1 3x x2 1 2x2 0 
HD:
 Đặt x2 1 y y2 3xy 2x2 0 x y y 2x 0 
 2
Bài 12: Giải phương trình: x4 4x2 2x 1 12 2x 1 0
HD :
 2
 x a
 Đặt . Khi đó phương trình trở thành: a2 4ab 12b2 0 a 6b a 2b 0
 2x 1 b
 2
 Với a 6b x2 6 2x 1 x2 12x 6 0 x 6 30
 2 2
 Với a 2b x2 4x 2 0 x 2 6 
Bài 13: Giải phương trình: 3x2 8x 4 x2 4 12x4 0 
HD:
 Phương trình tương đương với: 3x 2 x 2 x 2 x 2 12x4 0 
 2 2
 3x2 4x 4 x 2 12x4 0 4x2 x2 4x 4 x 2 12x4 0 
 2 2 2 2
 4x2 x 2 x 2 12x4 0 4x2 x 2 x 2 12x4 0 
 2
 x a
 Đặt: 2 , Khi đó phương trình trở thành:
 x 2 b
 12a2 4ab b2 0 12a2 6ab 2ab b2 0 6a 2a b b 2a b 0 6a b 2a b 0
 a b
 6a b 0 6 2 2 2
 6x x 4x 4 5x 4x 4 0 
 2a b 0 a b 0 l 
 2 2 6
 Giải pt trên ta được: x 
 5
Bài 14: Giải phương trình: x2 1 x2 4x 3 192 
HD:
 2
 Biến đổi phương trình thành: x2 1 x 1 x 3 192 x 1 x 1 x 3 192
 Đặt x 1 y Phương trình trở thành: y 2 y2 y 2 192 y2 y2 4 192 
 Đặt y2 2 z , Phương trình trở thành: z 2 z 2 192 z 14 
 3 3 3
Bài 15: Giải phương trình: x3 x 1 x 2 x 3 
HD:
 3 3 3 3
 Đặt x y 3 , Phương trình trở thành: y 3 y 4 y 5 y 6 
 2y y2 9y 21 0
 2
Bài 16: Giải phương trình: 3 x2 x 1 2 x 1 2 5 x3 1 
HD :
 Vì x 1 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x3 1 ta được:
 x2 x 1 x 1 x2 x 1 2 1
 3 2 . Đặt t 3t 5 3t 2 5t 2 0 t 2,t 
 x 1 x2 x 1 x 1 t 3 Bài 21: Giải phương trình: x 1 4 x 3 4 82
HD:
 4 2 y 1 x 0
 Đặt y x 1 thì phương trình đã cho thành 24y 48y 216 82 . 
 y 1 x 2
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2;0. 
Bài 22: Giải phương trình: x 1 x 2 x 4 x 5 10
HD:
 x 1 x 2 x 4 x 5
 Đặt y x 3 thì phương trình trở thành: 
 4
 y 6 x 6 3
 y2 4 y2 1 10 y4 5y2 6 0 . 
 y 6 x 6 3
 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 6 3; 6 3.
Bài 23: Giải phương trình: x2 x 2 x2 2x 2 2x2
HD:
 Do x 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho x 2 ta được: 
 2 2 2
 x 1 x 2 2 . Đặt y x thì phương trình trở thành. 
 x x x
 2
 x 0
 y 0 x x 1
 y 1 y 2 2 
 y 3 2 x 2
 x 3 
 x
Bài 24: Giải phương trình: x 2 x 1 x 8 x 4 4x2
HD:
 Biến đổi phương trình thành:
 x 2 x 4 x 1 x 8 4x2 x2 6x 8 x2 9x 8 4x2 . 
 Do x 2 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x 2 ta được:
 8 8 8
 x 6 x 9 4 . Đặt y x thì phương trình trở thành 
 x x x
 2 y 5
 y 6 y 9 4 y 15y 50 0 .
 y 10
 8
 Với y 5 thì x 5 x2 5x 8 0 (vô nghiệm). 
 x
 8 x 5 17
 Với y 10 thì x 10 x2 10x 8 0 . 
 x x 5 17
 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5 17;5 17 . 
 2 2
Bài 25: Giải phương trình: 3 x2 2x 1 2 x2 3x 1 5x2 0 
HD:
 Do x 0 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho x 2 ta được 
 2 2
 1 1 1
 3 x 2 2 x 3 5 0 . Đặt y x , phương trình trở thành: 
 x x x