Chuyên đề 10: Đa giác, đa giác đều - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chương II
 ĐA GIÁC – DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
Chuyờn đề 10
 ĐA GIÁC, ĐA GIÁC ĐỀU
A. Kiến thức cần nhớ
1. Đa giỏc lồi là đa giỏc luụn nằm trong một nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng chứa bất kỡ cạnh nào của đa 
giỏc đú.
2.Đa giỏc đều là đa giỏc cú tất cả cỏc cạnh bằng nhau và tất cả cỏc gúc bằng nhau 
3.Bổ sung 
● Tổng cỏc gúc trong của đa giỏc n cạnh n 2 là n 2 .180
 n 3 .n
● Số đường chộo của một đa giỏc n cạnh n 2 là 
 2
● Tổng cỏc gúc ngoài của đa giỏc n cạnh n 2 là 360 ( tại mỗi đỉnh chỉ chọn một gúc ngoài). 
●Trong một đa giỏc đều, giao điểm O của hai đường phõn giỏc của hai gúc kề một cạnh là tõm của đa giỏc 
đều. Tõm O cỏch đều cỏc đỉnh, cỏch đều cỏc cạnh của đa giỏc đều. Cú một đường trũn tõm O đi qua cỏc đỉnh 
của đa giỏc đều gọi là đường trũn ngoại tiếp đa giỏc đều. 
B. Một số vớ dụ
Vớ dụ 1. Tỡm số cạnh của một đa giỏc biết số đường chộo hơn số cạnh là 7. 
 Giải
* Tỡm cỏch giải. Bài này biết mối liờn hệ giữa số đường chộo và số cạnh nờn hiển nhiờn chỳng ta đặt số cạnh 
 n. n 3 
của đa giỏc là n biểu thị số đường chộo là từ đú ta tỡm được số cạnh.
 2
* Trỡnh bày lời giải
 n. n 3 n. n 3 
Đặt số cạnh của đa giỏc là n n 3 thỡ số đường chộo là theo đề bài, ta cú: n 7
 2 2
 n2 5n 14 0 n 2 n 7 0 19 25 1 1
 n 2 5 n 6 . Vỡ n N nờn n 6
 6 6 6 6
Đa giỏc đú cú 6 cạnh và À 6 2 .180 570 150
Vớ dụ 4. Một lục giỏc đều và một ngũ giỏc đều chung cạnh AD 
(như hỡnh vẽ). Tớnh cỏc gúc của tam giỏc ABC
 Giải
*Tỡm cỏch giải. Vỡ AD là cạnh của lục giỏc đều và ngũ giỏc đều, 
nờn dễ dàng nhận ra ABD , ACD , BCD là cỏc tam giỏc cõn đỉnh D và tớnh được số đo cỏc gúc ở đỉnh. Do 
vậy ABC sẽ tớnh được số đo cỏc gúc.
*Trỡnh bày lời giải
Theo cụng thức tớnh gúc của đa giỏc đều, ta cú: 
 6 2 .180
à DB 120 Dã AB Dã BA 30
 6
 5 2 .180
à DC 108 Dã AC Dã CA 36
 5
Suy ra: Bã DC 360 120 108 132
 180 132
Ta cú: BDC DB DC cõn tại D. Do đú Dã BC Dã CB 24
 2
Suy ra Bã AC 30 36 66 , Ã BC 30 24 54, Bã CA 24 36 60
Vớ dụ 5. Cho lục giỏc đều ABCDEF. Gọi M, L, K lần lượt là trung điểm EF, DE, CD. Gọi giao điểm AK với 
BL và CM lần lượt là P, Q. Gọi giao điểm của CM và BL là R. Chứng minh tam giỏc PQR là tam giỏc đều. 
 Giải
Cỏc tứ giỏc ABCK, BCDL, CDEM cú cỏc cạnh và cỏc gúc đụi một bằng nhau. Cỏc gúc của lục giỏc đều là 
120
Đặt Bã AK Cã BL Dã CM ; Lã BA  Nhận xột. Dựa vào tớnh chất số hữu tỷ, số vụ tỷ chỳng ta đó giải được bài toỏn nờn trờn. Cũng với kỹ thuật 
đú, chỳng ta cú thể giải được bài thi hay và khú sau: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, 
H thuộc cạnh BC; I,J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hỡnh 8 – giỏc EFGHIJKM cú cỏc gúc 
bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài cỏc cạnh của hỡnh 8 – giỏc EFGHIJKM là cỏc số hữu tỉ thỡ EF = IJ
(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyờn, tỉnh Hưng Yờn, năm học 2009-2019)
C. Bài tập vận dụng
10.1. Số đường chộo của một đa giỏc lớn hơn 14, nhưng nhỏ hơn 27. Hỏi đa giỏc đú bao nhiờu cạnh?
 Giải
Gọi số cạnh đa giỏc là n, điều kiệu n N , n 3
 n n 3 
Ta cú: 14 27 28 n2 3n 54
 2
 2 2 2
 11 3 15 11 3 15
 n n 
 2 2 2 2 2 2
 7 n 9 n 8
10.2. Tổng số đo cỏc gúc của một đa giỏc n – cạnh trừ đi gúc A của nú bằng 2570 . Tớnh số cạnh của đa giỏc 
đú và À .
 Giải
Tổng cỏc gúc trừ đi một gúc của đa giỏc bằng 2570 nờn:
 n 2 .180 À 2570.
 À n 2 .180 2570
Vỡ 0 À 180 0 n 2 .180 2570 180
 5 5
 16 n 17 . Vỡ n N n 17
 18 18
Vậy đa giỏc đú cú 17 cạnh. Xột cỏc đường chộo xuất phỏt từ cựng một đỉnh. Ta chọn một đỉnh nào đú rồi đỏnh số 1, cỏc đỉnh tiếp theo 
theo chiều kim đồng hồ đỏnh lần lượt số 2,3,.
Đường chộo ngắn nhất là đường chộo nối đỉnh 1 với đỉnh 3. Đường chộo dài nhất là đường chộo nối đỉnh 1 
với đỉnh 11. Từ đú ta cú 9 loại độ dài khỏc nhau.
10.5. Cho ngũ giỏc lồi ABCDE cú tất cả cỏc cạnh bằng nhau và à BC 2Dã BE . Hóy tớnh à BC .
 Giải
 1 1
Ta cú: Dã BE Ã BC Bà Bả Ã BC 1 
 2 1 2 2
 ả à
Vỡ EA AB EAB cõn E2 B1
 Eã AB
 Bà 90 
 1 2
 Bã CD
Vỡ CB CD Bả 90 
 2 2
Thay vào 1 ta được:
 Eã AB Bã CD 1
90 90 Ã BC
 2 2 2
. Eã AB Ã BC Bã CD 360
Tổng cỏc gúc của ngũ giỏc bằng 540 .
 Cã DE Dã EA 540 360 180 .
 Cã DE Dã EA
Dả Eà 90 90 90 AD  CE
 1 1 2 2
Mặt khỏc EAD cõn tại E, CDE cõn tại D mà AD  CE nờn AD và CE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 
 AEDC là hỡnh bỡnh hành
 AC DE AB BC CA ABC đều à BC 60
Vậy à BC 60 ABC CDE à BC Cã DE
Chứng minh tương tự, ta được: Bã AE Ã ED
Do đú: À Bà Cà Dà Eà và AB BC CD DE EA gt 
 ABCDE là ngũ giỏc đều
10.7. Cho ngũ giỏc ABCDE, gọi M, N,P,Q lần lượt là trung điểm của cỏch cạnh AB, BC, CD, EA và I, J lần 
 ED
lượt là trung điểm của MP, NQ. Chứng minh rằng IJ song song với ED và IJ 
 4
 Giải
Nối CE, gọi K là trung điểm của CE. Ta cú QK là đường trung bỡnh của tam giỏc ACE suy ra QK // AC và 
 1
QK AC
 2
M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Ta cú MN là đường 
 1
trung bỡnh của tam giỏc ABC, suy ra MN//AC và MN= AC . Từ 
 2
đú ta cú: MN//QK và MN=QK MNKQ là hỡnh bỡnh hành 
 M, J, K thẳng hàng và MJ=JK
Xột MKP cú I, J lần lượt là trung điểm của MP và MK. Ta cú IJ 
là đường trung bỡnh của tam giỏc MKP
 1
 IJ //PK và IJ= PK 1 
 2
 1
Xột tam giỏc CDE, PK là đường trung bỡnh PK//DE và PK= DE 2 
 2
 ED
Từ 1 và 2 suy ra: IJ //DE và IJ=
 4
10.8. Cho lục giỏc đều ABCDEF. Gọi A , B , C , D , E , F lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC, 
CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng A B C D E F là lục giỏc đều. 
 Giải Giải
. 
Giả sử AD là đường chộo lớn nhất của ngũ giỏc ABCDE. Gọi O là giao 
điểm AC và BD. 
Xột tam giỏc AOD cú AD OA OD
Mà OA AC ;OD BD AD AC BD
Mặt khỏc: AC AD, BD AD nờn AD, AC, BD là độ dài ba cạnh của 
một tam giỏc 
10.11. Chứng minh rằng tổng độ dài cỏc cạnh của một ngũ giỏc lồi bộ hơn tổng độ dài cỏc đường chộo của 
nú. 
 Giải
Áp dụng tớnh chất về quan hệ cỏc cạnh của tam giỏc, ta cú: 
AB BC CD DE EA AN NB BP PC 
 CQ QD DK KE EM MA 1 
Mặt khỏc: AN PC AC ; BP DQ BD ; CQ KE CE ;
DK MA DA; EM NB EB 2 
Từ 1 và 2 suy ra điều phải chứng minh 
Nhận xột. Những bài toỏn về bất đẳng thức, bạn nờn đưa về bất đẳng thức tam giỏc. 
10.12. Muốn phủ kớn mặt phẳng bởi những đa giỏc đều bằng nhau sao cho hai đa giỏc kề nhau thỡ cú chung 
một cạnh. Hỏi cỏc đa giỏc đều này cú thể nhiều nhất bao nhiờu cạnh?
 Giải
Gọi đa giỏc đều trờn cú n cạnh để xếp cỏc đa giỏc đều bằng nhau khụng cú khe hở thỡ:
 n 2 .180
360 360n n 2 180 2nn 2 2n 4 4n 2
 n Giả sử đường chộo dài nhất của một lục giỏc là AE, chia lục giỏc thành ngũ giỏc và tam giỏc. Nếu ba đường 
chộo từ đỉnh A khụng là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thỡ AC AD AE 1 
Ta sẽ chứng minh ba đường chộo kẻ từ đỉnh E thỏa món tớnh chất đú. 
Gọi I là giao điểm của EB và AC; K là giao điểm của EC và AD. Ta cú: AI AK AC AD, kết hợp với 
 1 suy ra AI AK AE 2 
Ta lại cú: AI IE AK KE 2AE , kết hợp với 2 suy ra IE KE AE 3 
Mặt khỏc, EB EC EI EK nờn từ 3 suy ra EB EC AE . Vậy EA, EB, EC làm thành ba cạnh của 
một tam giỏc. 
Trường hợp 2. Trường hợp đường chộo dài nhất của lục giỏc chia lục giỏc thành hai tứ giỏc. 
Giả sử AD là đường chộo dài nhất của lục giỏc, chia lục giỏc thành 
hai tứ giỏc. Nếu ba đường chộo xuất phỏt từ đỉnh A khụng là ba 
cạnh của một tam giỏc thỡ: AC AE AD 4 
Gọi I, K lần lượt là giao điểm hai đường chộo của tứ giỏc ADEF và 
ABCD. Từ 4 suy ra: AI AK AE AC AD 5 
Ta lại cú: AI ID AK DK 2AD . Kết hợp với 5 suy ra 
DI DK AD
Do đú DB DF DA
Vậy DA, DB, DF làm thành ba cạnh của một tam giỏc
10.15. Cho lục giỏc ABCDEG cú tất cả cỏc cạnh À Cà Eà Bà Dà Gà . Chứng minh rằng cỏc cặp cạnh đối 
của lục giỏc song song với nhau.
 Giải
Tổng cỏc gúc của lục giỏc ABCDEG là: 6 2 .180 4.180 720 , theo giả thiết ta cú: 
À Bà Cà Dà Eà Gà 360
Dựng gúc Eã DK Ã BC và DK BC