Chuyên đề 1: Tứ giác - Bồi dưỡng HSG Toán hình 8

 Chương I:
 TỨ GIÁC
Chuyên đề 1.
 TỨ GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng 
không cùng nằm trên một đường thẳng (h.1.1 a, b). 
Ta phân biệt tứ giác lồi (h.1.1 a) và tứ giác lõm (h.1.1 b). Nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta 
hiểu đó là tứ giác lồi.
2. Tổng các góc của tứ giác bằng 360° .
 Aµ+ Bµ+ Cµ+ Dµ= 360°.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD, Aµ- Bµ= 40°. Các tia phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại O. Cho biết 
C·OD = 110° . Chứng minh rằng AB ^ BC .
 Giải (h.1.2)
* Tìm cách giải
Muốn chứng minh AB ^ BC ta chứng minh Bµ= 90°.
Đã biết hiệu Aµ- Bµ nên cần tính tổng Aµ+ Bµ.
* Trình bày lời giải
 Cµ+ Dµ
Xét DCOD có C·OD = 180°- C¶ + D¶ = 180°- 
 ( 2 2 ) 2
 ¶ ¶ ¶ ¶
(vì C1 = C2 ; D1 = D2 ).
Xét tứ giác ABCD có: Cµ+ Dµ= 360°- (Aµ+ Bµ), do đó
 µ µ
 360°- (A+ B) Aµ+ Bµ
C·OD = 180°- = 180°- 180°+
 2 2 Xét ba điểm M, A, C có MA + MC ³ AC (dấu “=” xảy ra khi M Î AC ).
Xét ba điểm M, B, D có MB + MD ³ BD
(dấu ‘=’ xảy ra khi M Î BD ).
Do đó: MA + MB + MC + MD ³ AC + BD = a .
Vậy min(MA + MB + MC + MD)= a khi M trùng với giao điểm O của 
đường chéo AC và BD.
C. Bài tập vận dụng
· Tính số đo góc
1.1. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai góc ngoài tại hai đỉnh bằng tổng hai góc trong tại hai 
đỉnh còn lại.
1.2. Cho tứ giác ABCD có Aµ+ Bµ= 220° . Các tia phân giác ngoài tại đỉnh C và D cắt nhau tại K. Tính 
số đo của góc CKD.
1.3. Tứ giác ABCD có Aµ= Cµ. Chứng minh rằng các đường phân giác của góc B và góc D song song 
với nhau hoặc trùng nhau.
1.4. Cho tứ giác ABCD có AD = DC = CB ; Cµ= 130° ; Dµ= 110° . Tính số đo góc A, góc B.
 ( Olympic Toán Châu Á - Thái Bình Dương 2010 )
· So sánh các độ dài
1.5. Có hay không một tứ giác mà độ dài các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ?
1.6. Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc. Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = 6 . Tính độ dài AD.
1.7. Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi 
của tứ giác.
1.8. Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có 
khoảng cách lớn hơn 10. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.
1.9. Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a , b , c , d đều là các số tự nhiên. Biết tổng 
S = a + b + c + d chia hết cho a , cho b , cho c , cho d . Chứng minh rằng tồn tại hai cạnh của tứ giác 
bằng nhau.
· Bài toán giải bằng phương trình tô màu
1.10. Có chín người trong đó bất kì ba người nào cũng có hai người quen nhau. Chứng minh rằng tồn tại 
một nhóm bốn người đôi một quen nhau. Ta sẽ chứng minh CD nhỏ hơn tổng của ba cạnh còn lại (1).
Thật vậy, xét ABC ta có: AC AB BC .
Xét ADC có: CD AD AC . Do đó CD AD AB BC .
Ta thấy nếu các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 thì không thỏa mãn điều kiện (1) nên 
không có tứ giác nào mà các cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10.
1.6. (h.1.11)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Xét AOB , COD vuông tại O, ta có:
AB2 CD2 OA2 OB2 OC 2 OD2 .
Chứng minh tương tự, ta được:
BC 2 AD2 OB2 OC 2 OD2 OA2 .
Do đó: AB2 CD2 BC 2 AD2 .
Suy ra: 32 62 6,62 AD2 AD2 9 36 43,56 1,44 AD 1,2 .
1.7. (h1.12)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.
Gọi độ dài các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là a, b, c, d. Vận dụng bất 
đẳng thức tam giác ta được:
OA OB a; OC OD c .
Do đó OA OC OB OD a c hay AC BD a c . (1)
Chứng minh tương tự, ta được: AC BD d b . (2)
Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:
 a b c d
2 AC BD a b c d AC BD 
 2
Xét các ABC và ADC ta có: AC a b; AC c d
 2AC a b c d . (3)
Tương tự có: 2BD a b c d . (4)
Cộng từng vế của (3) và (4) được: 2 AC BD 2 a b c d 
 AC BD a b c d .
Từ các kết quả trên ta được điều phải chứng minh.
1.8. Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ: 
Cho ABC , µA 90 . Chứng minh rằng BC 2 AB2 AC 2 .
 Giải (h.1.13).
Vẽ BH  AC . Vì µA 90 nên H nằm trên tia đối của tia AC.
Xét HBC và HBA vuông tại H, ta có: Từ (4) và (*) Þ qd > 2d do đó q > 2 .
Vì a n > p > q > 2 .
Do đó q ³ 3; p ³ 4; n ³ 5; m ³ 6 .
 1 a 1 b 1 c 1 d
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra = ; = ; = ; = .
 m S n S p S q S
 1 1 1 1 1 1 1 1 a + b + c + d
Ta có: + + + ³ + + + = = 1.
 6 5 4 3 m n p q S
 19
Từ đó: ³ 1, vô lí.
 20
Vậy điều giả sử là sai, suy ra tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau.
1.10. Coi mỗi người như một điểm, ta có chín điểm A, B, C,
Nối hai điểm với nhau ta được một đoạn thẳng. Ta tô màu xanh nếu hai người không quen nhau, ta tô 
màu đỏ nếu hai người quen nhau. Ta sẽ chứng minh tồn tại một tứ giác có các cạnh và đường chéo cùng 
tô màu đỏ.
· Trường hợp có một điểm là đầu mút của bốn đoạn thẳng màu xanh AB, AC, AD, AE vẽ nét đứt 
(h.1.17)
Xét DABC có hai đoạn thẳng AB, AC màu xanh nên đoạn thẳng BC màu đỏ vì bất kì tam giác nào cũng 
có một đoạn thẳng màu đỏ. Tương tự các đoạn thẳng CD, DE, EB, BD, CE cũng có màu đỏ (vẽ nét liền) 
(h.1.18). Do đó tứ giác BCDE có các cạnh và đường chéo được tô đỏ nghĩa là tồn tại một nhóm bốn 
người đôi một quen nhau.
· Trường hợp mọi điểm đều là đầu mút của nhiều nhất là ba đoạn thẳng màu xanh. Không thể mọi điểm 
 9.3
đều là đầu mút của ba đoạn thẳng màu xanh vì khi đó số đoạn thẳng màu xanh là Ï N .
 2
Như vậy tồn tại một điểm là đầu mút của nhiều nhất là hai đoạn thẳng màu xanh, chẳng hạn đó là điểm A, 
do đó A là đầu mút của ít nhất là sáu đoạn thẳng màu đỏ, giả sử đó là AB, AC, AD, AE, AF, AG (h.1.19)
Trong sáu điểm B, C, D, E, F, G tồn tại ba điểm là đỉnh của một tam giác có ba cạnh cùng màu (đây là bài 
toán cơ bản về phương pháp tô màu) chẳng hạn đó là DBCD (h.1.20).