Chuyên đề 1: Phép nhân các đa thức - Bồi dưỡng HSG Đại số 8

 Chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Chuyên đề 1. PHÉP NHÂN CÁC ĐA THỨC
A.Kiến thức cần nhớ
1. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích 
với nhau.
 A. B C AB AC
2. Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa 
thức kia rồi cộng các tích với nhau.
 A B C D AC AD BC BD
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính :
 2x
a)A 15x 6y b)B 5x2 3y 4x2 2y 
 3
 Giải
 2x 2x 4 2 2 2
a)A .15x 6y b)B 20x 10x y 12x y 6y
 3 3 
A 10x2 4xy B 20x4 2x2 y 6y2
Ví dụ 2: Tìm giá trị biểu thức sau:
 1
a)A 5x 7 2x 3 7x 2 tại x 
 2
b)B x 2 y 2x x 2y y 2x tại x 2; y 2
 Giải
Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của biến vào biểu thức thì ta được số rất phức tạp. Khi thực hiện sẽ gặp khó 
khăn, dễ dẫn tới sai lầm. Do vậy chúng ta cần thực hiện nhân đa thức với đa thức rồi thu gọn đa thức. Cuối 
cùng mới thay số.
Trình bày lời giải
a) Ta có:
A 5x 7 2x 3 7x 2 x 4 
 10x2 15x 14x 21 7x2 28x 2x 8 
 10x2 15x 14x 21 7x2 28x 2x 8
 3x2 27x 13
 2
 1 1 1 5
Thay x vào biểu thức, ta có: A 3. 27. 13 
 2 2 2 4
 1 5
Vậy với x thì giá trị biểu thức A 
 2 4 A x 2x 1 x2 x 2 x3 x 5 
A 2x2 x x3 2x2 x3 x 5
A 6
Suy ra giá trị của A không phụ thuộc vào x
b) Biến đổi biểu thức B, ta có :
B x 3x2 x 5 2x3 3x 16 x x2 x 2 
B 3x3 x2 5x 2x3 3x 16 x3 x2 2x
B 3x3 3x3 x2 x2 5x 5x 16
B 16
Suy ra giá trị của B không phụ thuộc vào x.
Ví dụ 5: Tính nhanh
 7 1 4 2 1 1
a)A 4 . .1. 
 5741 3759 3741 5741 3759 3759.5741
 1 3 1 6516 4 6
b)B 2 . 3 
 3150 6547 1050 6517 1050 3150.6517
 Giải
Tìm cách giải. Quan sát kỹ biểu thức, nếu thực hiện trực tiếp các phép tính bài toán dễ dẫn đến sai lầm; ta 
nhận thấy nhiều số giống nhau, do vậy chúng ta nghĩ tới đặt phần giống nhau bởi một chữ. Sau đó biến đổi 
biểu thức chứa chữ đó. Cách giải như vậy gọi là phương pháp đại số
Trình bày lời giải
 1 1
a) Đặt x ; y khi đó biểu thức có dạng:
 5741 3749
A 4 7x y 4y 1 2x y xy
A 4y 7xy 4y 8xy y xy
A y
 1
 A 
 3759
 1 1
b) Đặt x ; y khi đó biểu thức có dạng:
 3150 6517
B 2 x 3y 3x 4 y 12x 6xy
B 6y 3xy 12x 2xy 12x 6xy
B 6y
 1 6
 B 6. 
 6517 6517
C. Bài tập vận dụng b)D 6x2 48x 5x 40 6x2 9x 2x 3 36x 27
 D 13
Vậy giá trị biểu thức D 13 không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
1.4. Tìm x, biết :
a)5 x 3 x 7 5x 1 x 2 25
b)3 x 7 x 5 x 1 3x 2 13
 Hướng dẫn giải – đáp số
a)5x2 35x 15x 105 5x2 10x x 2 25
 41x 107 25
 41x 82
x 2
b)3x2 15x 21x 105 3x2 3x 2 13
 5x 103 13
 5x 90
x 18
1.5. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
a)A 4 5x 3x 2 3 2x x 2 tại x 2
 1 1
b)B 5x x 4y 4y y 5x tại x ; y 
 5 2
 Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có :
A 12x 8 15x2 10x 3x 6 2x2 4x
 17x2 29x 14
Với x 2 , thay vào biểu thức ta có :
A 17 2 2 29 2 14
 68 58 14
 140
b) Ta có :
B 5x x 4y 4y y 5x 
 5x2 20xy 4y2 20xy
 5x2 4y2
 1 1
Thay x ; y vào biểu thức ta có ;
 5 2 A 2 n n2 3n 1 n n2 12 8 chia hết cho 5
 Hướng dẫn giải – đáp số
Biến đổi đa thức, ta có :
A 2 n n2 3n 1 n. n2 12 8
 2n2 n3 6n 3n2 n 2 n3 12n 8
 5n2 5n 105
1.9. Đặt 2x a b c . Chứng minh rằng:
 x a x b x b x c x c x a ab bc ca x2
 Hướng dẫn giải – đáp số
Xét vế trái:
 x a x b x b x c x c x a 
 x2 ax bx ab x2 bx cx bc x2 ax cx ca
 ab bc ca 3x2 2x a b c 
 ab bc ca 3x2 2x.2x
 ab bc ca x2
Vế trái bằng vế phải suy ra điều chứng minh.
1.10. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab bc ca abc và a b c 1
Chứng minh rằng : a 1 b 1 c 1 0
 Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có a 1 b 1 c 1 a 1 bc b c 1 
 abc ab ac a bc b c 1
 abc ab bc ca a b c 1
 abc ab bc ca a b c 1
 abc abc 1 1 0