Chuyên đề 1: Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của biểu thức - Bồi dưỡng Học sinh giỏi Toán 8

 CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC
 A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
 - Cho biểu thức A x; y;z Khi đó hảng số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của A x; y;z nếu thỏa 
 mãn hai điều kiện sau:
 + Với mọi x; y;z mà A x; y;z xác định mà A x; y;z M 
 + Tồn tại một bộ số x; y;z sao cho A x; y;z M 
 - Cho biểu thức A x; y;z Khi đó hảng số N là giá trị lớn nhất (GTNN) của A x; y;z nếu thỏa 
 mãn hai điều kiện sau:
 + Với mọi x; y;z mà A x; y;z xác định mà A x; y;z N 
 + Tồn tại một bộ số x; y;z sao cho A x; y;z N 
 B. LUYỆN TẬP
 Dạng 1: ĐA THỨC BẬC 4 ĐƠN GIẢN
Phương pháp:
 - Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.
 - Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.
 2 2
 - Sử dụng các hằng đẳng thức a b , a b c . 
Bài 1: Tìm GTNN của: A x x 3 x 4 x 7 
HD:
 A x x 7 x 3 x 4 x2 7x x2 7x 12 , Đặt x2 7x 6 t , khi đó:
 2 2 2 x 1
 A t 6 t 6 t 36 36 , Dấu “ = ” khi t 0 x 7x 6 0 
 x 6
 Vậy Min A = - 36 khi x=1 hoặc x=6 
Bài 2: Tìm GTNN của: B x 1 x 3 x2 4x 5 
HD:
 B x2 4x 5 x2 4x 5 , Đặt x2 4x 4 0 . Khi đó:
 B t 1 t 1 t2 1 1 , Dấu “ = “ khi t 2 0 x2 4x 4 0 t 2 
Bài 3: Tìm min của: A x x 2 x 4 x 6 8
HD:
 A x x 6 x 2 x 4 8 x2 6x x2 6x 8 8 , Đặt x2 6x 4 t . Khi đó: 
 A t 4 t 4 8 t2 16 8 t2 8 8 , Dấu “ = “ Khi đó:
 x 3 5
 t 2 0 x2 6x 4 0 
 x 3 5
Bài 4: Tìm GTNN của: B x 1 x 2 x 3 x 4 D x 1 x 2 x 2 x 5 2014 x2 3x 10 x2 3x 2 2014 , Đặt x2 3x 4 t 
 Khi đó: D t 6 t 6 2014 t2 1978 , Dấu “= “ xảy ra khi:
 2 2 x 1
 t 0 x 3x 4 0 
 x 4
Bài 12: Tìm GTNN của: C x4 6x3 10x2 6x 9
HD: 
 2
 C x4 2.3x2.x 9x2 x2 6x 9 x2 3x x 3 2 0
Bài 13: Tìm GTNN của: C x4 4x3 9x2 20x 22
HD:
 C x4 4x3 4x2 5 x2 4x 4 2
Bài 14: Tìm GTNN của: B x4 x2 2x 7
HD:
 B x4 2x2 1 x2 2x 1 5
Bài 15: Tìm GTNN của: D x 8 4 x 6 4
HD:
 Đặt: x 7 y D y 1 4 y 1 4 2y4 12y2 2 2
Bài 16: Tìm GTNN của : A 9x2 6x 4 3x 1 6
HD:
 Đặt: 3x 1 t t 2 9x2 6x 1 E t 2 4t 5
Bài 17: Tìm GTLN của: A 2x 1 2 3x 2 2 x 11
HD:
 2
 2 2 2 17 569 569
 A 4x 4x 1 9x 12x 4 x 11 5x 17x 14 5 x 
 10 20 20
Bài 18: Tìm min của: A x 2 4 x 2 4
HD:
 2 2
 A x2 2x 4 x2 2x 4 x4 4x2 16 2 2x3 8x 4x2 x4 4x2 16 
 2
 2 4x2 2x3 8x 2x4 24x2 32 2 x2 6 40 40 
Bài 19: Tìm min của: A x2 4y2 4x 32y 2018
HD:
 2 2
 A x2 4x 4 4y2 32y 64 1950 x 2 4 y 4 1950 1950 
Bài 20: Tìm min của: A 3x2 y2 4x y
HD:
 2 2
 2 2 2 2 2 1 2 1 19 19
 A 3x 4x y y 3 x 2.x. y 2.y. 3 x y 
 3 2 3 2 12 12
Bài 21: Tìm min của: B 5x2 y2 2xy 12x 18
HD:
 2 2
 B 4x2 12x x2 2xy y2 18 2x 3 x y 27 27 
Bài 22: Tìm max của: B 3x2 16y2 8xy 5x 2
HD: N x2 4y2 6x 8y 3 x2 6x 9 4y2 8y 4 16 
 2 2 2 2
 N x 3 4 y 1 16 N x 3 4 y 1 16 16 
Bài 31: Tìm max của: P 3x2 5y2 2x 7y 23
HD:
 P 3x2 5y2 2x 7y 23 3x2 2x 5y2 7y 23 
 2 2 2 2
 1 7 1213 1 7 1213 1213
 P 3 x 5 y => P 3 x 5 y 
 3 10 60 3 10 60 60
Bài 32: Tìm max của: R 7x2 4y2 8xy 18x 9
HD:
 2 2
 R 7x2 4y2 8xy 18x 9 4y2 8xy 4x2 3x2 18x 9 2 x y 3 x 3 36 
 2 2
 R 2 x y 3 x 3 36 36 
Bài 33: Tìm max của: A 5 2x2 4y2 4xy 8x 12y
HD:
 A 2x2 4y2 4xy 8x 12y 5 2x2 4x y 2 4y2 12y 5 
 2 2
 2 x2 2x y 2 y 2 4y2 12y 5 2 y 2 
Bài 34: Tìm max của: B 2 5x2 y2 4xy 2x
HD:
 2 2
 B 5x2 y2 4xy 2x 2 y2 2.y.2x 4x2 x2 2x 1 3 y 2x x 1 3 3 
 2 2
 B 2x y x 1 3 3 
Bài 35: Tìm min của: C a2 ab b2 3x 3b 1989
HD:
 2 2
 b 3 b 3 b 3 
 C a2 a b 3 b2 3b 1989 a2 2.a. b2 3b 1989 
 2 4 4
 4C 4a2 4ab 4b2 12a 12b 7956 
 2 2 2
 4a2 4a b 3 b 3 4b2 12b 7956 b 3 2a b 3 3b2 6b 7947 
Bài 36: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: x 1 x 2 2 x 3 m
HD:
 2
 VT x 1 x 3 x 2 x2 4x 3 x2 4x 4 , Đặt x2 4x t , Khi đó:
 2
 2 2 7 49 49 7 1 1
 VT t 3 t 4 t 7t 12 t 2.t. 12 t 
 2 4 4 2 4 4
Bài 37: Tìm GTNN của: A x2 2xy 2y2 4y 5 
HD:
 2 2
 Ta có: A x2 2xy y2 y2 4y 4 1 x y y 2 1 
 2 2 2 2
 Do: x y 0, y 2 0 , Nên A x y y 2 1 1 
Bài 38: Tìm min của: B 2x2 y2 2xy 8x 2028 Dạng 2: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp:
 2 2
 - Sử dụng biến dổi đưa về hằng đẳng thức a b , a b c 
 - Chú ý khi biến đổi thành nhiều ngoặc vì khi đó điều kiện dấu “ = ” xảy ra bị ràng buộc nhiều.
Bài 1: Tìm GTNN của: A x2 2xy 2y2 2x 10y 17
HD:
 2 2
 A x2 2x y 1 2y2 10y 17 x2 2x y 1 y 1 2y2 10y 17 y 1 
 2
 x y 1 y2 8y 16 
Bài 2: Tìm min của: B x2 xy y2 2x 2y
HD:
 2 2
 2 2 2 y 2 y 4y 4 2 y
 B x x y 2 y 2y x 2.x. y 2y y 1 
 2 4 4
 2
 4B x y 2 4y2 8y y2 4y 4 
Bài 3: Tìm min của: C x2 xy y2 3x 3y
HD:
 2 2
 2 2 2 y 3 y 6y 9 2 y 6y 9
 C x x y 3 y 3y x 2.x. y 3y 
 2 4 4
 2 2 2 
 4C x y 3 4y 12y y 6y 9 
Bài 4: Tìm min của: D x2 2xy 6y2 12x 2y 45
HD:
 2
 D x2 2x y 6 6y2 2y 45 x2 2x. y 6 y 6 6y2 2y 45 y2 12y 36 
 2
 x y 6 5y2 10y 9 
Bài 5: Tìm min của: E x2 xy 3y2 2x 10y 20
HD:
 y 2 y2 4y 4 y2 4y 4
 E x2 x y 2 3y2 10y 20 x2 2x. 3y2 10y 20 
 2 4 4
 2 2
 4E x y 2 12y2 40y 80 y2 4y 4 x y 2 11y2 36y 76 
Bài 6: Tìm max của: F x2 2xy 4y2 2x 10y 3
HD:
 F x2 2xy 4y2 2x 10y 3 x2 2x y 1 4y2 10y 3 
 2 2
 F x2 2x y 1 y 1 4y2 10y 3 y 1 
Bài 7: Tìm min của: G x ay 2 6 x ay x2 16y2 8ay 2x 8y 10
HD:
 2
 G x ay 6 x ay 9 x2 2x 1 16y2 8ay 8y 
 2 2 2 2
 G x ay 3 x 1 16y2 8y a 1 a 1 a 1 
 2 2 2 2 2
 G x ay 3 x 1 4y a 1 a 1 a 1