Các dạng bài tập Chuyên đề Đa giác đều Toán 9 Cánh Diều

 Hình học 9 - Chương 9: Đa giác đều – Tự luận có lời giải Cánh Diều 
 CHƯƠNG 9 
 ĐA GIÁC ĐỀU 
 BÀI 1 
 ĐA GIÁC ĐỀU 
 HÌNH ĐA GIÁC ĐỀU TRONG THỰC TIỄN 
1. Đa giác. Đa giác lồi 
a. Đa giác 
 Đa giác AA12... An ( n≥∈ 3, n ) là hình gồm n đoạn thẳng AA12; AA 23 ; ...; Annn− 1 A ; AA 1, sao cho mỗi 
điểm AA, ,..., Alà điểm chung của đúng hai đoạn thẳng và không có hai đonạ thẳng nào nằm trên cùng 
 12 n 
một đường thẳng. Trong đa giác AA... A các điểm AA, ,..., A là các đỉnh, các đoạn thẳng 
 12 n 12 n 
 AA; AA ; ...; A A ; AA là các cạnh. 
 12 23nnn− 1 1 
b. Đa giác lồi. 
 Đa giác lồi là đa giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác. 
Chú ý: 
 • Đa giác lồi có n cạnh (nn≥∈3, ) cũng là đa giác lồi có n góc. Khi n lần bằng 3, 4,5,6,... ta có 
tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác, . 
 • Từ nay về sau, khi nói về đa giác mà nếu không giải thích gì thêm, thì hiểu đó là đa giác lồi. 
2. Đa giác đều 
 Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. 
Chú ý: 
 • Trong mỗi đa giác đều, có đúng một điểm O cách đều tất cả các đỉnh của đa giác đó. Điểm O đó 
được gọi là tâm của đa giác đều. 
 • Phần mặt phẳng giới hạn bởi đa giác đều được gọi là hình đa giác đều. Vì mỗi hình đa giác đều 
cũng là một phần của mặt phẳng nên hình đa giác đều còn gọi là hình phẳng đều. 
 Trang 1 Hình học 9 - Chương 9: Đa giác đều – Tự luận có lời giải Cánh Diều 
a) Tính số đường chéo của đa giác n cạnh. 
b) Đa giác nào có số đường chéo bằng số cạnh? 
Bài 9. Cho lục giác đều ABCDEF . Gọi M là trung điểm của EF , N là trung điểm của BD . Chứng 
minh rằng AMN là tam giác đều. 
Bài 10. Cho lục giác đều ABCDEF . Trên cạnh AB , BC , CD , DE , EF , FA lấy các điểm A′ , B′ , 
C′, D′ , E′ , F′ sao cho AA′′′= BB = CC = DD ′′′ = EE = FF . Chứng minh rằng ABCDEF′′′ ′′′ là một lục 
giác đều. 
Bài 11. Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh AD (như hình vẽ). Tính các góc của tam giác 
ABC. 
 Trang 3 Hình học 9 - Chương 9: Đa giác đều – Tự luận có lời giải Cánh Diều 
 Đa giác đều có n cạnh bằng nhau và cũng có n góc bằng nhau nên có công thức tính số đo mỗi góc 
 (n 2).1800
là: 
 n
Bài 1. Trong các hình phẳng sau, hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều? 
Bài 2. Trong các hình phẳng sau, hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều? 
Bài 3. Trong các hình phẳng sau, hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều? 
Bài 4. Người ta muốn làm một khay đựng bánh kẹo hình lục giác đều có cạnh 10 cm và chia thành 7 
ngăn gồm một lục giác đều nhỏ và 6 hình thang cân như hình vẽ. Hỏi lục giác đều nhỏ phải có cạnh bằng 
bao nhiêu để nó có diện tích bằng hai lần diện tích của mỗi hình thang. 
Bài 5. Tính số đo của mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều ( đa giác đều 8 cạnh). 
 Lời giải 
 (5 2).1800
Mỗi góc của ngũ giác đều bằng: 1080 
 5
 Trang 2 Hình học 9 - Chương 9: Đa giác đều – Tự luận có lời giải Cánh Diều 
Đa giác có n đỉnh nên kẻ được nn( − 3) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo tính 2 lần. Vậy số đường 
 nn( − 3)
chéo của hình n - giác lồi là . 
 2
 nn( − 3)
b) Giải phương trình = n . Ta được n = 5 
 2
Bài 9. Cho lục giác đều ABCDEF . Gọi M là trung điểm của EF , N là trung điểm của BD . Chứng 
minh rằng AMN là tam giác đều. 
 Lời giải 
Gọi O là giao điểm của AD , BE , CF . Dễ dàng chứng minh N là trung điểm của OC , 
 ∆=∆AFM AON (c.g.c). 
Từ đó AM= AN và MAN =60 ° nên ∆AMN là tam giác đều. 
Bài 10. Cho lục giác đều ABCDEF . Trên cạnh AB , BC , CD , DE , EF , FA lấy các điểm A′ , B′ , 
 C′, D′ , E′ , F′ sao cho AA′′′= BB = CC = DD ′′′ = EE = FF . Chứng minh rằng ABCDEF′′′ ′′′ là một lục 
giác đều. 
 Lời giải 
Hướng dẫn: Chứng minh rằng các tam giác AA′ F , BB′′ A , CC′′ B , DD′′ C , EE′′ D , FF′ E bằng nhau. 
Bài 11. Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh AD (như hình vẽ). Tính các góc của tam giác 
ABC. 
 Lời giải 
 Trang 4 Hình học 9 - Chương 9: Đa giác đều – Tự luận có lời giải Cánh Diều 
 BÀI 2 
 PHÉP QUAY 
1. Khái niệm 
 Cho điểm O cố định và số thực α o . 
 ααoo<< o o
 Phép quay thuận chiều (0 360 ) tâm O giữ nguyên điểm O , biến điểm M (khác điểm 
O ) thành điểm M ' thuộc đường tròn (O; OM ) sao cho tia OM quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia 
OM ' thì điểm M tạo nên cung MM ' có số đo α o . Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều α o 
tâm O . 
 Phép quay 0o và phép quay 360o giữ nguyên mọi điểm. 
2. Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều 
 Cho hình đa giác đều AA... A n≥∈ 3, n có tâm O . Phép quay giữ nguyên hình đa giác là phép 
 12 n ( ) 
quay tâm O biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành một đỉnh của hình đa giác đó đều đó. 
Chú ý: 
 Người ta chứng minh được rằng chỉ có các phép quay sau đây giữ nguyên hình đa giác đều 
 AA... A n≥∈ 3, n với tâm O : các phép quay thuận chiều α o tâm O và các phép quay ngược chiều 
 12 n ( ) 
α o tâm O , với α o lần lượt nhận các giá trị: 
 360oo 2.360n .360 o
 ααoo=; = ;...; α o= = 360 o 
 nn n
 Cho tam giác đều tâm . 
Bài 1. ABC O
a) Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm C thì các điểm BC, tương ứng biến thành các 
điểm nào? 
b) Phép quay ngược chiều tâm O biến điểm A thành điểm B thì các điểm BC, tương ứng biến thành 
các điểm nào? 
c) Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên hình tam giác đều ABC . 
 Cho hình vuông tâm . 
Bài 2. ABCD O
a) Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm C thì các điểm BCD,, tương ứng biến thành 
các điểm nào? 
 Trang 1 Hình học 9 - Chương 9: Đa giác đều – Tự luận có lời giải Cánh Diều 
a) Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm E thì các điểm BCDEGH,,,,, , K tương ứng 
biến thành các điểm nào? 
b) Phép quay ngược chiều tâm O biến điểm C thành điểm K thì các điểm ABDEGH,,,,, , K tương 
ứng biến thành các điểm nào? 
c) Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên hình lục giác đều ABCDEGHK . 
 Cho hai đa giác đều 
Bài 6. ABCDEGH như hình vẽ sau: 
a) Ở hình 1a), ta thực hiện phép quay ngược chiều giữ nguyên hình đa giác đều ABCDEGH và biến các 
điểm ABCDEGH,,,,,, lần lượt thành điểm H,,,,,, ABCDEG. Phép quay đó là phép quay nào? 
b) Ở hình 1b), ta thực hiện phép quay thuận chiều giữ nguyên hình đa giác đều ABCDEGH và biến các 
 ABCDEGH,,,,,, BCDEGH,,,,, , A
điểm lần lượt thành điểm . Phép quay đó là phép quay nào? 
Bài 7. Cho hai đa giác đều ABCDEGHK như hình vẽ sau: 
a) Ở hình 2a), ta thực hiện phép quay ngược chiều giữ nguyên hình đa giác đều ABCDEGHK và biến các 
điểm ABCDEGH,,,,,, , K lần lượt thành điểm BCDEGH,,,,, ,, K A. Phép quay đó là phép quay nào? 
b) Ở hình 2b), ta thực hiện phép quay thuận chiều giữ nguyên hình đa giác đều ABCDEGHK và biến các 
 ABCDEGH,,,,,, , K K,,,,,,, ABCDEGH
điểm lần lượt thành điểm . Phép quay đó là phép quay nào? 
Bài 8. Cho 18 hình tam giác đều bằng nhau và được xếp với nhau thành hình chong chóng như hình 
vẽ. 
 Trang 3 Hình học 9 - Chương 9: Đa giác đều – Tự luận có lời giải Cánh Diều 
 BÀI 2 
 PHÉP QUAY 
1. Khái niệm 
 Cho điểm O cố định và số thực α o . 
 ααoo<< o o
 Phép quay thuận chiều (0 360 ) tâm O giữ nguyên điểm O , biến điểm M (khác điểm 
O ) thành điểm M ' thuộc đường tròn (O; OM ) sao cho tia OM quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia 
OM ' thì điểm M tạo nên cung MM ' có số đo α o . Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều α o 
tâm O . 
 Phép quay 0o và phép quay 360o giữ nguyên mọi điểm. 
2. Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều 
 Cho hình đa giác đều AA... A n≥∈ 3, n có tâm O . Phép quay giữ nguyên hình đa giác là phép 
 12 n ( ) 
quay tâm O biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành một đỉnh của hình đa giác đó đều đó. 
Chú ý: 
 Người ta chứng minh được rằng chỉ có các phép quay sau đây giữ nguyên hình đa giác đều 
 AA... A n≥∈ 3, n với tâm O : các phép quay thuận chiều α o tâm O và các phép quay ngược chiều 
 12 n ( ) 
α o tâm O , với α o lần lượt nhận các giá trị: 
 360oo 2.360n .360 o
 ααoo=; = ;...; α o= = 360 o 
 nn n
 Cho tam giác đều tâm . 
Bài 1. ABC O
a) Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm C thì các điểm BC, tương ứng biến thành các 
điểm nào? 
b) Phép quay ngược chiều tâm O biến điểm A thành điểm B thì các điểm BC, tương ứng biến thành 
các điểm nào? 
c) Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên hình tam giác đều ABC . 
 Cho hình vuông tâm . 
Bài 2. ABCD O
a) Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm C thì các điểm BCD,, tương ứng biến thành 
các điểm nào? 
 Trang 1