Các dạng bài tập Chuyên đề Bất đẳng thức, bất phương trình bậc nhất một ẩn Toán 9 Cánh Diều

 Đại số 9 - Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn – Tự luận có lời giải Cánh Diều 
 CHƯƠNG 2 
 BẤT ĐẲNG THỨC 
 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 
 BÀI 1 
 BẤT ĐẲNG THỨC 
1. Khái niệm bất đẳng thức 
a. Nhắc lại thứ tự trong tập hợp số thực 
 • Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta viết ab . 
 • Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương. 
 • Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm. 
 • Trên trục số nằm ngang, nếu số thực a nằm bên trái số thực b thì ab . 
 • Tổng của hai số thực dương là số thực dương. Tổng của hai số thực âm là số thực âm. 
 • Với hai số thực ab, , ta có: 
 ab > 0 thì ab, cùng dấu ( hay cùng dương hoặc cùng âm) và ngược lại. 
 ab < 0 thì ab, trái dấu và ngược lại. 
 • Với hai số thực ab, dương , nếu ab> thì ab> . 
b. Khái niệm bất đẳng thức 
 Ta gọi hệ thức dạng ab> (hay ababab<≥≤,, ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải 
của bất đẳng thức. 
Chú ý: 
 • Hai bất đẳng thức ab và cd> ) được gọi là bất đẳng thức cùng chiều. 
 • Hai bất đẳng thức ab (hay ab> và cd< ) được gọi là bất đẳng thức ngược chiều. 
2. Tính chất bất đẳng thức 
a. Tính chất bắc cầu 
 Cho ba số abc,,. Nếu ab> và bc> thì ac> . 
Chú ý: Tính chất bắc cầu vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <≤≥,, . 
b. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng 
 Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với 
bất đẳng thức đã cho. 
 Trang 1 Đại số 9 - Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn – Tự luận có lời giải Cánh Diều 
 DẠNG 1 
 DIỄN TẢ MỘT KHẲNG ĐỊNH NÀO ĐÓ 
Bài 1. Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau: 
 a) x nhỏ hơn 5. b) a không lớn hơn b. c) m không nhỏ hơn n. 
Bài 2. Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau: 
a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được phép lái ô tô; 
b) Xe buýt chở được tối đa 45 người; 
c) Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là 20 000 đồng. 
Bài 3. Khi đi đường, chúng ta có thể thấy các biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà xe cơ 
giới được phép đi. 
Em có biết ý nghĩa của biển báo giao thông ở Hình 2.3 (biển báo giới hạn tốc độ tối đa cho phép theo xe, 
trên từng làn đường) không? 
Bài 4. Dùng các dấu >, <, ≥, ≤ để diễn tả: 
a) Tốc độ v đúng quy định với biển báo giao thông ở Hình 4a. 
b) Trọng tải P của toàn bộ xe khi đi qua cầu đúng quy định với biển báo giao thông ở Hình 4b. 
Bài 5. Theo quy định của một hãng bay, khối lượng hành lí xách tay của khách hàng phổ thông không 
được vượt quá 12 kg. Gọi m là khối lượng hành lí xách tay của một khách hàng phổ thông. Hệ thức nào 
biểu diễn khối lượng hành lí đúng quy định của hãng bay? 
 Trang 3 Đại số 9 - Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn – Tự luận có lời giải Cánh Diều 
 DẠNG 3 
 SO SÁNH CÁC SỐ 
Bài 1. So sánh hai số a và b, nếu: 
a) a + 2024 < b + 2024 
b) − 2025a + 9 > − 2025b + 9. 
Bài 2. So sánh hai số 3 + 232024 và 4 + 232024. 
Bài 3. Hãy so sánh: (−163) . (−75)15 và (−162) . (−75)15. 
 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 4. So sánh x và y trong mỗi trường hợp sau: 
 11 2024 2024
 a) xy−≤− b) 2xy+ 2023 >+ 2 2023 c) −−≥−−33xy 
 33 2025 2025
Bài 5. Số a là âm hay dương nếu: 
 a) −≤42aa b) 3aa≥ 15 c) 6aa> 24 
 1
Bài 6. So sánh m và n biết mn−= 
 2
Bài 7. Cho ab−≤−21. So sánh hai biểu thức 24a − và 22b − 
 2
Bài 8. So sánh m và m với 01<<m . 
Bài 9. Cho bất đẳng thức a > b và cho số thực c. 
a) Xác định dấu của hiệu: (a + c) – (b + c). 
b) Hãy so sánh: a + c và b + c. 
Bài 10. Cho bất đẳng thức a > b và số thực c > 0. 
a) Xác định dấu của hiệu: ac – bc. 
b) Hãy so sánh: ac và bc. 
Bài 11. Cho các bất đẳng thức a > b và b > c. 
a) Xác định dấu của các hiệu: a – b, b – c, a – c. 
b) Hãy so sánh: a và c. 
 Trang 5 Đại số 9 - Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn – Tự luận có lời giải Cánh Diều 
 DẠNG 5 
 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
 Mức độ khó 
Để chứng minh A > B , Ta chứng minh A – B > 0 
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 ≥ 0 với ∀ M 
Bài 1. Với mọi xyz,,, chứng minh: 
 2++≥++ 22 2++≥ 22 + −
 a) x y z xy yz zx b) x y z222 xy yz zx 
 c) x2+ y 22 + z +≥32( xyz ++)
Bài 2. Với mọi ab, , chứng minh: 
 22 2 2 2
 a++ b ab 22(ab+ ) (ab+ )
 a) ≥  b) ab+≥ c) ≥ 2ab
 22 2 2 
 2
 2 b 22
 d) a+≥ ab e) a+ b +≥1 ab + a + b
 4 
Bài 3. Với mọi abc,, , chứng minh: 
 222 2 2
 a+ b + c abc ++ 222(abc++)
 a) ≥  b) abc++≥
 33 3 
 a2
 c) ++≥b22 c ab −+ ac2 bc 
 4 
Bài 4. Với mọi abcde,,, , , chứng minh: abcdeabcde222++++≥ 22 ( +++) 
Bài 5. Với mọi abc,, , chứng minh: 
 a) a22+≥ b ab b) 22abc222++≥ abc( +)
 4 3 22 3 4 442 2
 c) a−22 a b + a b − 2 ab +≥ b 0 d) abc+ + +≥12 aabac( − ++1) 
 3
 e) a222+ b + c + ≥( abc ++) f) abcabc222++≥( +)
 4 
Bài 6. Với mọi abc,, , chứng minh: 
 2 2
 a) a43+ a b + ab 34 +≥ b 0 b) a22+≥ b ab( a + b)
 ( ) 
 3
 c) a33+ b + abc ≥ ab( a ++ b c) d) 4 a33+ b ≥+( ab)
 ( ) 
 Trang 7 Đại số 9 - Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn – Tự luận có lời giải Cánh Diều 
 CHƯƠNG 2 
 BẤT ĐẲNG THỨC 
 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 
 BÀI 1 
 BẤT ĐẲNG THỨC 
1. Khái niệm bất đẳng thức 
a. Nhắc lại thứ tự trong tập hợp số thực 
 • Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta viết ab . 
 • Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương. 
 • Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm. 
 • Trên trục số nằm ngang, nếu số thực a nằm bên trái số thực b thì ab . 
 • Tổng của hai số thực dương là số thực dương. Tổng của hai số thực âm là số thực âm. 
 • Với hai số thực ab, , ta có: 
 ab > 0 thì ab, cùng dấu ( hay cùng dương hoặc cùng âm) và ngược lại. 
 ab < 0 thì ab, trái dấu và ngược lại. 
 • Với hai số thực ab, dương , nếu ab> thì ab> . 
b. Khái niệm bất đẳng thức 
 Ta gọi hệ thức dạng ab> (hay ababab<≥≤,, ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải 
của bất đẳng thức. 
Chú ý: 
 • Hai bất đẳng thức ab và cd> ) được gọi là bất đẳng thức cùng chiều. 
 • Hai bất đẳng thức ab (hay ab> và cd< ) được gọi là bất đẳng thức ngược chiều. 
2. Tính chất bất đẳng thức 
a. Tính chất bắc cầu 
 Cho ba số abc,,. Nếu ab> và bc> thì ac> . 
Chú ý: Tính chất bắc cầu vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <≤≥,, . 
b. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng 
 Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với 
bất đẳng thức đã cho. 
 Trang 1 Đại số 9 - Chương 2: Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn – Tự luận có lời giải Cánh Diều 
 DẠNG 1 
 DIỄN TẢ MỘT KHẲNG ĐỊNH NÀO ĐÓ 
Bài 1. Hãy chỉ ra các bất đẳng thức diễn tả mỗi khẳng định sau: 
 a) x nhỏ hơn 5. b) a không lớn hơn b. c) m không nhỏ hơn n. 
 Lời giải 
a) Để diễn tả x nhỏ hơn 5, ta có bất đẳng thức x < 5. 
b) Ta có a không lớn hơn b hay a nhỏ hơn hoặc bằng b. 
Do đó, để diễn tả a không lớn hơn b, ta có bất đẳng thức a ≤ b; 
c) Ta có m không nhỏ hơn n hay m lớn hơn hoặc bằng n. 
Do đó, để diễn tả m không nhỏ hơn n, ta có bất đẳng thức m ≥ n. 
Bài 2. Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau: 
a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được phép lái ô tô; 
b) Xe buýt chở được tối đa 45 người; 
c) Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là 20 000 đồng. 
 Lời giải 
a) Gọi x (tuổi) là số tuổi của bạn, khi đó bất đẳng thức phù hợp cho “Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được 
phép lái ô tô” là x ≥ 18. 
b) Gọi y (người) là số người xe buýt có thể chở được, khi đó bất đẳng thức phù hợp cho “Xe buýt chở 
được tối đa 45 người” là y ≤ 45. 
c) Gọi z (đồng) là mức lương cho một giờ làm việc của người lao động, khi đó bất đẳng thức phù hợp cho 
“Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là 20 000 đồng” là z ≥ 20 000. 
Bài 3. Khi đi đường, chúng ta có thể thấy các biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà xe cơ 
giới được phép đi. 
Em có biết ý nghĩa của biển báo giao thông ở Hình 2.3 (biển báo giới hạn tốc độ tối đa cho phép theo xe, 
trên từng làn đường) không? 
 Lời giải 
 Trang 3