Các Chuyên đề học tập môn Toán 8 phần Hình học

 TỨ GIÁC 
A. Tóm tắt lý thuyết 
1. Tứ giác 
 D B
 B A
 A
 C
 A C
 A
 B
 D
 D C B C D
 a b c d
a) Định nghĩa: Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB,,, BC CD DA trong đó bất kỳ 2 đoạn 
thẳng nào cũng không cùng nằm trên 1 đường thẳng 
Ta có hình a), b), c) là tứ giác. Hình d) không là tứ giác 
b) Tứ giác lồi: Là tứ giác luôn nằm trong 1 nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ 
cạnh nào của tứ giác 
Ta có: Hình a) là tứ giác lồi. Hình b), c) không là tứ giác lồi 
c) Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi 
2. Tổng các góc của 1 tứ giác D
a) Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600 C
 GT Tứ giác ABCD A
 KL ABCD+++   =3600 B
*) Chú ý: Để bốn góc cho trước thỏa mãn là bốn góc của một tứ giác khi bốn góc đó có tổng 
bằng 3600 
- Bất đẳng thức đường gấp khúc: AB++> BC CD AD 
 - Mở rộng: Tổng bốn góc ngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 3600. 
3. Góc ngoài của tứ giác: Góc kề bù với 1 góc trong của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác 
B. Bài tập và các dạng toán 
 Dạng 1: Tính số đo góc trong hình vẽ của tứ giác 
Cách giải 
- Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác 
 1 Mà FCD + CDE + DEF += x 3600 ⇒ 90 0 + 120 00 + 75 +=x 360 0 ⇒= x 75 0. 
 Bài 3: Tính x trong mỗi hình vẽ sau 
 C M E F
 D 90° 96° 120°
 114° 
 x 71° N
 120°
 71° 76° 61° x x
 H G
 F Hình a E Q Hình b P Hình c
 Lời giải 
Hình a) Ta có: CDEF + + + =3600 ⇒ 114 0 ++x 76 00 + 71 = 360 0 ⇒=x 99 0 
Hình b) Ta có: M +++= N PQ  3600 ⇒ 90 00 +++= 71P 61 0 360 0 ⇒=P 138 0 
Mà P kề bù với góc xx⇒=420 
Hình c) Ta có: G kề bù với 1200 nên G = 600 
Mà EFGx + + +=360000000 ⇒ 96 + 120 + 60 +=x 360 ⇒= x 84 
 Bài 4: Góc kề bù với một góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác 
a) Hãy tính các góc ngoài của tứ giác ở hình a) 
b) Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở Hình b) (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc 
    
ngoài): ABCD111+++ 1 =? 
c) Có nhận xét gì về tổng các góc ngoài của tứ giác? 
 A
  1
  1 1
 B  B
 C
 120o
 1
 1
 o D
 1 75  
   D 1 C
 A 1
 Hình a Hình b 
 Lời giải 
   o  o   o  o
a) BB+=1 180 (hai góc kề bù) nên B1 = 90 , CC+=1 180 (hai góc kề bù) nên C1 = 60 , 
  o  o
AA+=1 180 (hai góc kề bù) nên A1 =105 . 
Ta có: ABCD+++   =360o (định lý)⇒=D 75o . 
 3 Cho ◊ABCD có BD =8000 , = 120 . Góc ngoài tại 
đỉnh C bằng 1300 . Tính góc A 
 Lời giải 
Ta có góc ngoài tại đỉnh C có số đo bằng 130o và kề bù với C ⇒=C 50o . 
Ta có: ABCD+++   =360o (định lý) ⇒+AA800 + 50oo + 120 = 360 o ⇒= 110 o . 
 5 Vậy GH =11500 ; = 95 
 Bài 3: 
  
Cho hình vẽ, hãy tính PQ; M
 Q
 70° 2x
 80° x
 N P
 Lời giải 
Áp dụng định lý tổng bốn góc trong 1 tứ giác, ta có : 
M +++= N PQ  36000 ⇔ 150 + 3x = 360 0 ⇔ 3 x = 210 0 ⇔= x 70 0 ⇒= P 70 0 ; Q = 140 0 
Vậy PQ =7000 ; = 140 
 Bài 4: 
    
Cho ◊ABCD , biết ABCD: : := 1:2:3:4 E
 ◊
a) Tính các góc của ABCD 72°
b) Chứng minh rằng AB// CD 
 D C
c) Gọi giao điểm của AD và BC là E . Tính 144° 108°
các góc của ∆CDE 
 36° 72°
 A B
 Lời giải 
 A B C D  ABCD+++   3600
a) Theo đầu bài ta có: = = = = = = 360 
 1 2 3 4 1234+++ 10
⇒=ABC3600 ; = 72 ; = 108 0 ; D = 144 0 
b) ⇒+=A D 1800 ⇒ AB / / CD 
c) EDC =3600 ; ECD = 72 . 
 7 Lời giải 
Ta có: EFGH +++   =360o (định lý). 
 GE =+=+ 10oo , FE  30 , HGE =2 = 2 + 20o ⇒++EE  30o ++ E 10 o + 2 E + 20 oo = 360
Mà 
⇒5EE + 60oo = 360 ⇒= 60 o ⇒=G 70o , F = 90o , H =140o . 
 Bài 9: 
Cho ◊MNPQ , biết PQ =+=+=− 500 ; M Q 45 ; N 2 Q 40 0. Tính các góc của ◊MNPQ 
 Lời giải 
Ta có: M + N ++= PQ  360o (định lý). 
Mà PQ =+=+ 5,oo M Q 45,NQ =2 − 40o ⇒++−+++=Q 45o 2 Q 40 oo QQ 5 360 o
 oo o
⇒+5Q 10 = 360 ⇒=Q 70 ⇒=P 75o , M =115o , N =100o . 
 Bài 10: 
Cho ◊ABCD , có A=7000 ; B = 80 ; CD −= 20 0. Tính các góc CD;  
 Lời giải 
Ta có: ABCD+++   =360o (định lý). 
  o  o   oo  oo o o
Mà A = 70 , B = 80 ,CD−= 20 ⇒=+ CD20 ⇒70 + 80 ++DD 20 += 360 
⇒+2D 170oo = 360 ⇒=D 95o ⇒=C 115o . 
 Bài 11: 
Cho ◊ABCD , biết BC += 200000 ; BD += 180 ; CD += 120 . Tính số đo các góc của tứ giác ◊ABCD 
 Lời giải 
Từ giả thiết ta có: 2BCD + 2 + 2 = 200000 + 180 + 120 ⇒++BCD   =2500 
Vì: ABCD+++   =36000 ⇒= A 110 
 0 00 0
B =250 −+( CD  ) =250 − 120 = 130 
CB =2000 −= 200 0 − 130 00 = 70 
DC =1200 −= 120 00 − 70 = 50 0 
 9 Dạng 4: Dạng toán chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, song 
 song, vuông góc, hoặc trung điểm của các đoạn thẳng 
Cách giải: Ta cần chú ý tới các kiến thức sau 
- Dựa vào các cặp góc đồng vị, so le trong, trong cùng phía,  
- Hai góc phụ nhau có tổng số đo bằng 900 
- Đôi khi có thể chia tứ giác thành các tam giác để sủ dụng bất đẳng thức tam giác. 
 Bài 1: 
 0
 Cho ◊ABCD có BAD= BCD = 90 , phân giác A
 trong của ABC cắt AD tại E . Phân giác trong 
 của ADC cắt BC tại F . Chứng minh 
 α 1 E
 BE// DF B
 D
 β
 C
 Lời giải 
 +) Ta có: ABC+ ADC =18000 ⇒+=αβ90( 1) 
  0
 +) Xét ∆ABE , có α +=E1 90( 2) 
 
 Từ (1)( 2) ⇒=β E1 ⇒ BE// DF 
 Bài 2: 
 0
 Cho ◊ABCD có ABC+= BAD 180 . Phân giác A
 B
 trong của các góc BCD , CAD cắt nhau tại E , 
 M
 biết CD= 2 DE . Chứng minh rằng 
 ADC= 2 BCD 1 1
 D E C
 Lời giải 
 Theo đầu bài ta có: 
 0  0  00 
 ABC+ BAD =180 ⇒+= C D180 ⇒ C11 + D =90 ⇒ DEC = 90 
 11 Bài 5: 
    
Cho ◊ABCD , biết ABCD: : := 5:8:13:10 E
a) Tính các góc của ◊ABCD 
 12
b) AB∩= CD E; AD ∩= BC F . Phân giác của B
 1
AED và AFB cắt nhau tại O , phân giác của C
 AFB cắt CD và AB tại M và N . Chứng 
minh rằng O là trung điểm của MN O
 N
 A D F
 Lời giải 
a) Ta tính được ABC=5000 ; = 80 ; = 130 0 ; D = 100 0 
  0   000    0
b) E=180 −− ADF ; = 180 −−= AB 50 ; EMN = 180 − F11 − B = 75 
ENM =180000 −−= 75 30 75 0 
⇒∆EMN cân tại E⇒=⇒ OM ON đpcm 
 13