Các Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7

 CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
 PHẦN ĐẠI SỐ
 Chuyền đề 1: Cỏc bài toỏn thực hiện phộp tớnh:
 1. Cỏc kiến thức vận dụng:
 - Tớnh chất của phộp cộng , phộp nhõn
 - Cỏc phộp toỏn về lũy thừa: 
 n m n m+n m n m –n
 a = a.a....a ; a .a = a ; a : a = a ( a 0, m n)
 n
 a an
 (am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ; ( )n (b 0)
 b bn
 2 . Một số bài toỏn :
 Bài 1: a) Tớnh tổng : 1+ 2 + 3 +. + n , 1+ 3 + 5 +. + (2n -1)
 b) Tớnh tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..+ n.(n+1)
 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2)
 Với n là số tự nhiờn khỏc khụng.
 HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1)
 1+ 3+ 5+ + (2n-1) = n2
 b) 1.2+2.3+3.4+ + n(n+1) 
 = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + ..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 ++ n(n+1)(n+2)] : 3
 = n(n+ 1)(n+2) :3
 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2)
 = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + + n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Tổng quỏt: 
Bài 2: a) Tớnh tổng : S = 1+ a + a2 +..+ an 
 c c c
 b) Tớnh tổng : A = ...... với a2 – a1 = a3 – a2 =  = an – an-1 = k
 a1.a2 a2.a3 an 1.an
 HD: a) S = 1+ a + a2 +..+ an aS = a + a2 +..+ an + an+1 
 Ta cú : aS – S = an+1 – 1 ( a – 1) S = an+1 – 1
 Nếu a = 1 S = n
 an 1 1
 Nếu a khỏc 1 , suy ra S = 
 a 1
 c c 1 1
 b) Áp dụng ( ) với b – a = k
 a.b k a b
 c 1 1 c 1 1 c 1 1
 Ta cú : A = ( ) ( ) ..... ( )
 k a1 a2 k a2 a3 k an 1 an
 c 1 1 1 1 1 1
 = ( ...... )
 k a1 a2 a2 a3 an 1 an
 c 1 1
 = ( )
 k a1 an
Bài 3 : a) Tớnh tổng : 12 + 22 + 32 + . + n2
 b) Tớnh tổng : 13 + 23 + 33 + ..+ n3
 HD : a) 12 + 22 + 32 + .+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6
 b) 13 + 23 + 33 + ..+ n3 = ( n(n+1):2)2 1 1 1 1 1
 b) Chứng tỏ rằng: B 1 ... 
 22 32 32 20042 2004
Bài 8: a) Tớnh giỏ trị của biểu thức:
 2
 4 3
 81,624 : 4 4,505 125
 3 4
 A 
 2
 2 
 11 2 13
 : 0,88 3,53 (2,75)  :
 25 25
  
 b) Chứng minh rằng tổng:
 1 1 1 1 1 1 1
 S ... .... 0,2
 22 24 26 24n 2 24n 22002 22004
 Chuyờn đề 2: Bài toỏn về tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau:
 1. Kiến thức vận dụng :
 a c
 - a.d b.c 
 b d
 a c e a c e a b e
 -Nếu thỡ với gt cỏc tỉ số dều cú nghĩa
 b d f b d f b d f
 a c e
 - Cú = k Thỡ a = bk, c = d k, e = fk
 b d f
 2. Bài tập vận dụng
 Dạng 1 Vận dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng 
 thức
 a c a2 c2 a
 Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: 
 c b b2 c2 b
 a c
 HD: Từ suy ra c2 a.b
 c b
 a2 c2 a2 a.b
 khi đú 
 b2 c2 b2 a.b
 a(a b) a
 = 
 b(a b) b
Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả món b2 = ac. Chứng minh rằng:
 a (a 2012b)2
 = 
 c (b 2012c)2
 HD: Ta cú (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac
 = a( a + 2.2012.b + 20122.c)
 (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2
 = c( a + 2.2012.b + 20122.c)
 a (a 2012b)2
Suy ra : = 
 c (b 2012c)2
 a c 5a 3b 5c 3d
Bài 3: Chứng minh rằng nếu thì 
 b d 5a 3b 5c 3d
 a c
 HD : Đặt k a = kb, c = kd . 
 b d x y z
 Nếu 
 a 2b c 2a b c 4a 4b c
 a b c
 Thỡ 
 x 2y z 2x y z 4x 4y z
 3
 a b c a b c a
 b) Cho: . Chứng minh: 
 b c d b c d d
 x y z a 2b c 2a b c 4a 4b c
HD : a) Từ 
 a 2b c 2a b c 4a 4b c x y z
 a 2b c 2(2a b c) 4a 4b c a
 (1)
 x 2y z x 2y z
 2(a 2b c) (2a b c) 4a 4b c b
 (2)
 2x y z 2x y z
 4(a 2b c) 4(2a b c) 4a 4b c c
 (3)
 4x 4y z 4x 4y z
 a b c
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra : 
 x 2y z 2x y z 4x 4y z
 x y z t
Bài 8: Cho 
 y z t z t x t x y x y z
chứng minh rằng biểu thức sau cú giỏ trị nguyờn.
 x y y z z t t x
 P 
 z t t x x y y z
 x y z t y z t z t x t x y x y z
HD Từ 
 y z t z t x t x y x y z x y z t
 y z t z t x t x y x y z
 1 1 1 1
 x y z t
 x y z t z t x y t x y z x y z t
 x y z t
 Nếu x + y + z + t = 0 thỡ P = - 4
 Nếu x + y + z + t 0 thỡ x = y = z = t P = 4
 y z x z x y x y z
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khỏc 0 thỏa món điều kiện : 
 x y z
 x y z 
 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức : B = 1 1 1 
 y z x 
Bài 10 : a) Cho cỏc số a,b,c,d khỏc 0 . Tớnh
 T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011
 x2010 y2010 z2010 t2010 x2010 y2010 z2010 t2010
 Biết x,y,z,t thỏa món: 
 a2 b2 c2 d 2 a2 b2 c2 d 2
 b) Tỡm số tự nhiờn M nhỏ nhất cú 4 chữ số thỏa món điều kiện:
 M = a + b = c +d = e + f
 a 14 c 11 e 13
 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và ; ; 
 b 22 d 13 f 17 1 2y 1 4y 1 6y
Bài 5 : Tỡm x, biết rằng: 
 18 24 6x
 1 2y 1 4y 1 6y 2(1 2y) (1 4y) 1 2y 1 4y (1 6y)
 HD : Từ 
 18 24 6x 2.18 24 18 24 6x
 1 1
 Suy ra : x 1
 6 6x
 x y z
Bài 6: Tìm x, y, z biết: x y z (x, y, z 0 )
 z y 1 x z 1 x y 2
 x y z x y z 1
 HD : Từ x y z 
 z y 1 x z 1 x y 2 2(x y z) 2
 1 1 1 1
 Từ x + y + z = x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức 
 2 2 2 2
ban đầu để tỡm x.
 3x 3y 3z
Bài 7 : Tìm x, y, z biết và 2x2 2y2 z 2 1
 8 64 216
 2x 1 4y 5 2x 4y 4
Bài 8 : Tỡm x , y biết : 
 5 9 7x
 Chuyờn đề 3: Vận dụng tớnh chất phộp toỏn để tỡm x, y 
 1. Kiến thức vận dụng :
 - Tớnh chất phộp toỏn cộng, nhõn số thực
 - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế
 A, A 0
 - Tớnh chất về giỏ trị tuyệt đối : A 0 với mọi A ; A 
 A, A 0
 - Bất đẳng thức về giỏ trị tuyệt đối : 
 A B A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A B A B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0
 A m A m
 A m (m 0) ; A m (hay m A m) với m > 0
 A m A m
 - Tớnh chất lũy thừa của 1 số thực : A2n 0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A
Am = An m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn)
 0< A < B An < Bn ; 
 2. Bài tập vận dụng
 Dạng 1: Cỏc bài toỏn cơ bản
 Bài 1: Tỡm x biết
 a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013
 x 1 x 2 x 3 x 4
 b) 
 2011 2010 2009 2008
 HD : a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013