Các Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 7 THCS

 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN THCS
Chuyên đề 1: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I- ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II- TÍNH CHẤT: 
1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ 
tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với 
số mũ chẵn.
3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính 
phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).
4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính 
phương nào có dạng 3n + 2 ( n N ).
5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
A- Dạng 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:
 A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = ( x2 5xy 4y2 )(x2 5xy 6y2 ) y4 
Đặt x2 5xy 5y2 t (t Z) thì
 A = (t y2 )(t y2 ) y4 t 2 y4 y4 t 2 (x2 5xy 5y2 )2
Vì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 5xy 5y2 Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Giải : Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n Z). Ta có: 
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
 = ( n2 3n)(n2 3n 2) 1 (*)
Đặt n2 3n t (t N) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
 = (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + 1 N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.
 1 E = 11 . . .155 . . . 56
 n chữ số 1 n-1 chữ số 5 
 2 2 2
 10n 2 10n 8 2.10n 7 
Kết quả: A= ; B ; C 
 3 3 3 
 n 2
 n 2 10 2 
D = (15.10 - 3) E = 
 3 
Bài 5: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 
một số chính phương.
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n +1, n + 2 ( n N, n >2).
Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 . (n2 + 2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 không thể chia hết cho 5 
=> 5. (n2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương.
Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1
không phải là số chính phương.
n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)]
 = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
 = n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)
Với n N, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2
Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
Vậy (n - 1)2 n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương.
Bài 7: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn 
vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một 
số chính phương.
Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số 
lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng 
bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương.
Bài 8: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính 
phương.
a và b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m N).
=> a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
 = 4 (k2 + k + m2 + m) + 2
 => a2 + b2 không thể là số chính phương.
Bài 9: Chứng minh rằng nếu p là tích của n (với n > 1) số nguyên tố đầu tiên 
thì p - 1 và p + 1 không thể là các số chính phương.
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không thể chia hết cho 4 (1)
a- Giả sử p + 1 là số chính phương. Đặt p + 1 = m2 ( m N).
Vì p chẵn nên p + 1 lẻ => m2 lẻ => m lẻ.
 3 b) đặt n(n + 3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2
 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2
 (2n + 3)2 – 4a2 = 9
 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết 
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 2n + 3 + 2a = 9 n = 1
 2n + 3 – 2a = 1 a = 2
c) Đặt 13n + 3 = y2 (y N) 13(n - 1) = y2 – 16
 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)
 (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4  13 hoặc y – 4  13
 y = 13k 4 (với k N)
 13(n - 1) = (13k 4)2 – 16 = 13k.(13k 8)
 13k2 8k + 1
Vậy n = 13k2 8k + 1 (với k N) thì 13n + 3 là số chính phương
d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
 (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355
Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 
2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n có thể có các giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28
Bài tương tự :
Tìm a để các số sau là những số chính phương
 a) a2 + a + 43
 b) a2 + 81
 c) a2 + 31a + 1984
Kết quả: a) 2; 42; 13
 b) 0; 12; 40
c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728
Bài 2 : Tìm số tự nhiên n 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! +  + n! là một số chính phương.
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 33 là số chính phương
Với n 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; ; n! đều tận 
cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! +  n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số 
chính phương.
Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3
Bài 3: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương.
Giả sử 2010 + n2 là số chính phương thì 2010 + n2 = m2 (m N )
 5 Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thì
2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48)
2p. 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q N ; p + q = n và p > q
 a + 48 = 2p 2p 2q = 96 2q (2p-q – 1) = 25.3
 a – 48 = 2q
 q = 5 và p – q = 2 p = 7
 n = 5 + 7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 
C.DẠNG 3 : TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1 : Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một 
đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Gọi A = abcd k 2 . Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
B = (a 1)(b 1)(c 1)(d 1) m 2 với k, m N và 32 < k < m < 100
 a, b, c, d = 1;9
 Ta có: A = abcd k 2
 B = abcd 1111 m 2 . Đúng khi cộng không có nhớ
 m2 – k2 = 1111 (m - k)(m + k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương.
Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101
Do đó: m – k = 11 m = 56 A = 2025
 m + k = 101 n = 45 B = 3136
Bài 2: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số 
gồm 2 chữ số sau một đơn vị.
Đặt abcd k 2 ta có ab cd 1 và k N, 32 k < 100
Suy ra : 101 cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) k + 10  101 hoặc k – 10  101 
Mà (k – 10; 101) = 1 k + 10  101
Vì 32 k < 100 nên 42 k + 10 < 110 k + 10 = 101 k = 91
 abcd = 912 = 8281
Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối 
giống nhau.
Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b N, 1 a 9; 0 b 9
Ta có: n2 = aabb = 11. a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1)
Nhận xét thấy aabb  11 a + b  11
Mà 1 a 9; 0 b 9 nên 1 a + b 18 a + b = 11
Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương
Bằng phép thử với a = 1; 2;; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn b = 4
 7 Gọi số phải tìm là ab với a, b N, 1 a 9; 0 b 9
Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3
 (10a +b)2 = (a + b)3
 ab là một lập phương và a + b là một số chính phương
Đặt ab = t3 (t N), a + b = 12 (1 N)
Vì 10 ab 99 ab = 27 hoặc ab = 64
Nếu ab = 27 a + b = 9 là số chính phương
Nếu ab = 64 a + b = 10 không là số chính phương loại
Vậy số cần tìm là ab = 27
Bài 9 : Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.
Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n - 1 ; 2n + 1 ; 2n + 3 (n N)
Ta có : A = (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11
Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111 . a với a lẻ và 1 a 9
 12n(n + 1) = 11(101a – 1)
 101a – 1  3 2a – 1  3
Vì 1 a 9 nên 1 2a – 1 17 và 2a – 1 lẻ nên 2a – 1 3;9;15
 a 2;5;8
Vì a lẻ a = 5 n = 21
3 số cần tìm là: 41; 43; 45
Bài 10 : Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng 
lập phương các chữ số của số đó.
 ab (a + b) = a3 + b3
 10a + b = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab
 3a (3 + b) = (a + b) (a + b – 1)
a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó
 a + b = 3a hoặc a + b – 1 = 3a
 a + b – 1 = 3 + b a + b = 3 + b
 a = 4, b = 8 hoặc a = 3, b = 7
Vậy ab = 48 hoặc ab = 37
 9