Bồi dưỡng Toán 6 theo từng Chuyên đề

 Trường THCS Thanh Mai – Thanh Oai – Hà Nội 
 CHUYÊN ĐỀ 1: TẬP HỢP, TẬP HỢP CON- ÁP DỤNG.
 Bài toán1. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của tập hợp đó.
 a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8:x =2.
 b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x+3<5.
 c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà x-2=x+2.
 d)Tập hợp D các số tự nhiên mà x+0=x
 Bài toán 2. Cho tập hợp A = { a,b,c,d} 
 a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử.
 b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
 c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử? có bốn phần tử?
 d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con?
 Bài toán 3. Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong 
 các trường hợp sau.
 a, A={1;3;5}, B = { 1;3;7} b, A= {x,y}, B = {x,y,z}
 c, A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự 
 nhiên chẵn.
 Bài toán 4. Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu A  B ; A B . Hãy viết các 
 tập con thực sự của tập hợp B = {1;2;3}.
 Bài toán 5. Cho tập hợp A = {1;2;3;4} và B = {3;4;5}. Hãy viết các tập hợp 
 vừa là tập con của A, vừa là tập con của B.
 Bài toán 6. Chứng minh rằng nếu A  B, B  C thì A  C
 Bài toán 7. Có kết luận gì về hai tập hợp A,B nếu biết.
 a, x B thì x A b, x A thì x B ,x B thì x A.
 Bài toán 8. Cho H là tập hợp ba số lẽ đàu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu 
 tiên.
 a, Viết các phần tử thuộc K mà không thuộc H. b,CMR H  K
 c, Tập hợp M với H  M , M  K .
 - Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử? nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
 - Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thỏa mãn điều kiện trên?
 Bài toán 9. Cho a 18;12;81,b 5;9. Hãy xác định tập hợp M = {a-b}.
 Bài toán 10. Cho tập hợp A = {14;30}. Điền các ký hiệu , vào ô trống.
 a, 14 A ;b, {14} A; c, {14;30} A.
.
 - 1 - Trường THCS Thanh Mai – Thanh Oai – Hà Nội 
Bài toán 14.Tìm các chữ số a, b, c, d biết a.bcd.abc abcabc
Bài toán 15. Chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết được thành một tích của hai 
thừa số bằng nhau: 11111111 - 2222.
Bài toán 16. Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng số dư, a b. Chứng tỏ 
rằng 
 a - b : m
Bài toán 17. Chia 129 cho một số ta được số dư là 10. Chia 61 cho số đó ta 
được số dư là 10. Tim số chia.
Bài toán 18. Cho S = 7 + 10 + 13 + ... + 97 + 100
a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng?
b) Tim số hạng thứ 22
c) Tính S.
Bai toán 19. Chứng minh rằng mỗi số sau có thể viết được thành một tích của 
hai số tự nhiên liên tiếp:
a) 111222 ; b) 444222
Bài toán 20 . Tìm số chia và số bị chia, biết rằng: Thương bằng 6, số dư bằng 
49, tổng của số bị chia,số chia và dư bằng 595.
Bài toán 21. Tính bằng cách hợp lý.
 44.66 34.41 1 2 3 ... 200
a) A b) B 
 3 7 11 ... 79 6 8 10 ... 34
 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54
c) C 
 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45
Bài toán 22. Tìm kết quả của phép nhân. 
a) A 3 3...3.9 9...9 b) B 3 3...3.3 3...3
 2005c.s 2005c.s 2005c.s 2005c.s
Bài toán 23.Tìm giá trị nhỏ nhất của b. thức A = 2009 - 1005:(999 - x)với x 
 N 
 CHUYÊN ĐỀ 3. LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TRÊN TỰ NHIÊN
A. Kiến thức cơ bản: + an a.a...a ( n thừa số a, n o )
+ Quy ước: a1 = a, a0 = 1.
+ am.an = am+n (m, n N*); am:an =am-n (m, n N*, m n, a 0); 
- Nâng cao: + Luỹ thừa của một tích: (a.b)n = am.bn 
+ Luỹ thừa của luỹ thừa: (am)n = am.n
 n n
+ Luỹ thừa tầng: am = a(m )
( trong một luỹ thừa tầng ta thực hiện phép luỹ thừa từ trên xuống dưới ).
+ Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên.
- So sánh hai luỹ thừa: + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số ( lớn hơn 1 ) thì luỹ 
thừa nào có số mũ lơn hơn sẽ lớn hơn. 
 - 3 - Trường THCS Thanh Mai – Thanh Oai – Hà Nội 
Bài toán 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +...+2200. Hãy viết A + 1 dưới dạng 
một luỹ thừa.
Bài toán 11. Cho B = 3 + +32 +33 +...+ 32005. CMR 2B + 3 là luỹ thừa của 3.
Bài toán 9. Chứng minh rằng:
a) 55-54+53  7 b) 76 75 74 11 c) 109 108 107 222
d) 106 57 59 e) 3n 22n 2 3n 2n 10n N * f) 817 279 913 45
Bài toán 12: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2+22; 2+22+23 ; 2+22+23 +24
b) Chứng minh rằng: A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+22004 chia hết cho 3;7 và 15
Bài toán 13: a) Viết tổng sau thành một tích 34 +325 +36+ 37
b) Chứng minh rằng: + B = 1 + 3 + +32 +32 +...+ 399  40
+ A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100  31
+ C = 165 + 215 33 + D = 53! - 51! 29
Bài toán 14: Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý: 
a) (217+172).(915 - 159)(42- 24) b) (71997- 71995):(71994.7)
c) (12 23 34 45 ).(13 23 33 43 ).(38 812 ) d) (28 83 ) : (25.23 )
Các bài toán về chữ số tận cùng: 
* Tóm tắt lý thuyết: 
- Tìm chữ số tận cùng của một tích: +Tích của các số lẽ là một số lẽ
 + Tích của một số chẵn với một số bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số 
chẵn.
- Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì (khác 
0) vẫn giữ nguyên các chữ số tận cùng của nó.
+ Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 2,4,8 nâng lê luỹ thừa 4n (n 0) 
đều có tận cùng bằng 6.
...24n = ...6 ; ...44n = ...6 ; ...84n = ...6
+ Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 3,7,9 nâng lê luỹ thừa 4n (n 0) 
đều có tận cùng bằng 1.
...34n = ...1 ; ...74n = ...1 ;...94n = ...1
- Một số chính phương thì không có tận cùng bằng 2,3,7,8.
* Bài tập áp dụng: 
Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
 73
22003;499 ;999 ;399 ;799 ;899 ;7895 ;8732 ;5833
Bài toán 2: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10.
481n + 19991999 ; 162001 - 82000 ; 192005 + 112004 ; 175 + 244 - 1321
Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng: 5 + 52 + 53 +...+ 596
 1 2006 94
 .(72004 392 )
Bài toán 4: Chứng minh rằng A = 10 là một số tự nhiên.
Bài toán 5: Cho S = 1 + 3 +32 +33 +...+ 330 . Tìm chữ số tận cùng của S. CMR: 
S không là số chính phương.
 - 5 - Trường THCS Thanh Mai – Thanh Oai – Hà Nội 
Bài toán 3. Cho n N. CMR 5n – 1  4 
Bài toán 4: Chứng minh rằng: a) ab ba11 b) ab ba9 với a>b.
Bài toán 5: Chứng minh rằng: 
a) A =1 + 2 + 22 + 23 + 24 +...+239 là bội của 15 T = 1257 -259 là bội của 124
c) M = 7 72 73 74 ... 72000 8 d) P = a a2 a3 ... a2n a 1 với a,n N
Bài toán 6: CMR tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự 
nhiên liên tiếp chia hết cho 5.
Bài toán 7: CMR: + Tổng của 3 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6
 + Tổng 3 số lẽ liên tiếp không chia hết cho 6.
 + Tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng 5 số lẽ 
liên tiếp thì chia 10 dư 5
Bài toán 8: Cho a,b N và a - b  7 . CMR 4a +3b  7.
Bài toán 9: Tìm n N để.
a) n + 6  n ; 4n + 5  n ; 38 - 3n  n
b) n + 5  n + 1 ; 3n + 4  n - 1 ; 2n + 1  16 - 3n
Bài toán 10. Chứng minh rằng: (5n)100  125 
Bài toán 11. Cho A = 2 + 22 + 23 +... + 22004 . 
CMR A chia hết cho 7;15;3
Bài toán 12. Cho S = 3 +32 +33 +...+ 31998 . CMR 
 a) S  12 ; b) S  39
Bài toán 13. Cho B = 3 +32 +33 +...+ 31000; CMR B  120
Bài toán 14. Chứng minh rằng: 
a) 3636 - 91045 ; b) 810 - 89 - 88  55 ; c) 55 - 54 + 53  7
d) 76 75 74 11 e) 109 108 107 222
g) 106 57 59 h) 3n 22n 2 3n 2n 10n N * i) 817 279 913 45
Bài toán 15. Tìm n N để :
a) 3n + 2  n - 1 b) n2 + 2n + 7  n + 2 c) n2 + 1  n - 1 
d) n + 8  n + 3 e) n + 6  n - 1 g) 4n - 5  2n - 1
Bài toán 16. CMR: 
a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
c) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.
d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120.
(Chú ý: Bài toán trên được sử dụng trong CM chia hết, không cần CM lại)
Bài toán 17. cho 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 5, khi chia cho 5 được 
những số dư khác nhau. CMR tổng của chúng chia hết cho 5. 
Bài toán 18. Cho số abc không chia hết cho 3. Phải viết số này liên tiếp nhau ít nhất 
mấy lần để dược một số chia hết cho 3.
Bài toán 19: Cho n N, Cmr n2 + n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 
5.
Bài toán 20. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ 
số của nó.
Bài toán 21. Cmr a)n N thì A 2n 1 1...13
 n.c/s1
 - 7 - Trường THCS Thanh Mai – Thanh Oai – Hà Nội 
2 2.3 2. 32 2.33 2 6 18 54
Bài 5. Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?
a) 1.3.5.713 + 20
b) 147.247.347 – 13
Bài6.Tìm số nguyên tố p sao cho
a) 4p + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
b) P + 2; p + 4 đều là số nguyên tố.
c) P + 10; p +14 đều là số nguyên tố.
 *
Bài 7. Cho n N ; Chứng minh rằng: A 111...12111...1 là hợp số.
 nc/s1 nc/s1
Bài 8. + Cho n là một số không chia hết cho 3. CMR n2 chia 3 dư 1.
 + Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số?
Bài 9. Cho n N, n> 2 và n không chia hết cho 3. CMR n2 – 1 và n2 + 1 không thể 
đồng thời là số nguyên tố.
Bài 10. Cho p là số nguyên tố và một trong hai số 8p + 1 và 8p – 1 là số nguyên tố, 
số còn lại là số nguyên tố hay hợp số?
Bài 11. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24.
Bài 12. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố (p > 3). CMR: 4p + 1 là hợp số. 
 CHUYÊN ĐỀ: ƯỚC CHUNG – ƯCLN – BỘI CHUNG – BCNH
A. Kiến thức bổ sung.
 1. ƯC - ƯCLN
 + Nếu a b thì (a,b) = b.
 + a và b nguyên tố cùng nhau (a,b) = 1
 + Muốn tìm ước chung của các số đã cho ta tìm các ước của ƯCLN của các số 
 đó.
 + Cho ba số a,b,c nguyên tố với nhau từng đôi một nếu (a,b) = 1; (b,c) = 1; (a,c) = 
 1
 • Tính chất chhia hết liên quan đến ƯCLN
 - Cho (a,b) = d . Nếu chia a và b cho p thì thương của chúng là những số 
 nguyên tố cùng nhau.
 - Cho a.b  mà (a,m) = 1 thì b m
 2 . BC – BCNN
 + Nếu số lớn nhất trong một nhóm chia hết cho các số còn lại thì số này là BCNN 
 của nhóm đó.
 + Nếu các số nguyên tố với nhau từng đôi một thì BCNN của chúng là tích của 
 các số đó.
 + Muốn tìm BC của các số đã cho, ta tìm bội của BCNN của các số đó.
 • Nâng cao. 
 - Tích của hai số bằng tích của ƯCLN và BCNN của chúng.
 a.b = ƯCLN(a,b) . BCNN(a,b)
 - 9 -