Bộ Chuyên đề Số phức – Toán học Lớp 12

 Chuyên Đề Số Phức 
 CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN 
Phương pháp 
Cho hai số phức z a bi,z' a' b'i, a,b,a',b' ta cần nhớ các định nghĩa và phép tính cơ bản 
sau: 
 a a'
z z' .
 b b'
z z' a a' b b'i; z z' aa' b b'i. 
z.z' a bi a' b'i aa' bb' ab' a'bi. 
z' z'.z a' b'i a bi aa' bb' ab' a'bi 
 .
 2
 z z a2 b 2 a 2 b 2
Vận dụng các tính tính chất trên ta có thể dễ dàng giải các bài toán sau. 
Ta cũng cần chú ý kết quả sau: Với in , n thì 
 k
 . Nếu n 4k k thì in i 4k i 4 1 
 . Nếu n 4k 1 k thì in i 4k i 1.i i 
 . Nếu n 4k 2 k thì in i 4k i 2 1. 1 1 
 . Nếu n 4k 3 k thì in i 4k i 3 1. i i 
I. CÁC VÍ DỤ MẪU 
 31
Ví dụ 1. Cho số phức: zi . Tính các số phức sau: z; z2 ; (z) 3 ;1 z z 2 . 
 22
 Giải 
Ta có 
 31
 . zi 
 22
 2
 3 1 3 3 1 1 3
 . z2 i i i 
 2 2 4 2 4 2 2
 . Tính (z)3 
 3 3 2 23
 3 3 1 3 3 1 3 1 1 
 z i 3. .i3..i i
 2 2 2 2 2 2 2 2 
 3 3 9 3 3 1
 i i i
 8 8 8 8
 3 1 1 3 3 3 1 3
 . 1 z z2 1 i i i 
 2 2 2 2 2 2
Dùng MTCT như sau: 
 Bước 1: Chọn chương trình số Màn hình hiền thị 
 MODE 2
 phức: 
 Page 3 
 Chuyên Đề Số Phức 
 3
c) Ta có: z 2 i 8 3.4.i 3.2.i23 i 8 12i 6 i 2 11i 
Vậy phần thực a2 ; phần ảo b 11. 
Dùng MTCT: 
 2i2i i 1 2 2i
d) Ta có: z 1 i 
 i 1i122 2
Vậy phần thực a1 ; phần ảo b 1. 
Dùng MTCT: 
Ví dụ 3. Thực hiện các phép tính sau: 
 1 5 6i 1
a) A ; b) B ; c) C 
 1 i 4 3i 4 3i 13
 i
 22
 2026
 3 2i 1 7i
d) D ; e) 
 i 4 3i
 Giải 
 1 1 1 7 i 7 1
a) Ta có: Ai 
 1 i 4 3i 4 3i 4i 3i27 i 7 2 i 2 50 50
Dùng MTCT: 
 5 6i 5 6i 4 3i 2 39i 2 39
b) Ta có: B i. 
 2
 4 3i42 3i 25 25 25
Dùng MTCT: 
 Page 5 
 Chuyên Đề Số Phức 
 23
 23 3.2i 2 3.2i 2 i 3 1 3.2i 3.2i 2i 6 3i 2i i 2
 8 12i 6 i 1 6i 12 8i 6 5i 1 8 18i.
Dùng MTCT: 
 1 i 3 i 1 2i
b) z 
 1 i 2 i 1 i
 2
 1i 2i2i 11i1i 
 1i1i 2i2i 1i1i 
 12ii 2 6ii 2 1i2i 2 2i7i3i 1 7
 i.
 11 41 11 2 5 2 1010
Dùng MTCT: 
 2 2
 2 i 1 i 4 i 4i 1 i 
c) z 
 2 1 i 3 1 i 1 5i
 34i1i 3 4i2 7i 17i15i 
 1 5i 1 5i 1 5i 1 5i
 1 35i2 12i 34 12i 17 6
 i.
 1 25 26 13 13
Dùng MTCT: 
 3
 5 3 
 2 i 2i 2 2 i 1 2i 2
d) z 2 i 4 i 4i . 
 3 
 1 2i 1 2i 1 2i 1 2i 
 3
 5i 3
 34i i34i i34i 43i 
 14 
Dùng MTCT: 
 66 2
 1 i 1 i 1 1 i
e) z . 1 i 
 55 
 2 2i 25 1 i 32 1 i
 Page 7 
 Chuyên Đề Số Phức 
 1 1 762i 762i762
 i. 
z2 121 121 121
 7 6 2i 72 6 2 
Dùng MTCT: 
Lời bình: Nếu đề bài cho trắc nghiệm thì đối với câu này có thể dò kết quả từ đáp án trắc nghiệm 
 62
giữa hai con số 0,070126 . 
 121
 2 1z
Nhận xét: Quá trình thực hiện trên, thực ra ta đang dùng công thức sau: z.z z 
 2
 z z
Ví dụ 6. Cho z 2a 1 3b 5i,  a,b . Tìm các số a,b để 
a) z là số thực b) là số ảo. 
 Giải 
 5
a) z là số thực 3b 5 0 b 
 3
 1
b) là số ảo 2a 1 0 a .
 2 
Ví dụ 7. Tìm mR để: 
 2
a) Số phức z 1 1 mi 1 mi là số thuần ảo. 
 m 1 2 m 1 i
b) Số phức z là số thực. 
 1 mi
Định hướng: Ta cần biến đổi số phức về dạng z a bi, a,b . 
Lúc đó: là số thuần ảo (ảo) khi a0 và là số thực khi b0 
 Giải 
a) Ta có: 
 2
z 1 1mi 1mi 11mi12miim 2 2 3m 2 3mi. 
z là số thuần ảo 3 m2 0 m 3. 
b) Ta có: 
 m 1 2 m 1 i m 1 2 m 1 i 1 mi 
z 
 1 mi 1 mi 1 mi 
 m1m2m2 mm1 2m2i 
 . 
 1m 2
z là số thực mm1 2m20 m2  m20 m1m 2. 
Ví dụ 8. Tìm các số thực x, y sao cho z z' , với từng trường hợp 
 Page 9 
 Chuyên Đề Số Phức 
Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh.
Ví dụ 10. a) Tính mô-đun của số phức z biết z 3i 2 i 2i3 . 
 3
 1 3i 
b) Cho số phức thỏa mãn z . Tìm môđun của số phức z iz . 
 1i 
 Giải 
a) Ta có z 3i 2 i 2i32 6i 3i 2i 3 4i . 
Vậy mô-đun của z là z 322 4 5 . 
Dùng MTCT: 
b) Ta có: 
 z 3 2 3
 1 3i 132 3.1 . 3i 3.1. 3i 3i 1 3 3i 9 3 3i 8
Do đó: 
 3
 1 3i 8
z 4 4i
 1 i 1 i 
Suy ra: 
 22
z iz 4 4i i 4 4i 8 8i z iz 8 8 8 2. 
Dùng MTCT: 
 3
 1 3i 
 Bước 1: Tính A 
 1i 
 Bước 2: Tính A iA 
 im 1
Ví dụ 11. Xét số phức: z . Tìm m để z.z 
 1 m m 2i 2
 Giải 
Ta có: 
 2
 im m i 1 m 2mi 
 z 
 2 2
 1 m 2mi 1 m22 4m
 Chuyên Đề Số Phức 
Ví dụ 14. Cho số phức z cos2 sin cos i, với số thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất 
của z . 
 Giải 
Ta có: 
 2
 z cos22 2 sin cos cos 2 sin2 1
 sin2 2 sin2 2
 2
Đặt t sin2 , 1 t 1. Xét hàm số f t t t 2, t 1;1 
 1 19
Ta có: f't 2t1 f't 0 t . Ta có: f 1 0, f 1 2 , f 
 2 24
Suy ra: 
 k 
 9 11 
. maxf t khi t sin2 12 , k 
 4 227 
 k 
 12
. minf t 0 khi t 1 sin2 1 k k 
 4
 3
Vậy max z , min z 0 
 2
Ví dụ 15. (Đề Minh họa của bộ). Cho số phức z = 3 – 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z 
 A. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2i. B. Phần thực bằng –3 và Phần ảo bằng –2. 
 C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i. D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2. 
 Hướng dẫn giải 
Ta có: zi 32 phần thực là 3 và phần ảo là 2. 
Ví dụ 16. (Đề Minh Họa của Bộ). Cho hai số phức zi1 1 và zi2 23 . Tính môđun của số 
phức zz12 . 
 A. zz12 13 . B. zz12 5 . C. zz12 1 .D. zz12 5 . 
 Hướng dẫn giải 
 22
Ta có: z1 z 2 3 2 i z 1 z 2 3 2 13 
Vậy chọn đáp án A 
Dùng MTCT: 
Ví dụ 17. (Đề minh họa của bộ). Cho số phức zi 2 5 . Tìm số phức w iz z 
 A. wi 7 3 . B. wi 3 3 . C. wi 3 7 . D. wi 77 
 Hướng dẫn giải 
Ta có: z 25 iz 25 iwizzii (25)25 i 33. i