Bộ 19 Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 7 - Chuyên đề 9: Phương trình nghiệm nguyên

 ĐS7. CHUYÊN ĐỀ 9-PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
* Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng chú ý một số tính chất sau:
1. Định nghĩa phép chia hết:
 a,b ¢ (b 0 )  q,r ¢ sao cho a bq r với 0 r b
 Nếu r 0 ab
 Nếu r 0 a  b
2. Một số tính chất: a,b,c,d ¢
 Nếu a 0 thì aa và 0a
 Nếu ab và bc ac
 Nếu ab và ba a b
 Nếu ab và ac a BCNN b,c
 Nếu ab , ac và b,c 1 a b.c 
 Nếu ab ac  b ( c ¢ )
3. Một số định lí thường dùng.
 Nếu ac và bc (a b)c
 Nếu ac và bd abcd
 Nếu ab an bn ( n nguyên dương)
- Một số hệ quả áp dụng:
 +  a,b ¢ và n nguyên dương ta có an bn  a – b 
 + a,b ¢ và n chẵn ( n nguyên dương) ta có an bn  a + b 
 + a,b ¢ và n lẻ ( n nguyên dương) ta có an bn  a +b 
4. Các dấu hiệu chia hết cho 2,3,5,8,9,11....
5. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
6. Phương trình được đưa về dạng f x .g x k với f x và g x là các đa thức hệ số nguyên. Ta 
phân tích k ra thừa số nguyên tố rồi giải các hệ phương trình.
 f (x) m
 với m.n k.
 g(x) n
7. Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương 
 Số chính phương không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 . 
 Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2 . 
 Số chính phương khi chia cho 3 , cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. 
 Số chính phương chia cho5 , cho 8 thì số dư chỉ có thể là 0; 1hoặc 4 . 1 – 2y 1 -1
 x 1 0
 y 0 -1
 Vậy x; y 1;0 ; 0; 1 
Bài 3. Tìm x, y nguyên biết: xy 3x – y 6 
 Lời giải
 Ta có: 
 xy 3x – y 6 x y 3 – y 3 6 – 3 
 x – 1 y 3 3 1.3 3.1 – 1 – 3 – 3 – 1 
 Vì x, y ¢ là các số nguyên nên 2x 1,1 2y Z . Do đó từ (*) ta có bảng sau: 
 x – 1 1 3 – 1 – 3
 y + 3 3 1 – 3 – 1
 x 2 4 0 – 2
 y 0 – 2 – 6 – 4
 Vậy: x; y 2; 0 , 4; – 2 , 0; 6 , – 2; – 4 
Bài 4. Tìm x, y nguyên biết: 
2xy x y 2
 Lời giải
 Ta có: 
 2xy x y 2 
 4xy 2x 2y 4
 2x 2y 1 2y 1 5
 2y 1 2x 1 5
 Xét 4 trường hợp tìm ra x, y 1;3 ; 3;1 ; 2;0 0; 2 
 Vậy x, y 1;3 ; 3;1 ; 2;0 0; 2 
Bài 5. Tìm các số nguyên x, y biết: xy 2x 3y 21 
 Lời giải
 Ta có :
 xy 2x 3y 21
 x y 2 3 y 2 15
 (x 3). y 2 15
 Vì x,y nguyên dương nên x 3 nguyên dương và x 3 4
 Vì x 3 . y 2 15
 x 3 5;15 x 2;12 y 2 3;1 y 5;3
 Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là x ; y 2 ;5 ; 12;3 
Bài 6. Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho x xy y 0
 Lời giải
Ta có:
 x xy y 0 Vậy x, y 2; 11 ; 0;9 ; 3; 6 ; 1;4 ; 6; 3 ; 4;1 ; 11; 2 ; 9;0 
Bài 10. Tìm x, y nguyên biết: xy 3x y 6
 Lời giải
 Ta có: xy 3x y 6 x(y 3) (y 3) 6 3
 (x 1)(y 3) 3 1.3 3.1 ( 1).( 3) ( 3).( 1)
 Vì x, y Z là các số nguyên nên x 1, y 3 Z . Ta có bảng sau:
 x 1 1 3 1 3
 y 3 3 1 3 1
 x 2 4 0 2
 y 0 2 6 4
 Vậy x, y 2;0 ; 4; 2 ; 0;6 ; 2; 4 
Bài 11. Tìm x, y ¢ biết: xy 2x y 7
 Lời giải
 Ta có: 
 xy 2x y 7 x(y 2) (y 2) 5 . 
 (x 1)(y 2) 5 5.1 1.5 ( 1).( 5) ( 5).( 1) . Vì x, y Z là các số nguyên nên 
 x 1, y 2 Z nên ta có bảng sau
 y 2 5 1 -1 -5
 x 1 1 5 -5 -1
 x 2 6 -4 0
 y 3 -1 -3 -7
 Vậy x, y 2;3 ; 6; 1 ; 4; 3 ; 0; 7 
Bài 12. Tìm x, y nguyên biết 2xy x y 2
 Lời giải
2xy x y 2 4xy 2x 2y 4
 2x 2y 1 2y 1 5
 2y 1 2x 1 5. Vì x, y Z là các số nguyên nên xét 4 trường hợp tìm ra 
 x, y 1;3 ; 3;1 2;0 ; 0; 2 
 Vậy x, y 1;3 ; 3;1 2;0 ; 0; 2 
Bài 13. Tìm các số nguyên x,y biết: x – 2xy y – 3 0.
 Lời giải
 Ta có:
 x – 2xy y – 3 0. 
 2x – 4xy 2y – 6 0 2x – 4xy 2y – 1 5 
 1 2y 1 x 1
 Hoặc 
 2x 1 1 y 1
 Vậy x, y 1;1 
Bài 17. Tìm x, y ¢ biết: x y 2xy 83
 Lời giải
 2x 1 2y 1 167
 x, y 0; 83 ; 1; 84 ; 83; 0 ; 84; 1  
Bài 18. Tìm các giá trị nguyên của x và y biết:: x2 – y2 5 
 Lời giải
 Ta có: x2 – y2 x y x y 5 
 Vì x, y ¢ là các số nguyên nên 2x 1,1 2y Z nên ta có bảng sau
 x + y 5 -5 1 -1
 x - y 1 -1 5 -5
 x 3 -3 3 -3
 y 2 -2 -2 2
 Vậy x, y 3; 2 ; 3; 2 ; 3; -2 ; 3; 2  
Bài 19. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y z xyz
 Lời giải
 Vì x, y, z nguyên dương nên ta giả sử 1 x y z
 1 1 1 1 1 1 3
 Theo bài ra 1 x2 3 x 1
 yz yx zx x2 x2 x2 x2
 Thay vào đầu bài ta có: 1 y z yz y yz 1 z 0
 y 1 z 1 z 2 0
 (y 1) z 1 2
 Th1: y 1 1 y 2 và z 1 2 z 3
 Th1: y 1 2 y 3và z 1 1 z 2 z 1 1 z 2
Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn 1;2;3 ; 1;3;2 
Bài 20. Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2014x 2015y 2016 0
 Lời giải
 x2 xy 2014x 2015y 2016 0
 x2 xy x 2015x 2015y 2015 1
 x(x y 1) 2015(x y 1) 1
 x y 1 1 x y 1 1
 (x y 1)(x 2015) 1 hoặc 
 x 2015 1 x 2015 1
 x y 1 1 x 2016
 TH 1: x 2015 1 y 2016
 x y 1 1 x 2014
 TH2: 
 x 2015 1 y 2016
 Vậy x, y 2016; 2016 hoặc x, y 2014; 2016 . Do x, y nguyên nên x 1 ; 2y2 y x là các số nguyên và là ước của 1 nên ta có các trường hợp 
sau:
 x 1 1 x 2 x 2
 Trường hợp 1: 2 2 
 2y y x 1 2y y 1 y 2y 1 1
 Với y 2y 1 1 ta được y 1
 x 1 1 x 0 x 0
 Trường hợp 2: 2 2 
 2y y x 1 2y y 1 y 2y 1 1
 Với y 2y 1 1 ta được y 1
 Vậy các cặp số x; y thỏa mãn là 2;1 ; 0;1 
Bài 24: Tìm nghiệm nguyên của phương trình. 2x2 3xy 2y2 7
 Lời giải
 2x2 3xy 2y2 7 2x2 4xy xy 2y2 7
 2x x 2y y x 2y 7 2x y x 2y 7
 Do x,y Z nên 2x y , x 2y cũng là các số nguyên và là ước của 7 mà Ư(7)= 1; 7
 nên ta có các trường hợp sau:
 2x y 1 1 
 Trường hợp 1: 
 x 2y 7 2 
 Từ (1) y 2x 1
 Thay y 2x 1 vào (2) x 2 2x 1 7 x 4x 2 7 5x 9 x 1,8(loại)
 Với x 1 y 1 2.1 3 ta có:Với y 2y 1 1 ta được y 1
 2x y 1 3 
 Trường hợp 2: 
 x 2y 7 4 
 Từ (3) y 2x 1
 Thay y 2x 1vào(4) x 2 2x 1 7 x 4x 2 7 5x 9 x 1,8(loại)
 2x y 7 5 
 Trường hợp 3: 
 x 2y 1 6 
 Từ (5) y 2x 7
 Thay y 2x 7 vào(4) x 2 2x 7 1 x 4x 14 1 5x 15 x 3 (t/m)
 Với x 3 y 2.3 7 1 
 2x y 7 7 
 Trường hợp 4: 
 x 2y 1 8 
 Từ (7) y 2x 7
 Thay y 2x 7 vào(8) x 2 2x 7 1 x 4x 14 1 5x 15 x 3 (t/m)
 Với x 3 y 2. 3 7 1 
 Vậy các cặp số x; y thỏa mãn là 3; 1 ; 3;1 
Bài 25. Tìm nghiệm nguyên của phương trình. 3x2 xy 2y2 2
 Lời giải
 3x2 xy 2y2 2 3x2 3xy 2xy 2y2 2
 3x x y 2y x y 2 3x 2y x y 2 1 1 1
Bài 32. Tìm các số nguyên x, y, biết: . 
 x y 3
 HD: 3 x y xy x y 3 3y 0
Bài 33. Tìm các số nguyên x, y, biết: x2 3xy 2y2 3
 HD: x2 3xy 2y2 3 x y x 2y 3
Dạng 2: Sử dụng tính chất a a 1 k 2
I. Phương pháp giải.
 2 a 0
1. Sử dụng tính chất a a 1 k 
 a 1 0
II. Bài toán.
Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 3y2 4x 19
 Lời giải
 Ta có: pt x x 1 y2
 x 0
 Vì x và x 1 là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương => 
 x 1 0
 Nếu x 0, suy ra: x y 0
 Nếu x 1 0 x 1, suy ra: y 0
 Vậy nghiệm của phương trình là: 0;0 , 1;0 
Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 2y2 5
 Lời giải
 Ta có: pt x y 2 x2 y2 xy xy xy 1 (1)
 xy 0
 Vì xy và xy 1 là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương => 
 xy 1 0
 Nếu xy 0 , từ (1) suy ra: x y 0
 Nếu xy 1 0 xy 1, từ (1) suy ra: x y 0
 Vậy nghiệm của phương trình là: 0;0 
Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên: 9x 5 y y 1 
 Lời giải
 Ta có: pt x2 x y2 2y 1 y 1 2 x x 1 (1)
 x 0
 Vì x và x 1 là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương => 
 x 1 0
 Nếu x 0, từ (1) suy ra: y 1
 Nếu x 1 0 x 1, từ (1) suy ra: y 1
 Vậy nghiệm của phương trình là: 0;1 ,(1;1)
Bài 4. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 4x 19 3y2
 Lời giải
 Ta có: pt x y 2 x2 y2 xy xy xy 1 (1)
 xy 0
 Vì xy và xy 1 là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương => 
 xy 1 0
 Nếu xy 0 , từ (1) suy ra: x y 0