Bộ 19 Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 7 - Chuyên đề 4: Bất đẳng thức, cực trị

 Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA
I-BĐT VÀ CỰ TRỊ ĐẠI SỐ.
Phương pháp: 
 So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu 
muốn chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, và ngược lại 
 1 1 1 1
 A ... 1
Bài 1: Chứng minh rằng: 22 32 42 1002
 Lời giải
 Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau:
 1 1 1 1 1
 A ... 
 2.2 3.3 4.4 99.99 100.100
 Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn.
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A ... ... 
 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 
 1 1
 A 1
 1 100
 1 1 1 1 1 1
 ... 
Bài 2: Chứng minh rằng: 6 52 62 72 1002 4
 Lời giải
 Ở bài toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ nhất ta cần chứng minh:
 1 1 1 1 1 1
 A ... A 
 52 62 72 992 1002 và Chứng minh 6
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A ... ... 
 Ta có: 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101
 1 1 96 96 1
 A 
 5 101 505 đến đây, ta sẽ so sánh 505 với 6 như sau:
 96 96 1 1
 Ta có: 505 576 6 bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số 6 với 96 để được hai phân 
 96 96 1
 A 
 số cùng tử rồi so sánh khi đó ta có: 505 567 6 (1)
 1 1 1 1 1 1
 A ... 
 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: 52 62 72 992 1002 4
 Ta làm tương tự như sau :
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A ... ... 
 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100 
 1 1 1
 A 
 4 100 4 (2)
 1 1
 A 
 Từ (1) và (2) ta có : 6 4
 1 1 1 1 3
 ... 
Bài 3: Chứng minh rằng: 22 32 42 1002 4
 Lời giải Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A 2 1 2 3 ... 2 1 1 
 2 2 2 n 4 n 2 4n 2
 1 1 1 1 1
 A ... 
Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n > 2 thì 12 22 32 42 n2 không là số tự 
nhiên
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1
 A ... 1 ... 2
 Ta có : 12 22 32 42 n2 1.2 2.3 n 1 n 
 Mặt khác ta thấy A 1
 Vậy ta có : 1 A 2
 1 1 1 1 1
 A ... 
 Vậy với số tự nhiên n > 2 thì 12 22 32 42 n2 không là số tự nhiên
 1 1 1 1 2004
 A ... 
Bài 11: Chứng minh rằng: 22 32 42 20052 2005
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2004
 A ... ... 1 
 Ta có 22 32 42 20052 1.2 2.3 3.4 2004.2005 2005 2005
 1 1 2 3 2016 1
 ... 
Bài 12: Chứng minh rằng: 4 5 52 53 52016 3
 Lời giải
 1 1 1 2016
 4A 1 2 ... 2005 2016
 5 5 5 5 , Đặt tổng trong ngoặc bằng B rồi tính B ta có :
 1 1 1
 4B 1 B 
 52015 4 4.52015 , thay vào A ta được :
 1 1 2016 5 5 5 1
 4A 1 A 
 4 52015 52016 4 16 15 3 (1)
 1 2 2016 1 2 7 7 1
 A ... 
 Mặt khác : 5 52 52016 5 25 25 28 4 (2)
 1 1 2 3 2016 1
 ... 
 Từ (1) và (2) ta được 4 5 52 53 52016 3
 1 2 3 4 99 100 3
 A ... 
Bài 13: Chứng minh rằng: 3 32 33 34 399 3100 16
 Lời giải
 1 1 1 1 100
 4A (1 .... ) 
 Tính tổng A , ta được : 3 32 33 399 3100 , 
 3 1 3 1 100 3 3
 B 4A A 
 Đặt tổng trong ngoặc bằng 4 4.399 4 399.4 3100 4 16
 3 5 7 19
 A ... 1
Bài 14: Chứng minh rằng: 12.22 22.32 32.42 92.102
 Lời giải
 22 12 32 22 102 92 1 1 1 1 1 1 
 A 2 2 2 2 ... 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 
 Ta có : 1 .2 2 .3 9 .10 1 2 2 3 9 10 
 1
 A 1 1
 102 1 1 1 1 1
 ... 0,2
Bài 22: Chứng minh rằng: 22 24 26 22002 22004
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A ... A A 
 Ta có: 4 24 26 28 22004 22006 4 22 22006 4
 5A 1 1
 A 0, 2
 4 4 5
 1 1 1 1 4
 A ... A 
Bài 23: Chứng minh rằng: 32 42 502 thì 4 9
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 48 48 1
 A ... ... 
 Ta có : 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 50.51 3 51 153 192 4
 Mặt khác : 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 191 200 4
 A ... ... 
 3.3 4.4 5.5 50.50 9 3.4 4.5 49.50 9 3 50 450 450 9
 1 4
 A 
 Vậy 4 9
 1 1 1 7 5
 A ... A 
Bài 24: Cho 1.2 3.4 99.100 . Chứng minh rằng: 12 6
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A ... A ... ... 
 Chứng minh rằng: 51 52 100 51 52 75 76 77 100 
 1 1 1 1 7
 A .25 .25 
 TH1: 75 100 3 4 12
 1 1 1 1 5
 A .25 .25 
 TH2: 50 75 2 3 6
 1 1 1
 A ... 
Bài 25: Cho 12 22 502 . Chứng minh rằng: A < 2
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A ... 1 ... 2 2
 Ta có: 1 2.2 3.3 50.50 1.2 2.3 3.4 49.50 50
Bài 26: Chứng minh rằng:
 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 99 100 3
 ... 
 a, 2 4 8 16 32 64 3 b, 3 32 33 34 399 3100 16
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A 2A 1 
 a, Ta có: 2 4 8 16 32 64 2 4 8 16 32
 1 1
 2A A 3A 1 1 A 
 Nên 64 3
 1 1 1 1 1 100
 3A A 4A 1 ... 
 b, Ta có: 3 32 33 34 399 3100
 1 1 1 1 1 3 1
 B 1 ... B 
 Đặt 3 32 33 34 399 4 3.399 , Thay vào A ta được:
 3 1 100 3 3
 4A A 
 4 399.4 3100 4 16 1 1 1 1
 1 ... 100
Bài 32: Chứng minh rằng: 2 3 4 2500 
 Lời giải
 1 2 2
 2 n n 1 , n 1 
 Xét số hạng tổng quát: n n n n n 1 
 1 1 1
 1 .... 2 n n 1 ... 2 1 1 0 
 Do đó: 2 3 n 
 1 1 1
 A 1 ... 2. 2500 100
 Với n = 2500 , ta có: 2 3 2500 
 1 1 1 1 1
 A ... 
Bài 33: Chứng minh rằng: 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 4
 Lời giải
 1 1 1 1 1
 2A A 
 1.2 19.20 4 19.40 4
 36 36 36 36
 D ... 3
Bài 34: Chứng minh rằng: 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29
 Lời giải
 4 4 4 4 1 1 1
 D 9 ... 9 3 3
 1.3.5 3.5.7 5.7.9 25.27.29 1.3 27.29 3.29
 Dạng 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN
Phương pháp:
 Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp 6 -7 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm 
đầu cuối và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi so sánh bình thường
 1 1 1 1 1 1 1 1
Bài 1: Chứng minh rằng: 4 16 36 64 100 144 196 2 
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 ... 
Ta có 4 16 36 64 100 144 196 22 42 62 142 2 
 1 1 1 1 1 1 1 1
Bài 2: Chứng minh rằng: 5 13 25 41 61 85 113 2 
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 Ta có 5 13 25 41 61 85 113 5 12 12 12 60 60 60 5 4 20 2 
 11 1 1 1 1 1 3
 ... 
Bài 3: Chứng minh rằng: 15 21 22 23 59 60 2 
 Lời giải