Bộ 19 Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 7 - Chuyên đề 3: Tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau

 ĐS7. CHUYÊN ĐỀ 3 – TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
A. Tỉ lệ thức
 a c
1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số a,b,c,d Q;b 0,d 0 
 b d
Trong đó: Các số hạng a và d được gọi là các ngoại tỉ, các số hạng b và c được gọi là trung tỉ
2. Tính chất: 
a) Tính chất 1: (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
 a c
Nếu thì ad bc 
 b d
 a c a b d c d b
b) Tính chất 2: Nếu ad bc và a,b,c,d 0 thì ta có: ; ; ; 
 b d c d b a c a
Như vậy trong tỉ lệ thức, ta có thể hoán vị các trung tỉ với nhau, hoán vị các ngoại tỉ với nhau, hoán vị cả 
trung tỉ với nhau, cả ngoiạ tỉ với nhau.
B. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
1. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
 a c a c a c a c
+) 
 b d b d b d b d
 a c e a c e a c e a c e
+) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
 b d f b d f b d f b d f
2. Chú ý: Khi ta nói các số x, y, z tỉ lệ với các số a,b,c , tức là: 
x y z
 hoặc x : y : z a :b : c
a b c
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau
I. Phương pháp giải.
 a c
1. Tỷ lệ thức: Là đẳng thức của hai tỉ số (b,d 0) hoặc a :b c : d
 b d
Trong đó: a,b,c,d là các số hạng của tỷ lệ thức
- a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ
- b và c là các số hạng trong hay trung tỉ
Các số a và d được gọi là ngoại tỉ; các số b và c được gọi là trung tỉ
2. Tính chất của tỉ lệ thức
 a c
a) Tính chất 1: Nếu ad bc 
 b d
 a c d b d c a b
b) Tính chất 2: Nếu ad bc 0 ; ; ; 
 b d c a b a c d
3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
 a c a c a c a c
- Nếu (giả thiết các phân số đều có nghĩa)
 b d b d b d b d
- Mở rộng: 
 a c e a c e a c e a c e
+ Nếu (giả thiết các phân số đều có nghĩa)
 b d f b d f b d f b d f
 2 4 6 2 4 6 4 2 4 6 2 4 6 0 0
Ví dụ: ; (do không có nghĩa) nên tính chất không còn 
 3 6 9 3 6 9 6 3 6 9 3 6 9 0 0
đúng
- Nâng cao: (1 100).100
 10100 
 2 1 a a ... a 101
 (1 100).100 : 2 1 2 100
Vậy a1 a2 ... a100 101.
Bài 4: Cho các số a,b,c,d 0 và thỏa mãn b2 ac;c2 bd;b3 c3 d 3 0. Chứng minh rằng 
a3 b3 c3 a
b3 c3 d 3 d
Lời giải: Vì các số a,b,c,d 0 , ta có: 
 a b b c a b c a3 b3 c3
b2 ac ;c2 bd (*) 
 b c c d b c d b3 c3 d 3
 a3 b3 c3 a3 b3 c3
 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (1) .
 b3 c3 d 3 b3 c3 d 3
 a3 a a a a b c a
 Lại có: . . . . (2)
 b3 b b b b c d d
 a3 b3 c3 a
Từ (1)(2) (đpcm)
 b3 c3 d 3 d
Bài 5: Cho (a b) : (b c) : (c a) 6 : 7 :8;a b c 42. Hãy tìm c ?
Lời giải
 a b b c c a
Cách 1: từ đề bài suy ra k a b 6k;b c 7k;c a 8k 
 6 7 8
 2(a b c) 21k k 4
 a b 24
 c 18
 a b c 42
 a b b c c a 2(a b c) 84 a b
Cách 2: 4 4 a b 24 c 18
 6 7 8 21 21 6
 a c
Bài 6: Cho . Chứng minh rằng:
 b d
 a b c d
a) 
 b d
 a c b d
b) 
 c d
 a b c d
c) 
 a c
Lời giải
 a c a c a b c d
a) Ta có: 1 1 
 b d b d b d
 a c a b a b a c b d
b) Ta có: 1 1 (với c khác 0)
 b d c d c d c d
 a c b d b d a b c d
c) Ta có: 1 1 (với a và c khác 0)
 b d a c a c a c
 a c
Bài 7.1: Cho . Chứng minh rằng:
 b d
 a a c a b c d
a) b) 
 b b d a b c d
 a b c a
7.2) Với a2 bc thì 
 a b c a a c xa yb xc yd
Cho , Các số x, y,z,t thỏa mãn xa yb 0,zc td 0 . Chứng minh: 
 b d za tb zc td
Lời giải
 a b ax by ax by az tb az tb
Từ giả thiết 
 c d cx dy cx dy cz td cz td
 xa yb xc yd
 (đpcm)
 za tb zc td
 2
 a c a.d a2 b2 a b a2 b2
Bài 12: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng: 2 2 và 2 2
 b d c.d c d c d c d
Lời giải
 a c a b a.b a2 b2 a2 b2
Từ 
 b d c d c.d c2 d 2 c2 d 2
 2
 a b a b a2 b2 a b a2 b2
và 2 2 2 2 2
 c d c d c d c d c d
 a c
Cách 2: đặt =k suy ra a bk , c dk , thay vào từng vế của đẳng thức cần chứng minh, rút gọn, tính 
 b d
mỗi vế theo k suy ra điều phải chứng minh.
 2 2
Bài 13: Cho 4 số a1,a2 ,a3,a4 thỏa mãn: a2 a1.a3 , a3 a2 .a4 . 
 3 3 3
 a1 a2 a3 a1
 Chứng minh rằng: 3 3 3 
 a2 a3 a4 a4
Lời giải
 3 3 3 3 3 3
 a1 a2 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1
Từ giả thiết , 3 3 3 3 3 3 . . (đpcm)
 a2 a3 a3 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 a4
 a c b a3 c3 b3 a
Bài 14: Cho . Chứng minh rằng: 
 c d d c3 b3 d3 d
Lời giải
 a c b a3 c3 b3 a
Ta có: 
 c b d c3 b3 d3 d
 a3 c3 b3 a a3 c3 b3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: (đpcm)
 c3 b3 d3 d c3 b3 d3
 a c
Bài 15: Cho tỉ lệ thức: . 
 b d
 2a2 3ab 5b2 2c2 3cd 5d 2
Chứng minh rằng: (với điều kiện mẫu thức xác định)
 2b2 3ab 2d 2 3cd
Lời giải
 a c a k.b
Đặt k , thay vào biểu thức ta được:
 b d c kd
2a2 3ab 5b2 k2 3k 5 2c2 3cd 5d 2 k2 3k 5
 1 và 2 
 2b2 3ab 2 3k 2d 2 3cd 2 3k
 2a2 3ab 5b2 2c2 3cd 5d 2
Từ (1)(2) (đpcm)
 2b2 3ab 2d 2 3cd
 a c ac 2009a2 2010c2
Bài 16: Cho . Chứng minh rằng: 
 b d bd 2009b2 2010d 2 a2 b2
Giả sử a 1 b 1 2 4
 32
Nếu a 1 b 1 , giả sử a b a2004 a2 1 b2004 1 b2 
 a2004 1 b2
 , Vì a b 1 b2 a2 1 a2 b2 2
 b2004 1 a2
 a2 b2 2
 2 4 (đpcm)
 32 32
 1 1 1 1 1 1
Bài 23: Cho a,b,c 0 và 0 . Chứng minh rằng 0
 a b c ab bc ca
Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1
Từ giả thiết 0 0 
 a b c a b c ab ac
 1 1 1 1
Tương tự: 0, 0
 bc ab ac bc
 1 1 1 
Cộng theo vế ta được: 2 0 (đpcm)
 ab bc ca 
 x2000 y2000 2
Bài 24: Cho x2 y2 1 và b.x2 a.y2 . Chứng minh rằng: 
 a1000 b1000 (a b)1000
Lời giải
 x2 y2 x2 y2 1
 Từ bx2 ay2 
 a b a b a b
x2000 y2000 1 x2000 y2000 2
 1000 1000 1000 1000 2000 1000 (đpcm)
a b a b a b a b 
 a b b c c a
Bài 25: Chứng minh rằng nếu x , y ,z thì ta có: 
 a b b c c a
 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 
Lời giải
 a b 2a 2b 2c
Xét x 1 1 . Tương tự: y 1 ;z 1 
 a b a b b c c a
 8abc
Khi đó VT 
 a b b c c a 
 a b 2b 2c 2a
Tương tự: 1 x 1 , 1 y ,1 z 
 a b a b b c c a
 8abc
Khi đó: VP VT (đpcm)
 a b b c c a 
 b2 b2
Bài 26: Biết a2 ab 15; c2 6 và a2 ac c2 9 a,c 0;a c . Chứng minh rằng 
 3 3
2c b c
a a c
Lời giải
 2 2
 2 b 2 2 2 b 
Ta có: a ab 15 6 9 a ac c c 
 3 3 
 2c2 ab ac 2c2 ab ac 2ac 2c2 2ac ab ac