Bộ 19 Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 7 - Chuyên đề 2: Lũy thừa, tìm X

 ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA, TÌM X 
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên 
 n
x 1x4.4x2..4..4x3 x ¥ ;n ¥ ;n 1 
 n thừa số
Quy ước: x1 x, x0 1 x 0 
2. Các phép tính về lũy thừa
xm.xn xm n xm : xn xm n x 0;m,n ¥ 
 n
 xm xm.n x.y n xn.yn
 n
 x xn
 y 0 
 y yn
3. Lũy thừa với số mũ nguyên âm
 1
x n với x 0,n ¥ 
 xn
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Tính.
 Dang 1.1:Sử dụng các phép tính về lũy thừa để thực hiện phép tính .
I. Phương pháp giải .
+) Sử dụng định nghĩa về lũy thừa và các phép tính về lũy thừa để thực hiện phép tính 
+) Để thực hiện phép tính chứa nhiều lũy thừa, ta dùng các công thức biến đổi về lũy thừa của các số 
nguyên tố. Sau đó có thể dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
II. Bài toán.
Bài 1. Tính:
 0
 4 2 3 1 2 1 
 a) 2 .5 131 (13 4) b) 2 3 1 ( 2) : 8
 2 2 
 2 3 3 3
 1 3 5 3 
 c) 25 : : 
 4 4 4 2
Lời giải :
 a) 24.5 131 (13 4)2 16.5 131 92 80 131 81 80 50 30 .
  
 0
 3 1 2 1 
 b) 2 3 1 ( 2) : 8 8 3.1 1 (4.2) 8 8 3 1 8 8 10 .
 2 2 
 2 3 3 3
 1 3 5 3 1 27 125 27 1 27 8 1 8 133
 c) 25 : : 25 : : 25. . .
 4 4 4 2 16 64 64 8 16 125 27 16 5 80
 I. Phương pháp giải .
 Nhân cả 2 vế của biểu thức với cơ số, sau đó cộng hoặc trừ từng vế (tùy từng bài ) .
II. Bài toán.
Bài 1. Tính:
a) S 1 2 22 23 ....... 2100 . b) A 3 32 33 ......... 32020 .
c) B 7 72 73 ........ 7n 1 7n (n ¥ ,n 1) d) D 4 42 43 44 ....... 42019 42020
Lời giải: 
 a) S 1 2 22 23 ....... 2100
 2S 2 22 23 ......... 2100 2101
 Ta có: 2S S (2 22 23 ..... 2100 2101) (1 2 22 ....... 2100)
 S 2101 1 .
 b) A 3 32 33 ......... 32020
 3A 32 33 34 ......... 32020 32021
 Ta có: 3A A (32 33 34 ....... 32020 32021) (3 32 33 ...... 32020)
 32021 3
 2A 32021 3 hay A 
 2
 c) B 7 72 73 ........ 7n 1 7n (n ¥ ,n 1)
 7B 72 73 74 ....... 7n 7n 1
 7B B (72 73 74 ........ 7n 7n 1) (7 72 73 ..... 7n )
 6B 7n 1 7
 7n 1 7
 B .
 6
 d) D 4 42 43 44 ....... 42019 42020
 4D 42 43 44 45 ....... 42020 42021
 D 4D (4 42 43 44 ...... 42019 42020) (42 43 44 45 ..... 42020 42021)
 5D 4 42021
 4 42021
 D .
 5
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
 1 1 1 1 1 1 1 1
a) A ..... . b) B 1 ..... (n ¥ *) .
 4 42 43 42000 13 132 133 13n
 1 1 1 1 1 1 1 1
c) C ....... . d) D 1 ...... .
 ( 5) ( 5)2 ( 5)3 ( 5)99 2 4 8 1024
Lời giải: Lời giải:
 1 1 1 1 1 1
B ... 
 3 32 33 32020 32021 2 
 1 1 1 1
Xét 3.B 1 ... 
 3 32 32019 32020
 1
 3B B 1 
 32021
 1
 2.B 1 1
 32021
 1
 B .
 2
 2 3 4 2019 2020
Bài 4: Cho T ... . Hãy so sánh T với 3 .
 2 22 23 22018 22019
Lời giải:
 2 3 4 2019 2020
T ... 
 2 22 23 22018 22019
 3 4 2020
Xét : 2T 2 ... 
 2 22 22018
 2 3 4 2019 2020
mà T ... 
 2 22 23 22018 22019
 1 1 1 1 2020
Suy ra : 2T T 2 ... 
 2 22 23 22018 22019
 1 1 1 1 2020
 T 2 ... 
 2 22 23 22018 22019
 1 1 1 2020
 2T 4 1 ... 
 2 22 22017 22018
 2021 2020
 2T T 3 3 T 3 .
 22018 22019
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính 
 2
 1 0 2 0 1 
 1 6 1 2 1 1 2 3 5 
a) : 2 b) 0,1 . 2 : 2 
 3 7 2 7 49 
 2 3 3
 4 3 2 
c) . : 
 3 4 3
Đáp số: 
 17 9
 a) . b) 3 . c) .
 8 128 C 72021 72019 72017 72015 ... 75 73 7 .
Đáp số: 
 32021 1 52021 1 72023 7
A B C 
 4 4 50
 1 1 1 1 1 1 1
Bài 6: Chứng minh rằng tổng: S ... ... 0,2 .
 22 24 26 24n 2 24n 22018 22020
Hướng dẫn: 
Tính được 
 1 1 1
S S 
 5 22018.5 5
 1 1 1 1 1 1 1
Bài 7: Chứng minh rằng: ... ... .
 72 74 74n 2 74n 798 7100 50
Hướng dẫn: 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A .... ..... A 
 72 74 74n 2 74n 798 7100 50 7100.50 50
Dạng 2. Tìm x . 
I.Phương pháp giải.
 Khi tìm x có chứa lũy thừa:
+) Biến x ở phần cơ số, ta đưa hai vế về cùng số mũ và lưu ý:
 an bn (với n lẻ) thì a b .
 an bn (với n chẵn) thì a b hoặc a b .
+) Biến x ở phần số mũ, ta đưa hai vế về cùng cơ số và sử dụng :
 am an (với a 0, 1) thì m n .
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm x :
 2
 a) x 2 64 . c) 2x 16 .
 3
 b) x 5 125 . d) 34 x 27 .
Lời giải:
 2 x 2 8 x x 4
 a) x 2 64 b) 2 16 2 2 x 4
 x 2 8 Vậy x 4 .
 x 6
 x 10
 Vậy x 6; 10 .
 4 x 4 x 3
 c) x 5 3 125 (x 5)3 ( 5)3 d) 3 27 3 3 4 x 3 
 x 5 5 x 1
 Vậy x 10 . Vậy x 1 . + Nếu 2 lũy thừa có cùng số mũ ( lớn hơn 0) thì số mũ nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn
Nếu a b thì an bn (n 0)
 Ngoài hai cách trên, để so sánh hai lũy thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của 
 phép nhân. ( a b thì v a.c b.c ới c>0)
 Dạng 3.1. So sánh hai lũy thừa có cùng cơ số, hoặc cùng số mũ
 I. Phương pháp giải: 
 Nếu m n thì am an (a 1)
 Nếu a b thì an bn (n 0)
 II. Bài toán
 Bài 1. So sánh
 a)33317 và 33323 b) 200710và200810 c) (2008 2007)2009 và (1998 1997)1999
 Lời giải
 Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng cơ số hoặc có cùng số 
 mũ.
 17 23
 a) Vì 1 < 17 < 23 nên 333 333
 b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 200810
 c) Ta có: (2008 2007)2009 12009 1 và (1998 1997)1999 11999 1 
 Vậy (2008 2007)2009 (1998 1997)1999
 Bài 2. So sánh 
 a) 2300và3200 e)9920và999910
 b)3500và7300 f)111979và371320
 5
 c)85và3.47 g)1010và48.50
 d) 202303và303202 h) 199010 19909và199110 
 Lời giải
 Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa để đưa các lũy 
 thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
 a) Ta có: 2300 (23)100 8100 ; 3200 (32)100 9100 
 Vì 8100 9100 nên2300 3200 
 b) Tương tự câu a, ta có: 3500 (35)100 243100;7300 (73)100 343100 
 Vì 243100 343100 nên3500 7300 
 c) Ta có: 85 (23)5 215 2.214 3.214 3.47 85 3.47
 d) Ta có: 202303 (2.101)3.101 (23.1013)101 (8.101.1012)101 (808.1012)101 
 302202 (3.101)2.101 (32.1012)101 (9.1012)101 
 Vì 808.1012 9.1012 nên202303 303202