Bộ 19 Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 7 - Chuyên đề 18: Ba điểm thẳng hàng

 HH7. CHUYÊN ĐỀ 18
 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
 D
1. Nếu ·ABD D·BC 1800 thì ba điểm
A, B, C thẳng hàng. 
 A B C
 ( Hình 1) hình 1 
2. Tiên đề Ơ – Clit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với 
đường thẳng đó a
 ( Hình 2)
 A B C
 hình 2 
 3. Có một và chỉ một đường thẳng a ' đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước. 
( Hình 3)
 Nếu AB  a ; AC  A thì ba điểm A, B, C thẳng hàng. A
 Hoặc A, B, C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng .
 B
 C
 a
4. Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác ( Hình 4) hình 3 
 Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ba điểm O, A, B thẳng hàng. x
 O A B
 hình 4 y
 * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , x·OA x·OB thì ba điểm 
O, A, B thẳng hàng.
5. Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm
 (Nếu K là trung điểm BD, K ’ là giao điểm của BD và AC . Nếu K ’ là trung điểm BD thì K ’  K
thì A, K, C thẳng hàng.)
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Sử dụng tính chất 2 góc kề bù chứng minh 3 điểm thẳng hàng. D
I.Phương pháp giải.
Nếu ·ABD D·BC 1800 thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
 A B C
 hình 1 
II.Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC . Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm 
B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC ). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD AB . Chứng minh ba 
điểm B, M , D thẳng hàng. 
 Gợi ý: Muốn B, M , D thẳng hàng cần chứng minh B·MC C·MD 1800
 Do ·AMB B·MC 1800 nên cần chứng minh ·AMB D·MC
LỜI GIẢI: LỜI GIẢI:
 C
 Tìm cách giải: Nhận thấy tam giác ABC vuông tại A , 
)
B =60° nên A·CB =30° suy ra A·CE = 60 nên tam giác 
ACE đều. Do đó muốn chứng tỏ E, A, F thẳng hàng E
thì ta chỉ cần chứng tỏ B·AF 30
Hướng dẫn: x
 B
 a) ABC vuông tại A , Bµ=60° nên A·CB =30° suy ra A
A·CE =60° nên tam giác ACE đều
 · ·
 b) Ta có BA BF BFA cân ABC 2BAF F
suy ra B·AF =30°
 Vậy ba điểm E, A, F thẳng hàng
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB AC , kẻ tia phân giác AD của góc BAC . Trên cạch AC lấy điểm E
sao cho AE AB . Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF AC . Chứng minh rằng 
a, ADF EDC
b, F, D, E thẳng hàng
c, AD  FC
LỜI GIẢI 
a) ABD và AED có AB AE ; B·AD E·AD; AD là cạnh chung
 ABD ED c.g.c BD ED; ·ABD ·AED 
Mặt khác ·ABD D·BF 1800 ; ·AED D·EC 1800 nên 
 A
D·BF D·EC 
Ta có AF AC ; AB AE BF EC. 
 DBF và có DB DE E
 BDF EDC c.g.c 
 B
b) BDF EDC D C
 B·DF E·DC mà B·DF F·DC 1800 
 H
 E·DC F·DC 1800
 F, D, E thẳng hàng . F
c) Gọi H là giao điểm của AD và CF .
 AHE và AHC có AF AC ; F·AH C·AH ; AH chung
 AHE AHC c.g.c A·HF ·AHC mà A·HF ·AHC 1800
 A·HF ·AHC 900 
Vậy AH  FC hay AD  FC 
Bài 6. Cho tam giác ABC . vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ADB; ACE 
có AD AD; AC AE , kẻ AH vuông góc với BC ; DM vuông góc với AH và EN vuông góc AH . 
Chứng minh rằng 
a, DM AH ·AOD C·OB (hai góc đối đỉnh)
 OD OB (vì O là trung điểm BD )
Vậy AOD = COB (c.g.c)
Suy ra: D·AO O·CB . 
Do đó: AD / /BC . Nên D· AB C·BM (ở vị trí đồng vị) 
 DAB và CBM có : 
 AD BC (do AOD = COB ), 
D· AB C·BM
 AB BM ( B là trung điểm AM )
Vậy DAB CBM (c.g.c). Suy ra ·ABD B·MC . Do đó BD / /CM.(1)
 Lập luận tương tự ta được BD / /CN. (2)
 Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M ,C, N thẳng hàng. 
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm M , trên tia đối CA lấy điểm N sao cho
MB CN . Gọi K là trung điểm MN . Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
LỜI GIẢI 
 Cách 1: Kẻ ME  BC , NF  BC tam giác BME và CNF A
 vuông tai E và F có BM CN , M· BE N·CF . Do đó 
 BME CNF suy ra ME MF . Gọi K là giao điểm BC 
 và BN.
 Xét MEK và NFK vuông góc ở E và F có ME NF , 
 M
 E· MK '=E· NK ' ( so le trong). Vậy MEK = NEK do đó
 MK NK . Vậy K ' là trung điểm MN nên K  K ' . F
 B E K C
 Do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng 
 N
Cách 2: kẻ ME / / AC (E BC)
 A·CB M· EB ( hai góc đồng vị)
Mà A·BC A·CB nên B·ME M· EB
Vậy tam giác MBE cân tại M
Do đó MB ME kết hợp với giả tiết MB NC ta được ME CN. Gọi K là giao điểm của 
BC và MN
 MEK và NCK có K·ME K·NC ( so le trong do ME / / AC )
ME CN ( chứng minh trên), M· EK = N·CK
Do đó NCK = MEK NK MK
Vậy K ' là trung điểm MN nên K  K ' . Do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ AH  BC tại H , A·CB 30 . Dựng tam giác ACD đều 
( D và B nằm khác phía đối với cạnh AC ). Kẻ HK  AC tại K . Đường thẳng qua H và song song với 
AD cắt AB kéo dài tại M . Chứng minh 3 điểm M , K, D thẳng hàng.
LỜI GIẢI LỜI GIẢI. G
 B
Theo đề bài ABC vuông tại A có BC 2AB nên 
A·BC 600 ; A·CB 300. I
 1
·ABD A·BC 200 D·BC 400 
 3 E
 1 F
·ABD A·BC 100 D·BC 200
 3 A K D C
 CIF và CIG có IF IG(gt) 
 H
C·IF C·IG 900 ; IC cạnh chung
 CIF CIG c.g.c 
 CG CF và K·CH K·CF 100 
Từ đó suy ra CG CH và G·CF F·CH 2A·CB 600 , do đó C·HG 600 (1)
 DKF DKH vì có KF KH ( giả thiết ), D·KF D·KH 900 , KD cạnh chung, do đó DF DH 
, vì thế CDF CDH c.c.c 
Suy ra C·HD C·FD 
 ABD vuông tại A có ·ABD 200 D· B 70o C·DF 1100 
 C·FD 1800 C·DF F·CD 1800 1100 100 600 vì thế C·HD 600 (2)
Từ (1) và (2) suy ra C·HD 600 C·HG mà hai tia HD, HG cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là 
đường thẳng HC nên HD trùng với HG, nghĩa là ba điểm H, D,G thẳng hàng. 
Dạng 4: Sử dụng tính chất tia phân giác chứng minh 3 điểm thẳng hàng
I.Phương pháp giải.
- Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
- Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , x·OA x·OB thì ba điểm O, A, B
thẳng hàng.
II.Bài toán.
Bài 1. Cho góc xOy .Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao choOB OC . Vẽ 
đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong 
góc xOy . Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng.
Gợi ý: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy . x
LỜI GIẢI: B
 =
Xét BOD và COD có: / =
 A
OB OC (gt) O D
 / = =
OD chung C
BD CD ( D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính). y
Vậy BOD = COD (c.c.c). 
 Hình 10
Suy ra : B·OD C·OD . 
Điểm D nằm trong góc xOy nên tia OD nằm giữa hai tia Ox vàOy .
Do đó OD là tia phân giác của x·Oy .
Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của x·Oy .
Góc xOy chỉ có một tia phân giác nên hai tia OD và OA trùng nhau. 
 Vậy ba điểm O, A, D thẳng hàng. LỜI GIẢI
Kẻ MK  AB;MH  AC; 
Ta có M là trung điểm của CE nên BME BMC(c.c.c) 
 E·BM C·BM 450 
Mặt khác E·BC 900 K·BE A·BC 900. 
 0
 Mà A·CB A·BC 90 , suy ra E
 K·BE A·CB K·BM H·CM. 
 Lại có BM MC KBM HCM 
 ( cạnh huyền, góc nhọn ) MK MH 
 K M
 AKM AHM (cạnh huyền, cạnh góc vuông) 
 B
 D
 K·AM H·AM AM là tia phân giác của góc A .
 Mặt khác, BAD vuông cân tại A B·AD 450 AD là 
 C
 tia phân giác của góc A A H
 A; D; M thẳng hàng ( vì A; D; M cùng thuộc tia phân 
 giác của góc A )
Dạng 5: Sử dụng tính chất trung điểm đoạn thẳng chứng minh 3 điểm thẳng hàng
I.Phương pháp giải.
 Nếu K là trung điểm BD, K ’ là giao điểm của BD và AC . Nếu K ’ là trung điểm BD thì K ’  K thì 
A, K, C thẳng hàng.
II.Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác ABC cân ở A . Trên cạnh AB lấy điểmM , trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho 
BM CN . Gọi K là trung điểm MN . Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
LỜI GIẢI 
 A
Cách 1: 
 M
Kẻ ME  BC ; NF  BC ( E ; F BC)
 =
 BME và CNF vuông tại E và F có: K' C F
 B E K
 · · · =
 BM CN (gt), MBE NCF ( cùng bằng ACB ) hình 11
 Do đó: BME = CNF (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn) N
Suy ra: ME NF .
Gọi K ’ là giao điểm của BC và MN .
 MEK ’ và NFK’ vuông ở E, F có: ME NF (cmt), E·MK ' F·NK ' ( so le trong của ME / / FN ) . 
Vậy MEK ’ = NFK’ (g-c-g). Do đó: MK ’ NK ’.
Vậy K ' là trung điểm MN , mà K là trung điểm MN nên K  K ’
 A
Do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng.
Cách 2. 
Kẻ ME / / AC (E BC) A·CB M· EB (hai góc đồng vị)
 M
 Mà A·CB A·BC nên M· BE M· EB . Vậy MBE cân ở M.
 =
 Do đó: MB ME kết hợp với giả thiết MB NC ta được ME CN . K' C
 B E K
 Gọi K ' là giao điểm của BC và MN .
 Hình 12 =
 N