Bộ 19 Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 7 - Chuyên đề 17: Các đường đồng quy của tam giác

 HH7. CHUYấN ĐỀ 17- CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC
PHẦN I. TểM TẮT LÍ THUYẾT.
* Phương phỏp chứng minh cỏc đường thẳng trong tam giỏc đồng quy.
- Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta thường sử dụng cỏc phương phỏp sau:
Phương phỏp 1: Chứng minh giao của hai đường thẳng nằm trờn đường thẳng thứ ba. Cho a cắt b tại 
O . Chứng minh O thuộc c . Suy ra a,b,c đồng quy tại O .
- Phương phỏp 2: Sử dụng tớnh chất cỏc đường đồng quy trong tam giỏc.
a) Ba đường trung tuyến của tam giỏc đồng quy tại một điểm.Điểm này gọi là trọng tõm của tam giỏc. 
 2
Trọng tõm cỏch mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài trung tuyến qua đỉnh ấy.
 3
b) Ba đường phõn giỏc của tam giỏc đồng quy tại một điểm. Điểm này cỏch đều ba cạnh của tam giỏc.
c) Trong một tam giỏc cỏc đường thẳng chứa tia phõn giỏc của gúc ngoài và tia phõn giỏc của gúc 
trong khụng kề cựng đi qua một điểm.Điểm này cỏch đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giỏc.
d) Ba đường trung trục của tam giỏc đồng quy tại một điểm. Điểm này cỏch đều ba đỉnh của tam giỏc.
e) Ba đường cao của tam giỏc đồng quy tại một điểm. Điểm đú gọi là trực tõm của tam giỏc.
1. Ba đường trung tuyến của tam giỏc
1.1. Đường trung tuyến của một tam giỏc
 A
 B M C
 Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến 
(xuất phỏt từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC ) của ABC .
 Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của ABC .
 Mỗi tam giỏc cú ba đường trung tuyến
1.2. Tớnh chất đồng quy của ba đường trung tuyến
Ba đường trung tuyến của một tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung 
tuyến gọi là trọng tõm của tam giỏc đú.
1.3. Vị trớ của trọng tõm: A
 K
 L E
 F
 I
 B H C
Chỳ ý: Theo kết quả của bài tập 32 SGK, ta chứng minh được: Hai đường phõn giỏc của hai gúc ngoài 
tam giỏc và đường phõn giỏc của gúc trong khụng kề chỳng cựng đi qua một điểm (điểm này cũng 
cỏch đều ba đường thẳng chứa cạnh của tam giỏc đú.
3. Ba đường trung trực của tam giỏc
3.1. Đường trung trực của một đoạn thẳng
* Định nghĩa: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuụng gúc với đoạn thẳng ấy tại 
trung điểm của nú.
 A B
 I
 d
- ĐL1: Điểm nằm trờn đường trung trực của đoạn thẳng thỡ cỏch đều hai mỳt của đoạn thẳng đú.
 M
 A B
 I
 d
- ĐL2: Điểm cỏch đều hai mỳt của đoạn thẳng thỡ cỏch đều hai mỳt của đoạn thẳng đú.
 M
 A B
 I
 A M B d
Nhận xột: Tập hợp cỏc điểm cỏch đều hai mỳt của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng 
đú.
3.2. Tớnh chất ba đường trung trực của tam giỏc
* Đường trung trực của tam giỏc A B H
 K
 L L K
 I
 H A
 C C
 B I C B I
 H=A
* Định lớ: Ba đường cao của một tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm giao của ba đường cao gọi là 
trực tõm của tam giỏc.
*Chỳ ý: 
+ Tam giỏc nhọn: trực tõm trong tam giỏc.
+ Tam giỏc vuụng: trực tõm trựng đỉnh gúc vuụng.
+ Tam giỏc tự: trực tõm ngoài tam giỏc.
 A
 B D C
5. Cỏc đường đồng quy trong tam giỏc cõn, tam giỏc đều
+ Trong một tam giỏc cõn, đường trung trực ứng với cạnh đỏy đồng thời là đường phõn giỏc, đường 
trung tuyến và đường cao cựng xuất phỏt từ đỉnh đối diện với cạnh đú.
+ Trong một tam giỏc, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phõn giỏc, đường cao 
cựng xuất phỏt từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trựng nhau thỡ tam 
giỏc đú là một tam giỏc cõn.
+ Trong tam giỏc đều, trọng tõm, trực tõm, điểm cỏch đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giỏc và cỏch 
đều ba cạnh là bốn điểm trựng nhau.
- Nếu 1 tam giỏc cú hai đường cao bằng nhau là tam giỏc cõn.
- Nếu 1 tam giỏc cú ba đường cao bằng nhau thỡ tam giỏc đú là tam giỏc đều.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC.
I. Phương phỏp giải.
1. Đường thẳng trung tuyến của tam giỏc 2
Theo tớnh chất trọng tõm của một tam giỏc cỏch mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung 
 3
 2
tuyến đi qua đỉnh ấy. Số cần điền là . 
 3
Bài 3: Cho hỡnh vẽ sau, điền số thớch hợp vào chỗ chấm: BG .... BE 
 A
 F E
 G
 B C
 D
 1 2
A. 2. B. 3. C. . D. . 
 3 3
 Lời giải 
Chọn đỏp ỏn D.
Ta cú AD, BE,CF là ba đường trung tuyến của tam giỏc ABC và chỳng cắt nhau tại G nờn G là 
trọng tõm của tam giỏc ABC .
 BG 2 2
Theo tớnh chất ba đường trung tuyến của tam giỏc ta cú BG BE. 
 BE 3 3
 2
Vậy số thớch hợp điền vào chỗ chấm là . 
 3
Bài 4: Cho hỡnh vẽ sau, điền số thớch hợp vào chỗ chấm: AG .... GD 
 A
 F E
 G
 B C
 D 
 1 2
A. 2. B. 3. C. . D. . 
 3 3
 Lời giải 
Chọn đỏp ỏn A.
Ta cú AD, BE,CF là ba đường trung tuyến của tam giỏc ABC và chỳng cắt nhau tại G nờn G là 
trọng tõm của tam giỏc ABC .
Theo tớnh chất ba đường trung tuyến của tam giỏc ta cú:
 AG 2 AG
 2 AG 2GD. 
 AD 3 GD
Vậy số thớch hợp điền vào chỗ chấm là 2. 
Bài 5: Tam giỏc ABC cú trung tuyến AM 9cm và trọng tõm G . Độ dài đoạn AG là A
 c b
 ma
 B a C
 M
Với AMB ta cú: AM MB AB (1) 
Với AMC ta cú: AM MC AC (2) 
Cộng từng vế của 1 và 2 ta được: 2AM MB MC AB AC 
 b c a
Hay 2m a b c m 
 a a 2
 b c
Chứng minh tương tự ta cú m 
 a 2
 b c a b c
Khi đú ta cú: m 
 2 a 2
Bài 8: 
Cho tam giỏc ABC cõn tại A , trung tuyến AM .
a) Chứng minh rằng AM vuụng gúc với BC .
b) Biết AB AC 17cm, BC 16cm, tớnh độ dài đường trung tuyến AM .
 Lời giải 
 A
 B M C
 ABM ACM (c c c) ãAMB ãAMC (Hai gúc tương ứng)
Mà ãAMB ãAMC 180 nờn ãAMB ãAMC 90 hay AM  BC 
Vỡ ABM ACM (c c c) BM CM (hai cạnh tương ứng)
 BC 16
Do đú BM CM 8cm 
 2 2
Áp dụng định lý Pytago vào ABM vuụng tại M , ta cú AM 2 AB2 BM 2
 172 82 289 64 225 AM 225 15cm. 
Bài 9: Cho ABC cú cỏc đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng ABC là tam 
giỏc cõn.
 Lời giải 1. Đường phõn giỏc của tam giỏc
- Trong tam giỏc ABC , tia phõn giỏc của gúc A cắt cạnh BC tại điểm M , khi đú đoạn thẳng AM 
được gọi là đường phõn giỏc (xuất phỏt từ đỉnh A ) của tam giỏc ABC . Ta cũng gọi đường thẳng AM 
là đường phõn giỏc của tam giỏc ABC .
 - Mỗi tam giỏc cú ba đường phõn giỏc.
Tớnh chất: Trong một tam giỏc cõn, đường phõn giỏc xuất phỏt từ đỉnh đối diện với đỏy đồng thời là 
đường trung tuyến ứng với cạnh đỏy.
 A
 1 2
 B D C
 à ả
Gt: ABC cú: AB AC, A1 A2 
Kl: BD DC 
II.Bài toỏn.
Bài 1: Cho ABC cú àA 90 cỏc tia phõn giỏc của Bà và Cà cắt nhau tại I. Gọi D, E là chõn cỏc 
đường vuụng gúc hạ từ I đến cỏc cạnh AB và AC. Khi đú ta cú:
A. AI là đường cao của ABC 
B. IA IB IC 
C. AI là đường trung tuyến của ABC 
D. ID IE 
 Lời giải 
 B
 D I
 A E C
Xột ABC cú cỏc tia phõn giỏc của Bà và Cà cắt nhau tại I. Nờn I là giao điểm của ba đường phõn 
giỏc trong ABC , suy ra AI là đường phõn giỏc của gúc A và I cỏch đều ba cạnh của ABC (tớnh 
chất ba đường phõn giỏc của tam giỏc). Vậy ta loại đỏp ỏn A, B và C
Vỡ I là giao điểm của ba đường phõn giỏc trong ABC nờn ID IE (tớnh chất ba đường phõn giỏc 
của tam giỏc)
Chọn đỏp ỏn D
Bài 2: Cho ABC cõn tại A . Gọi G là trọng tõm của tam giỏc, I là giao điểm của cỏc đường phõn 
giỏc trong tam giỏc. Khi đú ta cú
A. I cỏch đều ba đỉnh của ABC . B. A, I,G thẳng hàng.
C. G cỏch đều ba cạnh của ABC . D. Cả ba đỏp ỏn trờn đều đỳng.