Bộ 19 Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 7 - Chuyên đề 15: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

 CĐ 15, CHỦ ĐỀ. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
 VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên 
Định lý 1. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm A
ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là 
đường ngắn nhất
 a
 AH ⊥ a AH AC , AH AD
 H C
 D B
(C, D a)
2. Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu
Định lý 2. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng 
đó: A
• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
 AH ⊥ a, HD HC AD AC
 • Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. a
 H C
 AH ⊥ a , AD AC HD HC D B
• Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình chiếu 
 A
bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. 
 AB AC HB HC
 B H C
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
 Bài 1: Cho ABC vuông tại A . Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M , N .
 a. Chứng minh MN BN BC . 
 b. Có thể nói BN có hình chiếu xuống AC là AN còn CM có hình chiếu xuống AC là 
 AC nên CM BN được không?
 Lời giải: 
 B
 a) Hình chiếu AM AB nên đường xiên MN BN . 
 Hình chiếu AN AC nên đường xiên BN BC . M
 Bởi vậy MN BN BC .
 b) Không được vì M và B khác nhau.
 A N C 1
 b. Diện tích S AH.BC ; A
 ABC 2
 1
 Diện tích S AH.BD
 ABD 2 F
 E
 Mà BC BD . Suy ra S ABC S ABD
 1 1
 Lại có: S ABC AC.BE ; S ABD AB.DF B D
 2 2 H C
 1 1
 Suy ra AC.BE AB.DF . Mà AB AC nên BE DF .
 2 2
Bài 6: Cho ABC vuông tại A, K là trung điểm của BC , qua K kẻ đường thẳng vuông góc với 
 AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở D và E , Gọi I là trung điểm 
của DE
 a. CMR : AI  BC A
 b. Có thể nói DE BC được không?
 Lời giải: D
 ADE A AI C
 a, vuông tại có đường trung tuyến B
 H
 => AIE cân tại I K
 µ µ µ · I
 và ACK cân tại K A1 E ,C1 CAK
 µ · 0 µ µ 0
 mà E CAK 90 A1 C1 90 AH  CK
 E
 b, Để so sánh DE với BC ta so sánh IE với CK và AI với AK
 AKI vuông AI AK DE BC khi K trùng với I hay ABC vuông cân tại A
Bài 7: Cho ABC cân tại A , góc A tù, trên cạnh BC lấy điểm D , trên tia đối của tia CB lấy 
điểm E sao cho BD CE , trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI CA 
 a. CMR: ABD ICE và AB AC AD AE 
 b. Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB , AI lần lượt tại 
 M và N , CMR: BM CN 
 c. CMR: Chu vi ABC nhỏ hơn chu vi AMN
 Lời giải:
 a. CM: ABD ICE c.g.c .Ta có :
 AB AC AI , Vì ABD ICE AD EI
 Áp dụng BĐT trong AEI : AE EI AI
 hay AB AC AD AE A
 b. CM: BDM CEN g.c.g BM CN M
 c. Vì BM CN AB AC AM AN (1)
 C E
 B
 có BD CE (gt), BC DE D O
 Gọi O là giao của MN và BC
 N
 I Bài 10: Cho ABC vuông tại B , phân giác AD , từ D kẻ DH vuông góc với AC H AC , 
 HD và AB kéo dài cắt nhau tại I , CMR:
 a. ABD AHD 
 b. AD là trung trực của BH
 c. DIC cân
 d. BH / /IC
 e. AD  IC 
 g. BC AC AD 2AB 
 Lời giải:
 a. ABD AHD ( cạnh huyền- góc nhọn) I
 b. AB AH ( hai cạnh tương ứng)
 suy ra A nằm trên đường trung trực của BH
 B
 BH HD ( hai cạnh tương ứng). 
 1
 Suy ra D nằm trên đường trung trực của BH . D
 Vậy AD là đường trung trực của BH 2
 1
 c. BDI HDC (cạnh góc vuông- góc nhọn kề) 2
 A C
 DI DC DIC là tam giác cân H
 d. Vì BDI HDC (cmt) BI HC AI AC
 0 · 0 ·
 · 180 IAC · 180 IAC
 AIC cân tại A suy ra AIC , ABH cân tại A ABH 
 2 2
 Mà A· IC, A· BH là hai góc so le trong BH / /IC
 e. AIC cân tại A , có AD là tia phân giác I·AC suy ra AD là đường trung trực của IC
 g. Ta có : 
 AC AD 2AB (AH HC) AD AH AB
 AC AD 2AB HC AD AB AD AB HC
 AD AH HC HD HC 
 Lại có: BC BD DC HD DC HD HC vì DC HC 
Bài 11: Cho ABC vuông tại A , đường phân giác BD , kẻ DE vuông góc với BC E BC , 
 trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF CE , CM:
 a. ABD EBD 
 b. BD là đường trung trực của AE F
 c. AD DC 
 d. BA điểm E, D, F thẳng hàng và BD  CF 
 2 AD AF CF A
 Lời giải: 1 D
 a. ABD EBD ( cạnh huyền- góc nhọn) 2
 b. AB BE (hai cạnh tương ứng)
 1
 2
 suy ra B thuộc đường trung trực của AE C
 B E
 Và DA DE ( hai cạnh tương ứng) 
 D thuộc đường trung trực của AE b. Chứng minh ABM ADN
 E D
 AM AN, M· AB N· AD
 · · 0
 mà BAN NAD 180 A
 N
 nên M , A, N thẳng hàng M
 K
 c. Gọi I là giao BC và Ax , ta có : 
 BH BI,CK CI BH CK BI CI BC B C
 d. Theo câu c. BH CK BC H
 nên BH CK lớn nhất khi bằng BC , hay BH BI x
 và CK CI H trùng I và K trùng I . Hay Ax ⊥ BC .
Bài 14: Cho O nằm trong ABC , Gọi E, F, D lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC,CA
 CMR:
 a. AE 2 BF 2 CP2 AP2 BE 2 CF 2 A
 AB BC CA
 b. OA OB OC AB BC CA
 2 E P
 Lời giải: O
 a, Ta có:
 2 2 2
 AE AO EO B F C
 BF 2 OB2 FO2
 CP2 OC 2 PO2
 AE 2 BF 2 CP2 AO2 BO2 CO2 OE 2 OF 2 OP2 
 Và AP2 AO2 OP2 ; BE 2 BO2 OE 2 ; CF 2 CO2 OF 2
 AP2 BE 2 CF 2 AO2 BO2 CO2 OP2 OE 2 FO2 
 Từ đó suy ra điều phải chứng minh :
Bài 15: Gọi H là trực tâm của ABC , CMR: 
 a. HA HB HC AB AC A
 2
 b. HA HB HC AB BC CA M
 3
 Lời giải:
 N
 H
 a. Kẻ NH / / AC;MH / / AB
 ta có: HA AM MH AM AN (1)
 do BH  AC mà HN / / AC BH  HN
 Do đó: BH BN (2) B C
 Chứng minh tương tự: HC CM (3)
 Cộng (1), (2) và (3) ta có: HA HB HC AM AN BN CM AB AC
 b. Ta có: HA HB HC AB AC (theo câu a)
 Tương tự ta cũng có: HA HB HC BC AC
 HA HB HC AB BC
 Cộng theo vế ta được đpcm