Bộ 19 Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 7 - Chuyên đề 13: Chứng minh tam giác bằng nhau và các bài toán liên quan

 HSG T7-CĐ 13-CHỨNG MINH TAM GIÁC BẰNG NHAU 
 VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc 
tương ứng bằng nhau.
 A A'
 B C B' C'
 µA µA '; Bµ Bµ';Cµ Cµ'
 ABC A ' B 'C ' 
 AB A ' B '; BC B 'C '; AC A 'C '
2. Hai tam giác bằng nhau trường hợp: cạnh - cạnh – cạnh.
 Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
 Xét ABC và A' B 'C ' có: 
 AB A' B ' 
 AC A'C ' ABC A' B 'C ' c c c 
 BC B 'C '
3. Trường hợp bằng nhau : cạnh - góc - cạnh
 Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác 
 kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
 Xét ABC và A' B 'C ' có:
 AB A' B'
  µ 
 B B'  ABC A' B'C' c g c 
 BC B'C' 
  
 a) Xét MAB và MDC có: 
 MA MD 
 ·AMB D· MC MAB MDC (c - g - c).
 MB MC 
 
 b) Vì MAB MDC (c - g - c) M· AB M· DC ( hai góc tương ứng). 
 Mặt khác hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD. 
 c) Vì AB // CD A· BC D· CB ( hai góc so le trong)
 Xét ABC và DCB có: 
 AB DC 
 · · 
 ABC DCB ABC DCB (c-g-c).
 BC CB 
  
 d) Xét AEM và DFM có 
 AE DF GT 
 M· AB M· DC cmt 
 MA MD ( hai cạnh tương ứng).
 Vậy AEM DFM (c-g-c) A· ME D· MF ( hai góc tương ứng).
 A· ME A· MF D· ME A· MF 180 
 ba điểm E, M , F thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có Bµ 55. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, 
 vẽ tia Cx vuông góc với AC. Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD AB. 
 a) Tính số đo A· CB; 
 b) Chứng minh ABC CDA và AD // BC; 
 c) Kẻ AH  BC (H BC) và CK  AD (K AD). Chứng minh BH DK; 
 d) Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm H,I,K thẳng hàng.
 Hướng dẫn giải
 a) Vì ABC vuông tại A nên ta có: 
 ·ACB ·ABC 900 
 ·ACB 550 900 b) Kẻ BH  AM (H AM), kẻ CK  AN (K AN). Chứng minh BHM CKN;
c) Các đường thẳng HB và KC cắt nhau tại O. Tam giác OBC là tam giác gì? Tại sao?
d) Khi B· AC 60 và BM CN BC, tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định 
dạng của tam giác OBC;
e) Kẻ AD  BC (D BC), biết rằng AB 10 cm,BC 16 cm. Tính độ dài AD.
 Hướng dẫn giải
a) Xét ABM và CAN có 
 BM CN GT 
Ta có tam giác ABC cân tại A GT ·ABC ·ACB ·ABM ·ACN
Ta có tam giác ABC cân tại A GT AB AC
Vậy ABM CAN (c-g-c) AM AN ( hai cạnh tương ứng). 
Suy ra AMN cân tại đỉnh A.
b) Xét BHM và CKN có 
Ta có BH  AM (H AM), CK  AN (K AN) GT B· HM C· KN 900
Ta có BM CN GT 
Ta có AMN cân tại đỉnh A H· MB K· NC
Vậy BHM CKN (cạnh huyền - góc nhọn).
c) Ta có BHM CKN cmt H· BM K· CN,
Mà H· BM O· BC; K· CN O· CB (hai góc đối đỉnh)
Suy ra O· BC O· CB nên tam giác OBC cân tại O.
d) Ta có B· AC 60 GT 
 ABC là tam giác đều AB BC AC; A· BC A· CB B· AC 600
Ta có BM CN BC GT BM CN BC AB AC 
Do đó các tam giác ABM cân B và CAN cân tại C Ta có tia Oz là tia phân giác góc xOy A· OH B· OH
 Vậy OHA OHB (g-c-g) HA HB;OA OB ( hai cạnh tương ứng).
 b) Ta có A· OB x· Oy 100.
 Ta có OA OB cmt OAB cân tại O
 1800 x· Oy 1800 1000
 O· AB O· BA 40 
 2 2
 c) Xét OAC và OBC có 
 OA OB cmt 
 Ta có tia Oz là tia phân giác góc xOy A· OC B· OC
 OC là cạnh chung
 Vậy OAC OBC c g c CA CB ( hai cạnh tương ứng).
 ABC cân tại C
 Mà H· BC 60 ABC là tam giác đều
 d) Ta có O· BE O· BA H· BC 400 600 100 
 O· BE A· OC 100
 Xét BOE và BOA có 
 OB BE cmt 
 O· BE A· OC cmt 
 OA OB cmt 
 Vậy BOE BOA (c-g-c). AB OE. 
 e) Ta có AC = AB = BC = 2.AH = 2.1 = 2 cm 
 Xét AHC có AC 2 AH 2 HC 2 (Định lý Pytago)
 HC 2 AC 2 AH 2 22 12 3 HC 3 cm . 
Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC (AB AC). Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA 
lấy điểm M sao cho DM DA.
 a) Chứng minh ADC MDB;
 b) Chứng minh AC BM và AC // BM;
 c) Chứng minh ABM MCA;
 d) Kẻ AH  BC, MK  BC (H,K BC). Chứng minh rằng BK CH.
 Hướng dẫn giải
 a) Xét ADC và MDC có :
 DB DC ( D là trung điểm của BC )
 DM DA (gt)
 ·ADC B· DM (đối đỉnh) DB DA ( D là trung điểm của AB )
 DE DK GT 
 · ·
 BDE ADK (đối đỉnh)
 BDE ADK (c-g-c).
 Vậy
 D· AK D· BE (hai góc tương ứng)
 Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AK // BC.
 b) Vì BDE ADK (cmt) nên AK BE (hai cạnh tương ứng)
 Mà BE EC GT 
 AK EC ( BE)
 Xét AKE và ECA có
 AK EC (cmt)
 K· AE A· EC ( so le trong, AK // BC )
 AE cạnh chung
 Vậy AKE ECA (g-c-g). 
 c) Vì AKE ECA (cmt) K· EA E· AC (hai góc tương ứng)
 Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE // AC(dhnb) .
 Khi đó B· ED Cµ 55 (hai góc đồng vị, DE // AC ) 
 D· BE A· BC 1800 Aµ Cµ 1800 650 550 60 (tổng ba góc của tam giác)
 B· DE B· AC 65 ( hai góc đồng vị, DE // AC )
 Vậy D· BE 60,B· DE 65,B· ED 55. 
 d) Xét AIK và EIC có
 AK EC cmt
 IA IE ( I là trung điểm AE )
 K· AI I·EC ( so le trong, AK // BC )
 Vậy AIK EIC (c-g-c)
 IK IC ( hai cạnh tương ứng) (1)
 A· IK E· IC (hai góc tương ứng)
 Mà E· IC A· IC 180(hai góc kề bù)
 Khi đó A· IK A· IC 180 nên ba điểm K,I,C thẳng hàng (2)
 Từ (1) và (2) I là trung điểm của CK.
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại M.
 a) Chứng minh AMB AMC;
 b) Kẻ ME  AB (E AB), MF  AC (F AC). Chứng minh tam giác AEF cân;
 c) Chứng minh AM  EF; A· MB A· MC =1800
 2·AMB = 1800 ·AMB = 900
 AM  BC(4) 
 Từ (3), (4) AM  EF (từ vuông góc đến song song).
 d) I·BM F· CM (so le trong, BI//AC )
 · ·
 Mà FCM EBM ( ABC cân tại A )
 E· BM I·BM
 Mặt khác, B· IM C· FM 900 (so le trong, BI//AC )
 Xét BEM vuông tại E và BIM vuông tại I có
 BM cạnh chung
 E· BM I·BM(cmt)
 Vậy BEM BIM cạnh huyền - góc nhọn) 
 BE BI ( hai cạnh tương ứng)
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, A· CB 30. Tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại 
 M. Lấy điểm K trên cạnh BC sao cho BK BA.
 a) Chứng minh ABM KBM;
 b) Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AB và KM. Chứng minh tam giác MEC cân;
 c) Chứng minh tam giác BEC đều;
 d) Kẻ AH  EM (H EM). Các đường thẳng AH và EC cắt nhau tại N. Chứng minh 
 KN  AC.
 Hướng dẫn giải
 a) Xét ABM và KBM có
 BK BA. GT 
 A· BM K· BM ( BM là phân giác của A· BC )
 BM cạnh chung
 Vậy ABM KBM (c-g-c). 
 · · 0
 b) MKB MAB 90 ; MA MK ( ABM KBM).
 Xét MAE vuông tại A và MKC vuông tại K có 
 a) Xét AEB và ADC có
 AD AE GT 
 B· AC chung
 AB AC ( ABC cân tại A.)
 Vậy AEB ADC (c-g-c) BE CD. 
 b) Vì AEB ADC (cmt) A· BE A· CD
 mà A· BC A· CB nên K· BC K· CB KBC cân tại K.
 c) Vì KBC cân tại K KB KC. 
 Xét AKB và AKC có
 KB KC (cmt)
 AB AC ( ABC cân tại A.)
 AK chung
 Vậy AKB AKC (c-c-c) 
 A· KB A· KC AK là tia phân giác Aµ
 d) Xét AHB và AHC có
 B· AH C· AH ( AK là tia phân giác Aµ )
 AB AC ( ABC cân tại A.)
 AH chung
 Vậy AHB AHC (c - g - c) 
 BC 6
 A· HB A· HC ; HB HC 3
 2 2
 Mà A· HB A· HC = 1800
 A· HB A· HC = 900
 AH  BC 
 Áp dụng định lý Py-ta-go AHB có AH 2 AB2 BH 2 52 32 16
 AH 4 cm.
Bài 10. Cho ABC có Bµ 60, AB 2 cm,BC 5 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho 
 BA BD.
 a) Chứng minh tam giác ABD đều;