Bộ 19 Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 7 - Chuyên đề 11: Đa thức, nghiệm của đa thức, tìm hệ số và xác định đa thức

 ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 11 - ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA ĐA THỨC, TÌM HỆ SỐ VÀ XÁC ĐỊNH 
 ĐA THỨC
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
Định lý Bơ - zu và ứng dụng
1) Định lý Bơ-zu:
 Phần dư của phép chia đa thức f (x) cho nhị thức bậc nhất x a bằng giá trị của đa thức tại 
điểm a tức là f (a) : f ( x ) ( x a )q ( x ) f (a )
Chứng minh:
 Gọi phần dư của phép chia đa thức f (x) cho nhị thức bậc nhất x a là r(x) . Do bậc của đa thức 
dư nhỏ hơn bậc của đa thức chia nên r(x) là một hằng số r và ta có:
 f (x) (x a).q(x) r
Thay x a ta được: f (a) (a a).q(a) r
 f (a) r (đpcm).
 2) Hệ quả:
 Nếu a là nghiệm của f (x) thì f (x)(x a) .
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Ứng dụng định lí Bơ-zu
I.Phương pháp giải.
 Phần dư của phép chia đa thức f (x) cho nhị thức bậc nhất x a bằng giá trị của đa thức tại điểm 
a tức là f (a) : f ( x ) ( x a )q ( x ) f (a )
II.Bài toán.
Bài 1. Tìm a , b để đa thức 2x3 ax b chia cho x 1 dư 6 và chia cho x 2 dư 21.
Lời giải:
 Đặt f (x) 2x3 ax b . Theo định lý Bơ-zu ta có:
 f (x) : (x 1) dư 6 f ( 1) 6 2.( 1)3 a.( 1) b 6 a b 4
 f (x) : (x 2) dư 21 f (2) 21 2.23 a.2 b 21 2a b 5 .
Để tìm a , b ta có:
 a b 4 a b 4 a b 4 a 3
 2a b 5 3a 9 a 3 b 1
Vậy đa thức cần tìm là f (x) 2x3 3x 1.
Bài 2. Đa thức f (x) khi chia cho x 1 dư 4 , khi chia cho x2 1 dư 2x 3. Tìm số dư khi chia f (x) 
cho (x 1).(x2 1)
Lời giải:
 Theo định lý Bơ - zu, ta có: f (x) : (x 1) dư 4 f ( 1) 4 .
Do bậc của đa thức chia là 3 nên bậc của đa thức dư là bậc 2 . Vì thế, đa thức dư có dạng ax2 bx c . 
Theo định nghĩa phép chia còn dư ta có: Bài 1. Xác định a , b để đa thức ax3 12x2 bx 1 là luỹ thừa bậc 3 của một đa thức khác.
Lời giải:
 Vì đa thức ax3 12x2 bx 1 là luỹ thừa bậc 3 của một đa thức khác, nên bậc của đa thức cần tìm 
phải là bậc nhất. Hay đa thức cần tìm có dạng: mx n .
 Theo bài ra ta có: 
 ax3 12x2 bx 1 mx n 3
 m3 x3 3m2 x2n 3mxn2 n3
 Theo phương pháp hệ số bất định ta phải có:
 a m3 a m3
 3m2n 12 m2 4 m 2 thì a 8;b 6
 2 
 3mn b 3m b m 2 thì a 8;b 6
 3 
 n 1 n 1
 Vậy có hai đa thức thoả mãn điều điện bài toán đó là :
 8x3 12x2 6x2 1 2x 1 3
 hoặc 8x3 12x2 6x2 1 2x 1 3
Bài 2. Tìm các số a,b,c để x3 - ax2 bx - c x - a x -b x - c 
Lời giải:
 Theo bài ra ta có: 
 x3 - ax2 bx - c x - a x -b x - c 
 x2 -bx - ax ab (x - c)
 x3 -bx2 - ax2 abx - cx2 bcx acx - abc
 x3 - a b c x2 ab bc ca x - abc.
 Dùng phương pháp hệ số bất định, ta phải có: 
 a a b c b c 0 b c 0
 b ab bc ca b a(b c) bc b bc
 c abc c abc c abc
 Do b bc nên b 1 c 0 vậy có hai trường hợp xảy ra:
 *) Nếu b 0 thì c 0 và a là tuỳ ý
 **) Nếu b 0 thì c 1 và a 1; b 1.
Bài 3. Cho đa thức A ax3 6x2 bx -10
a) Hãy xác định hệ số a , b của đa thức A biết A chia hết cho đa thức B x2 3x 2
b) Xác định thương trong phép chia trên. P(x) 25 18x x(x 1) P(x) x 2 19x 25 .
Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x) , biết: P (0) 10 , P (1) 12 , P (2) 4, P (3) 1
Lời giải
 Đặt: P x d cx bx x -1 ax x -1 x - 2 
 Cho x 0 , P 0 d , suy ra d 10 . 
 P x 10 cx bx x -1 ax x -1 x - 2 
 Cho x 1, P 1 10 c , suy ra c 2 . 
 P x 10 2x bx x -1 ax x -1 x - 2 
 Cho x 2 , P 2 10 4 2b , suy ra b 5 . 
 P x 10 2x -5x x -1 ax x -1 x - 2 
 5
 Cho x 3, P 3 10 6 30 6a , suy ra a . 
 2
 5
 P x 10 2x -5x x -1 .x x -1 x - 2 
 2
 Rút gọn ta được đa thức cần tìm là:
 5 25
 P(x) x3 x2 12x 10
 2 2
Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x) , biết khi chia P(x) cho ( x 1), ( x 2), ( x 3) đều được dư bằng 6 và 
P( 1) 18.
Hướng dẫn: Đặt P(1)(x) b0 b1 (x 1) b2 (x 1)(x 2) b3 (x 1)(x 2)(x 3)
Bài 4: Cho đa thức P(x) bậc 4 thoả mãn:
 P -1 0 và P x - P x -1 x x 1 2x 1 
 1. Xác định P(x) .
 2. Suy ra giá trị của tổng sau đây ( n là số nguyên dương).
 S 1.2.3 2.3.4 ... n n 1 2n 1 
Lời giải:
Cho x 0 , suy ra P 0 P 1 0 mà P 1 0 , vậy P 0 0 .
Cho x lần lượt các giá trị x 1; x 1; x 2 , ta nhận được 
 P -2 0; P 1 6; P 2 36
Đặt P x e d x 2 c x 2 x 1 b x 2 x 1 x a x 2 x 1 x x -1 
 Cho x 2 , P 2 e , suy ra e 0 . Cho x 3, suy ra f 3 d 3 9 6a d 12 6a vì f 3 f 2 9 nên 
 1
 d 12 6a d 5 9 a 
 3
 3 1
Khi đó: f (x) d x x(x 1) x(x 1)(x 2)
 2 3
 1 1 1
Vậy f (x) x3 x2 x d (d ¡ )
 3 2 6
**) Theo bài ra ta có: f x f x 1 n2
Cho x 1;2;...;n ta được f 1 - f 0 12
 f 2 f 1 22
 .....................................
 f x f x 1 n2
 Cộng vế với vế ta sẽ được: f n f 0 12 22 .... n2
 3 2
 1 3 1 2 1 2n 3n n
Suy ra S n n n d d 
 3 2 6 6
 n n 1 2n 1 
Vậy S 
 6 2x 6 2y 6
l. L tại x 2y 6
 3x 2y 4y x
 z y y 
m. M 1 1 1 (x, y, z 0) tại x y z 0 .
 x z z 
 1 1
Lời giải: A. x x 
 2 2
 1 1
 * Với x thì Mẫu 2x-1=2. -1=0=>A không có nghĩa
 2 2
 1
 * Với x Thì A = 1
 2
 x y 0 x y x 2
 b. 
 x y 4 2x 4 y 2
 Thay x=2 và y =2 vào biểu thức B = 4 
 x y 3y
 c. với x thay vào biểu thức ta được:
 3 5 5
 2
 2 2
 3y 2 9y 15y
 5 3y 2
 5 5 24y
 C 2 2 2 2 8
 3y 2 18y 15y 3y
 10 3y
 5 5
 x y
 d. Ta có 
 2 3
 2005x 2006y 2005x 2006y 2005x 2006y 2005x 2006y 4010 6018
 2.2005 3.2006 4010 6018 4010 6018 2005x 2006y 4010 6018
 10028 499
 D 4
 2008 502
 e. Với x 1; y 1 x.y 1 
 Biến đổi: E x4 y4 x5 y5 x6 y6 x7 y7 x8 y8 x9 y9 x10 y10 
 E xy 4 xy 5 .... xy 10
 Thay x.y 1 E 1 ( 1) 1 ( 1) .... 1 1
 f. Với x 1; y 1; z 1 x.y.z 1
 Biến đổi và thay x.y.z 1ta được F = 0
 g. *Cách 1: x 11 x 1 12 
 G(x) x17 x16 (x 1) x15 (x 1) x14 (x 1) ... x(x 1) 1
 x17 x17 x16 x16 x15 x15 x14 ..... x2 x 1 x 1 10
 *Cách 2: 
 G(x) x17 12x16 12x15 12x14 ..... 12x 1 
 x17 (11x16 x16 ) (11x15 x15 ) (11x14 x14 ) ... (11x x) 1 a b b c c a a 1 a b b 1
 2 ; 2; 
 c a b b c 2 c c a 2
 a a b b 1 1
 A = A 2 3
 b c c c a 2 2
 + Nếu a b c 0 
 Vậy: + Nếu a b c 0 thì A = 3;
 a a b b
 + Nếu a b c 0 thì A = - 3; A 3 .
 b c c c a
Bài 4: Tìm x thuộc Z sao cho các biểu thức sau có giá trị nguyên :
 x 2 x 3 x2 2x 3
 A. A ( x 3) b. B ( x 2) c. C 
 x 3 x 2 (x 1)(x 1)
 x 2 x 3 5 x 3 5 5
Lời giải: A. A 1 (x 3) . Với x Z thì M Z 
 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
 x 3 1 x 4
 x 3 1 x 2
 x 3 Ư(5)= 1; 5 
 x 3 5 x 8
 x 3 5 x 2
 Tìm giá trị ngyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên :
 x 3 x 2 5 x 2 5
b. . Với x thuộc Z và x khác -2 thì B thuộc Z 
 x 2 x 2 x 2 x 2
 x 2 1 x 1
 x 2 1 x 3
 x 2 Ư(5) = 1;-1;5;-5 
 x 2 5 x 3
 x 2 5 x 7
c. -Tìm ĐKXĐ: x 1 
 -Tử là tam thức bậc 2 nên phải tách b hoặc c để thu gọn
 x2 3x 2 3 (x 3)x (x 3) (x 3)(x 1) x 3
 C 
 (x 1)(x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) x 1
 x 1 2 2
 - Tương tự: C 1 x thuộc Z x khác 1;-1 thì C thuộc Z nên:
 x 1 x 1
 x 1 1 x 0(tm)
 x 1 1 x 2(tm)
 x 1 Ư (2) = 1 ; -1 2 ; -2 
 x 1 2 x 1(khongtm)
 x 1 2 x 3(tm)
 - Vậy x= 0 ; -2 ; 3 thì A có giá trị nguyên
 5 x
Bài 5: Cho biểu thức A . Hãy tìm giá trị ngyên của x để:
 x 2
 A. A có giá trị nguyên ?