Bộ 19 Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 7 - Chuyên đề 10: Hàm số và đồ thị

 CHUYÊN ĐỀ 10: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
PHẦN I. LÝ THUYẾT:
1.Hàm số
1.1.Định nghĩa:
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được 
chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số.
1.2.Chú ý
-Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng.
-Hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng công thức,
-Khi y là hàm số của x ta có thể viết: y = f (x);y = g(x);...
2.Mặt phẳng tọa độ
2.1.Mặt phẳng tọa độ
-Mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy) được xác định bởi hai trục số vuông góc với 
nhau: trục hoảnh Ox và trục tung Oy; điểm O là gốc tọa độ.
2.2.Tọa độ một điểm
-Trên mặt phẳng tọa độ:
￿Mỗi điểm M xác định một cặp số (x0;y0 ). Ngược lại mỗi cặp số (x0;y0 ) xác định một điểm M.
￿Cặp số (x0;y0 ) gọi là tọa độ của điểm M, x0 là hoành độ, .y0 . là tung độ của điểm M
￿Điểm M có tọa độ kí hiệu là M (x0;y0 )
3.Đồ thị của hàm số y = ax(a ¹ 0)
3.1.Đồ thị của hàm số y = f (x)
-Đồ thị của hàm số y = f (x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x;y) trên 
mặt phẳng tọa độ. Đáp án:
a) Có b) có c) Không vì mỗi giá trị của x tương ứng với 2 giá trị của y
d) Không vì giá trị x = 0 không tương ứng với bất kì giá trị nào của y.
e) Không vì mỗi giá trị của x tương ứng với 2 giá trị của y
Dạng 2: Tính giá trị của hàm số tại giá trị của một biến cho trước:
I. Phương pháp giải
- Nếu hàm số cho bằng bảng thì cặp giá trị tương ứng của x và y nằm cùng một cột.
- Nếu hàm số cho bằng công thức ta thay giá trị của biến đã cho vào công thức để tính giá trị tương 
ứng của đại lượng kia.
Ví dụ: Cho y=f(x)=3x+2 Tính f(2); f(-1)
Giải: Ta có f(2)=3.2+1=7; f(-1)=3.(-1)+1=-2
*Nếu bài toán không cho biết công thức hàm số mà chỉ cho đẳng thức mà hàm số thỏa mãn và tính 
f (a) thì ta thay x = a vào đẳng thức bài ra, khi đó xuất hiện thêm một giá trị của f (b) nào đó ta lại 
tiếp tục thay x = b vào đẳng thức bài ra để ra được 2 biểu thức liên hệ từ đó tính f (a) .
II. Bài tập
* Trắc nghiệm nhanh củng cố về khái niệm hàm số.
Bài 1: Cho biết x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng sau:
 x 1 2,5 8 10
 y -4 -2,5 -2
Đáp án:
 x 1 2,5 4 -5 8 10
 y -10 -4 -2,5 -2 -1,25 -1
Bài 2: Cho hàm số y = f (x) = x + 1 . Tính f (- 2); f (2) ?
Đáp án: f(-2) = 1, f(2) = 3.
Bài 3: Cho hàm số y = f (x) = 2x + 1. Kết quả nào sau đây là đúng:
A. f (0) = 2. B. f (- 1) = - 3 . C. f (2) = 5. D. f (1) = 0.
Đáp án: C
Bài 4: Hàm số y = f (x) . Nếu f (1) = 2, thì:
A. x = 2;y = 1B. x = 1;y = 1C. x = 1;y = 2D. x = 2;y = 2
Đáp án: C
* Tính giá trị của một hàm số tại giá trị của biến cho trước khi biết công thức hàm số
Bài 1: Cho hàm số y = f (x) = 3x + 2 ïì 1
 ï f (2) + 3f ( ) = 4
 ï
Do đó íï 2
 ï 1 1
 ï 3f ( ) + 9f (2) =
 îï 2 4
 15
Tính được - 8f (2) =
 4
 - 15
Hay f (2) = .
 32
Bài 3: Cho f (x) là một hàm số thỏa mãn điều kiện 3f (x) + 2f (1- x) = 2x + 9. Tính f (2)
HD: Tương tự, có 3f (2) + 2f (- 1) = 13
3f (- 1) + 2f (2) = 7
 ì
 ï 9f (2) + 6f (- 1) = 39
Hay í hay 5f (2) = 25
 ï 6f (- 1) + 4f (2) = 14
 îï
Do đó f (2) = 5
Bài 4:
 Cho hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện: 3f (x)- xf (- x) = x + 9 với mọi x thuộc ¡ . Tính f (3) .
HD: Tính tại x = 3 và x = - 3
KQ: f (3) = 3
Bài 5: Cho hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện: 2.f (x) - x.f (- x) = x + 10 với mọi x Î ¡ . Tính f (2) .
HD: 2f (2) - 2f (- 2) = 12 hay f (2) - f (- 2) = 6
 2f (- 2) + 2f (2) = 8 Từ đó tính được f (2) = 5.
Bài 6:
 a) Cho hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện f (x) + xf (- x) = x + 1. Tính f (3) .
 b) Cho hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện 2020f (x) - xf (- x) = x + 2021. Tính f (2020).
 HD:
 a) f(3) = 1
 2021
 f (2020) =
 b) 2020 Hướng dẫn:
 1 1
Do tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ nên y = f (x) = x
 2 2
 1
a) Để f (x) = - 5 thì .x = - 5 hay x = - 10.
 2
 1 1
b) f (x ) - f (x ) = .x - .x = 12.(x - x ) > 0f (2) + f (- 2) = 4 ( Do x > x )
 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2
Do đó f (x1) > f (x2) .
Bài 10:
Cho hàm số .y = f (x) = ax 2 + bx + c .. Biết f (0) = 2018; f (1) = 2019; f (- 1) = 2021. Tính f (- 2) .
Hướng dẫn: Ta có f (0) = c = 2018
f (1) = a + b + c = 2019 Þ a + b = 1
f (- 1) = a - b + c = 2021 Þ a - b = 3
Từ đó tính được a = 2;b = - 1. Khi đó f (x) = 2x 2 - x + 2018.
Suy ra, f (- 2) = 8 + 2 + 2018 = 2028.
 1
Bài 11: Cho hàm số y = f (x) = x + .
 2
 æ ö æ ö æ ö æ ö
 ç 1 ÷ ç 2 ÷ ç2019÷ ç2020÷
Tính tổng S = f (0) + f ç ÷+ f ç ÷+ ... + f ç ÷+ f ç ÷+ f (1) .
 èç2021ø÷ èç2021ø÷ èç2021ø÷ èç2021ø÷
HD:
 æ ö æ ö
 1 ç 1 ÷ 1 1 ç2020÷ 2020 1 1
f (0) = ; f ç ÷= + ;...; f ç ÷= + ; f (1) = 1+ .
 2 èç2021ø÷ 2021 2 èç2021ø÷ 2021 2 2
 æ ö æ ö
 ç1 1÷ ç 1 2 2020 2021÷ 1
S = ç + ... + ÷+ ç + + ... + + ÷y (nhóm đầu có 2022 số )
 èç2 2ø÷ èç2021 2021 2021 2021ø÷ 2
 1 1
S = 2022. + (1+ 2 + ... + 2021)
 2 2021
 1 2021.2022
S = 1011+ . = 1011+ 1011 = 2022.
 2021 2 y
 4
 2
 1
 1 2 3 x
 -5 O 5
 -3 -2 -1
 -1 y=f(x)= (-1/2) x
 -2
 -4
Bài 2: Cho hàm số y = kx
a) Tìm k biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;3)
b) Vẽ đồ thị của hàm số trên với k vừa tìm được ở câu a
Đáp án
a) Vì đồ thị hàm số y = kx đi qua điểm A( 1; 3) nên thay x = 1; y = 3 vào hàm số ta có:
 3 = k.1 → k = 3. Vậy k = 3.
b) Với k = 3 ta có hàm số y = 3x.
Đồ thị hàm số y = 3x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O( 0; 0) và điểm A ( 1; 3).
Bài 3: Cho hàm số y = f (x) = 2x
 æö æ ö
 ç1÷ ç3÷
a) Tính f ç ÷;f ç ÷
 èç2ø÷ èç2ø÷ y
 4
 2
 1
 1 2 3 x
 -5 O 5
 -3 -2 -1
 -1 y=f(x)= (-1/2) x
 -2
 -4
 - 1
a) f (1) = ; f (2) = - 1;
 2
f (0) = 0 .
b) Khi y = - 1 => x = 2 .
y = 0 => x = 0.
y = 2 => x = - 4.
Bài 6. Cho hàm số y = 5x các điểm A,B,C,D thuộc đồ thị hàm số
 2
a) Tìm tọa độ điểm A và B nếu biết hoành độ điểm A là 1, hoành độ điểm B là 
 15
b) Tìm tọa độ điểm C và D nếu biết tung độ của C là 0 và tung độ của D là 125
 Lời giải
a) Gọi tọa độ điểm A là: A( xA; yA) => xA = 1
Lại có điểm A thuộc đồ thị hàm số y = 5x nên:
yA = 5.xA = 5.1 = 5
Vậy A( 1; 5)
 æ ö
 ç 2 2÷
Tương tự thì B ç ; ÷
 èç15 3ø÷
c) Làm tương tự như câu a ta được tọa độ các điểm C(0;0);D(25;125) .
Bài 7: Cho hàm số y = f (x) = ax + 2 có đồ thị đi qua điểm A(a - 1; a2 + a). g) Chứng tỏ rằng tam giác AOC không là tam giác đều. 
a) Các điểm A, B, C được vẽ trên một mặt phẳng tọa độ Oxy (hình vẽ trên)
b) Để ABCD là một hình vuông thì tọa độ của điểm D là (6; 6).
c) Có BC = 4 (đơn vị độ dài) nên chu vi hình vuông ABCD bằng 4.4=16 (đơn vị độ dài)
và diện tích hình vuông bằng 4.4=16 (đơn vị diện tích)
d) Ta thấy các điểm O(0;0); B(2;2); D(6;6) có hoành độ bằng tung độ nên O; B; D nằm trên đường 
đường thẳng y = x hay 3 điểm O; B; D thẳng hàng.
e) Áp dụng định lý Pytago suy ra được OC = 62 + 22 = 40
tương tự OA = 62 + 22 = 40
AC = 42 + 42 = 32
Suy ra tam giác OAC không có 3 cạnh bằng nhau. Vậy tam giác OAC không phải là tam giác đều.
Dạng 4: Tìm hệ số a của đồ thị hàm số y = ax + b khi biết một điểm đi qua. Qua hai điểm, cắt hai 
trục., kiểm tra một điểm có thuộc đồ thị hàm số hay không
PP: Ta thay tọa độ điểm đi qua vào đồ thị để tìm a.
Ví dụ: cho y = a.x . Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua A(1;3)
Giải: Thay x = 1;y = 3 vào đồ thị ta được 3 = a.1 = > a = 3. Vậy, y = 3x.
Ví dụ: Tìm a và b biết đồ thị y = a.x + b đi qua A(1;3) và B(2;5)
Giải: Thay x = 1;y = 3, ta có: 3 = a + b
Thay x = 2;y = 5 , ta có: 5 = 2a + b
Trừ theo vế ta có: a = 2 Þ b = 1
PP: Để kiểm tra 1 điểm có thuộc đồ thị hàm số hay không ta thay giá trị của x và y vào đồ thị hàm số, 
nếu được đẳng thức đúng thì điểm đó thuộc đồ thị hàm số và ngược lại.
Ví dụ: Cho y = 2x + 1; các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số không: A(1;3);B(3;2) ì
 ï = 2x - x = x voi x ³ 0
b) y = 2x- | x |= í
 ï = 2x - (- x) = 3x voi x < 0
 îï
+ Bảng giá trị 
 x 0 1 -1
 y = x 0 1
 y = 3x 0 -3
Đồ thị hàm số y = 2x- | x | có dạng như hình vẽ trên.
Bài 2:
a) Vẽ đồ thị hàm số y =∣ 2x |
b) Tính diện tích hình tam giác giới hạn bởi đồ thị các hàm sốy =∣ 2x | và y = 6
Đáp án:
 ì
 ï 2x voi x ³ 0
y = 2x = í
 ï - 2x voi x £ 0
 îï
Đồ thị hàm số y =∣ 2x | và y = 6 như hình vẽ dưới.
Đồ thị hàm số y =∣ 2x | gồm 2 tia OA, OB với O(0;0),A(- 3;6),B(3;6) .
Đồ thị hàm số y = 6 cắt đồ thị hàm số y =∣ 2x | tại hai điểm A và B.