Bộ 19 Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 7 - Chuyên đề 1: Dãy số viết theo quy luật, dãy phân số

 ĐS7. CHUYÊN ĐỀ 1- DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT – DÃY PHÂN SỐ.
ĐS7.I. DÃY CÁC SỐ TỰ NHIÊN
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
A. Dãy số mà các số hạng cách đều (dãy cộng)
 1. Lý thuyết
 Dãy số a1;a2;a3;...;an trong đó a2 a1 d;a3 a2 d;a4 a3 d;...
 Dãy số trên là dãy số cách đều khoảng cách d
 * Số hạng thứ n của dãy khi biết d;a1 
 an a1 n 1 d
 * Số số hạng của dãy
 n an a1 : d 1
 * Tổng các số hạng đầu tiên của dãy cộng:
 S a1 an .n : 2
 Chú ý: 
* Công thức tổng quát: A 1 2 3 4  n n n 1 : 2
B. Dãy số mà các số hạng không cách đều nhau 
 *Một số công thức tổng quát: 
A 1.2 2.3   n 1 .n n 1 .n. n 1  : 3
A 1.2.3 2.3.4 3.4.5  n - 1 .n. n 1 . n 1 .n. n 1 n 2 : 4
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Dãy số mà các số hạng cách đều (dãy cộng)
I.Phương pháp giải.
* Số hạng thứ n của dãy khi biết d;a1 
 an a1 n 1 d
 * Số số hạng của dãy
 n an a1 : d 1
 * Tổng các số hạng đầu tiên của dãy cộng:
 S a1 an .n : 2
 Chú ý: 
* Công thức tổng quát: A 1 2 3 4  n n n 1 : 2
II. Bài toán.
Bài 1: Tính tổng của dãy số: 
a) A 1 2 3 4  100
b) B 6 7 8 ... 245 A 1 2 3 4  200 200 1 .200: 2 20100
b) B 5 6 7 ... 144 .
Số số hạng của tổng là: 166 1 :3 1 56 (số hạng)
B 5 6 7 ... 144 144 5 .56: 2 4172
Bài 5: Tính tổng của dãy số: 
a) E 1 3 5 7  99 ;
b) F 1 4 7 ... 91.
Lời giải 
a) E 1 3 5 7  49
Số số hạng của tổng là: 49 1 : 2 1 25(số hạng)
E 1 3 5 7  99 99 1 25: 2 1250
b) F 1 4 7 ... 91
Số số hạng của tổng là: 91 1 :3 1 31(số hạng)
F 1 4 7 ... 91 91 1 .31: 2 1426
Bài 6: 
a) Tính tổng các số tự nhiên nhỏ hơn 50 ;
b) Tính tổng các số tự nhiên chẵn không vượt quá 100 ;
c) Tính tổng các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 200 .
Lời giải 
a) Tính tổng các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là 1 2 3 ... 49
Số số hạng của tổng là: 49 1 :1 1 49 (số hạng)
1 2 3 ... 49 49 1 .49: 2 1225
b) Tính tổng các số tự nhiên chẵn không vượt quá 100 là 2 4 6 ... 100
Số số hạng của tổng là: 100 2 : 2 1 50 (số hạng)
2 4 6 ... 100 100 2 .50: 2 2550
c) Tính tổng các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 200 là 1 3 5 ... 199
Số số hạng của tổng là: 199 1 : 2 1 100(số hạng)
1 3 5 ... 199 199 1 .100: 2 10000.
Bài 7: Cho tổng M 1 4 7 ... 166
a) Tìm số hạng thứ 41 của tổng
b) Tính M.
Lời giải 
M 1 4 7 ... 166 Ta chú ý tới đáp số 990 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số tự 
 nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp.
Bài 3: Tính tổng của dãy số: A 1.2.3 2.3.4 4.5.6  8.9.10
 Lời giải
 A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 5.6.7 6.7.8 7.8.9 8.9.10
 4A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 5.6.7 6.7.8 7.8.9 8.9.10 .4
 4A 1.2.3. 4 0 2.3.4. 5 -1  8.9.10. 11 7 
 4A 1.2.3.4 1.2.3.4 2.3.4.5 2.3.4.5  -7.8.9.10 8.9.10.11 
 4A 8.9.10.11 
 Vậy A 8.9.10.11: 4 1980
Bài 4: Tính tổng: A 1.2   3.4    99.100
 Giải
 A 1.2   3.4    99.100
 3A 1.2 3 0 2.3 4 1 3.4 5 2  99.100 101 98 
 1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 ... 99.100.101 98.99.100
 99.100.101
 99.100.101
 A 333300
 3
 Trong bài toán này, ta có thể không nhân A với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng 
 làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được.
 Cách 2:
 A 2    2 1 .4    4 1  6     98  1 .100
 2   2.4 4   4.6 6   98.100  1 00
 2.4  4.6   98.100     2   4   6   8   1 00    
 Cách 3:
 A 1. 3  1     3 5  1     5 7  1      99 101  1  
 1.3  1    3.5   3   5.7   5    99.101   99
 1.3   3.5   5.7    99.101     1   3   5   7    99 
 Bài 5: Tính tổng: B 1.2 3.4 5.6 ... 99.100
 Ta có: B 1.2 3.4 5.6 ... 99.100
 B 2 2 1 .4 4 1 .6 ... 98 1 .100
 B 2 2.4 1.4 4.6 1.6 ... 98.100 1.100 Lời giải:
N=1.99+2.(99-1)+3.(99-2)++98.(99-97)+99.(99-98)
N=(1.99+2.99+3.99++98.99+99.99)-(1.2+2.3++97.98+98.99)
 98.99.100
N 99. 1 2 3  98 99 
 3
 99.100 98.99.100 99.100.101
N 99. 166650
 2 3 6
Bài 9: Tính tổng H 1.99 2.98 3.97 ... 50.50
Lời giải:
H 1.99 2.98 3.97 ... 50.50
 H 1.99 2. 99 1 3. 99 2 ... 50 99 49 
H 1.99 2.99 1.2 3.99 2.3 ... 50.99 49.50 
H 1.99 2.99 3.99 ... 50.99 1.2 2.3 3.4 ... 49.50 
H 99. 1 2 3 ... 50 1.2 2.3 3.4 ... 49.50 
H 99. 1 50 50:2 49.50.51 :3 
H 99.1275 41650 84575
Bài 10: Tính tổng tự nhiên
a, A 9 99 999 ... 999...9 ( 10 chữ số 9)
b, B 1 11 111 ... 111...1 (10 số 1)
Lời giải
a) Ta có: A 9 99 999 ... 999...9 ( 10 chữ số 9)
A 10 1 102 1 103 1 ... 1010 1 
 10 102 103 ... 1010 10
 111...10 10 111...100 ( 9 số 1)
b) B 1 11 111 ... 111...1 (10 số 1)
Ta có: 9B 9 99 999 .... 9999...99 ( 10 chữ số 9)
9B 10 1 102 1 103 1 ... 1010 1 
 10 102 103 ... 1010 10
 111...10 10 11111111100 ( 9 chữ số 1)
 B 11111111100 : 9 12345678900
Bài 11: Tính tổng tự nhiên
a) C 4 44 444 ... 444...4 (10 chữ số 4)
b) D 2 22 222 ... 222...2 (10 chữ số 2)
 Lời giải 1 1 1 1
Bài 1. Tính tổng : A ... .
 7 72 73 7100
Lời giải
 1 1 1 1 1 1
 Ta có: A ... 
 7 72 73 74 7100 7101
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A A 2 2 3 3 ... 100 100 101 
 7 7 7 7 7 7 7 7 7 
 6 7100 1
 .A 
 7 7101
 7100 1
 A .
 6.7100
 5 5 5 5
Bài 2. Tính tổng: B ... 
 3 32 33 320
Lời giải
 1 5 5 5 5 5
 Ta có: B ... 
 3 32 33 34 320 321
 1 5 5 5 5 5 5 5 5 
 B B 2 2 3 3 ... 20 20 21 
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 
 2 5.320 5
 .B 
 3 321
 5.320 5
 B ..
 2.320
Bài 3. Thu gọn các tổng sau: 
 0 1 2 2017
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a, D = ... b, E = 2 3 4 ... 50 51
 7 7 7 7 3 3 3 3 3 3
Lời giải
 1 1 1 1 1
 a, Ta có: D 1 ... 
 7 72 73 72016 72017
 1 1 1 1 1 1 1
 D ... 
 7 7 72 73 74 72017 72018
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 D D 2 2 ... 2017 2017 1 2018 
 7 7 7 7 7 7 7 7 
 8 72018 1
 D 
 7 72018
 72018 1
 D .
 8.72018
 1 1 1 1 1 1
 b, Ta có: E ... 
 3 32 33 34 351 352
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 E E 2 2 3 3 ... 51 51 52 
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 
 4 351 1
 E 
 3 352
 351 1
 E ..
 4.351
 1 1 1 1
Bài 4. Tính tổng: C ... .
 2 23 25 299
Lời giải 1 2 1 3 2 4 3 2017 2016 1 2017 
 H H 2 2 3 3 4 4 ... 2017 2017 2018 
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 
 2 1 1 1 1 1 2017
 H ... (1)
 3 32 33 34 32017 3 32018
 1 1 1 1
 Đặt A ... 
 3 32 33 32017
 1 1 1
 3A 1 ... 
 3 32 32016
 1 32017 1 32017 1
 2A 1 A .
 32017 32017 2.32017
 32017 1
 Thay A vào (1) ta được:
 2.32017
 2 32017 1 2017
 H 
 3 2.32017 32018
 2 32018 4037
 H 
 3 2.32018
 32018 4037
 H .
 4.32017
Bài 8. Tính
 2 3 100
 100 1 1 1 1 1 1 1 
 a, T 4.5 2 ... 100 1 b, I 1 ... .
 5 5 5 2 2 2 2 
Lời giải
 100 1 1 1 
 a, Ta có: T 4.5 2 ... 100 1.
 5 5 5 
 1 1 1 5100 1
 Đặt M ... . Dễ dàng tính được M . Thay vào tổng T ta được:
 5 52 5100 4.5100
 5100 1
 T 4.5100 1 5100 1 1 5100.
 4.5100
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 b, Ta có : I 1 ... I ... 
 2 22 23 24 2100 2 2 22 23 2100 2101
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 I I 2 2 3 3 ... 100 100 1 101 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 
 1 2101 1 2101 1
 I I .
 2 2101 2100
 3 4 5 100
Bài 9. Thu gọn tổng sau: F 1 ... .
 23 24 25 2100
Lời giải
 1 1 3 4 5 99 100
 Ta có: F ... 
 2 2 24 25 26 2100 2101
 1 4 3 5 4 100 99 3 1 100 
 F F 4 4 5 5 ... 100 100 1 3 101 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 
 1 1 1 1 1 1 3 100 
 F 4 5 6 ... 100 101 
 2 2 2 2 2 2 8 2 
 1 1 1 1
 Đặt A ... . Tính A rồi thay vào F.
 24 25 26 2100
Dạng 2. Dãy các phân số có quy luật triệt tiêu nhau
I.Phương pháp giải.