Bài tập tự luận Chuyên đề vectơ Toán 10

 I. VECTƠ 
1. Các định nghĩa 
 Vectơ là một đoạn thẳng cĩ hướng. Kí hiệu vectơ cĩ điểm đầu A, điểm cuối B là AB . 
 Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đĩ. 
 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB . 
 Vectơ – khơng là vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 . 
 Hai vectơ đgl cùng phƣơng nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 
 Hai vectơ cùng phương cĩ thể cùng hƣớng hoặc ngƣợc hƣớng. 
 Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cĩ cùng độ dài. 
 Chú ý: + Ta cịn sử dụng kí hiệu ab, ,... để biểu diễn vectơ. 
 + Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. 
 + Điều kiện cần và đủ để 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là 
 hai véctơ , AC cùng phương. 
2. Các phép tốn trên vectơ 
 a) Tổng của hai vectơ 
 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta cĩ: AB BC AC . 
 Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta cĩ: AB AD AC . 
 Tính chất: a b b a ; a b c a b c ; aa 0 
 b) Hiệu của hai vectơ 
 Vectơ đối của a là vectơ b sao cho ab 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là a . 
 Vectơ đối của 0 là 0 . 
 a b a b . 
 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta cĩ: OB OA AB . 
 c) Tích của một vectơ với một số 
 Cho vectơ a và số k R. ka là một vectơ được xác định như sau: 
 + ka cùng hướng với a nếu k 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0. 
 + ka k. a . 
 Tính chất: k a b ka kb ; ()k l a ka la ; k la () kl a 
 ka 0 k = 0 hoặc a 0 . 
 Điều kiện để hai vectơ cùng phƣơng: a và b a 0: cùng phương  k R b ka 
 Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng k 0: AB k AC . 
 Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phƣơng: Cho hai vectơ khơng cùng phương ab, và x tuỳ ý. 
Khi đĩ ! m, n R: x ma nb . 
 Chú ý: 
 Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: 
 M là trung điểm của đoạn thẳng AB MA MB 0 OA OB2 OM (O tuỳ ý). 
 Hệ thức trọng tâm tam giác: 
 G là trọng tâm ABC GA GB GC 0 OA OB OC 3 OG (O tuỳ ý). 
 VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ 
Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Cĩ thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) cĩ điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, 
C, D ? 
Đ/C: Đơng Thạnh-Hĩc Mơn-TPHCM Trang 1 
 12
Bài 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh: AM AB AC . 
 33
Bài 9. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho 
CN 2 NA . K là trung điểm của MN. Chứng minh: 
 11 11
 a) AK AB AC b) KD AB AC . 
 46 43
Bài 10. Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng: 
 1 1 1
 a) AM OB OA b) BN OC OB c) MN OC OB . 
 2 2 2
Bài 11. Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng: 
 24 42 11
 a) AB CM BN c) AC CM BN c) MN BN CM . 
 33 33 33
Bài 12. Cho ABC cĩ trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G. 
 21 1
 a) Chứng minh: AH AC AB và CH AB AC . 
 33 3
 15
 b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH AC AB . 
 66
Bài 13. Cho hình bình hành ABCD, đặt AB a, AD b . Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. 
Phân tích các vectơ BI, AG theo ab, . 
Bài 14. Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ BC và BD theo các vectơ AB và AF . 
Bài 15. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ AM theo các vectơ 
OA,, OB OC . 
Bài 16. Cho ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho 
MB 3 MC , NA 3 CN , PA PB 0 . 
 a) Tính PM, PN theo AB, AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng. 
Bài 17. Cho ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 
 a) Chứng minh: AA1 BB 1 CC 1 0 
 b) Đặt BB11 u, CC v . Tính BC,, CA AB theo u và v . 
Bài 18. Cho ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 
2FC. 
 a) Tính AI, AF theo AB và AC . 
 b) Gọi G là trọng tâm ABC. Tính AG theo AI và AF . 
Bài 19. Cho ABC cĩ trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B. 
 a) Chứng minh: HA 50 HB HC . 
 b) Đặt AG a, AH b . Tính AB, AC theo a và b . 
 VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ 
 Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đĩ đối với hình vẽ. Thơng thường ta biến đổi đẳng thức 
vectơ đã cho về dạng OM a , trong đĩ O và a đã được xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về: 
 – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k. 
 – Hình bình hành. 
 – Trung điểm của đoạn thẳng. 
Đ/C: Đơng Thạnh-Hĩc Mơn-TPHCM Trang 3 
 a) v MA MB 2 MC b) v MA MB 2 MC 
 c) v MA MB MC MD d) v 2 MA 2 MB MC 3 MD . 
 VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau 
 Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đĩ thoả mãn đẳng thức AB k AC , với k 
0. 
 Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức OM ON , với O là một 
điểm nào đĩ hoặc MN 0 . 
Bài 1. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA 2 OB 3 OC 0 . Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng. 
 11
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho: BH BC, BK BD . 
 56
Chứng minh: A, K, H thẳng hàng. 
 HD: BH AH AB; BK AK AB . 
 1
Bài 3. Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB 2 IC , JC JA , KA KB . 
 2
 4
 a) Tính IJ, IK theo AB và AC . (HD: IJ AB AC ) 
 3
 b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm AIB). 
Bài 4. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MB 3 MC , 
NA 3 CN , PA PB 0 . 
 a) Tính PM, PN theo AB, AC . 
 b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng. 
 1 1
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD = AF, AB = AE. 
 2 2
Chứng minh: 
 a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng. 
 b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành. 
Bài 6. Cho ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: IA 30 IC , JA 2 JB 3 JC 0 . Chứng minh 3 điểm I, J, B 
thẳng hàng. 
Bài 7. Cho ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MA 4 MB 0 , NB 30 NC . Chứng minh 3 điểm M, G, N 
thẳng hàng, với G là trọng tâm của ABC. 
Bài 8. Cho ABC. Lấy các điểm M N, P: MB 2 MC NA 2 NC PA PB 0 
 a) Tính PM, PN theo AB và AC . b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng. 
Bài 1. Cho ABC. Về phía ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh các tam giác RIP 
và JQS cĩ cùng trọng tâm. 
Bài 2. Cho tam giác ABC, A là điểm đối xứng của A qua B, B là điểm đối xứng của B qua C, C là điểm đối xứng của 
C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A B C cĩ chung trọng tâm. 
Bài 3. Cho ABC. Gọi A , B , C là các điểm định bởi: 2ABAC 3 0 , 2BCBA 3 0 , 2CACB 3 0 . Chứng 
minh các tam giác ABC và A B C cĩ cùng trọng tâm. 
Bài 4. Trên các cạnh AB, BC, CA của ABC lấy các điểm A , B , C sao cho: 
 AA BB CC 
 AB BC AC
Đ/C: Đơng Thạnh-Hĩc Mơn-TPHCM Trang 5 
 b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức: 
 MN 22 MA MB MC 
 luơn đi qua một điểm cố định. 
 c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 32HA HB HC HA HB . 
 d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 23KA KB KC KB KC 
Bài 4. Cho ABC. 
 a) Xác định điểm I sao cho: IA 3 IB 2 IC 0 . 
 b) Xác định điểm D sao cho: 3DB 2 DC 0. 
 c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng. 
 d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA 3 MB 2 MC 2 MA MB MC . 
 II. TOẠ ĐỘ 
Trục toạ độ 
 Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đĩ đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị e . Kí hiệu 
 Oe; . 
 Toạ độ của vectơ trên trục: u (). a u a e . 
 Toạ độ của điểm trên trục: M(). k OM k e . 
 Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB a AB a. e . 
 Chú ý: + Nếu AB cùng hướng với e thì AB AB . 
 Nếu AB ngược hướng với e thì AB AB . 
 + Nếu A(a), B(b) thì AB b a . 
 + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta cĩ: AB BC AC . 
2. Hệ trục toạ độ 
 Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuơng gĩc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là ij, . O là gốc toạ độ, 
Ox là trục hồnh, Oy là trục tung. 
 Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u (;).. x y u x i y j . 
 Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M(;).. x y OM x i y j . 
 Tính chất: Cho a ( x ; y ), b ( x ; y ), k R , A(; xAABBCC y ),(; B x y ),(; C x y ): 
 xx 
 + ab + a b (;) x x y y + ka (;) kx ky 
 yy 
 + b cùng phương với a 0 k R: x kx và y ky . 
 xy 
 (nếu x 0, y 0). 
 xy
 + AB (;) xBABA x y y . 
 x x y y
 + Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: xy ABAB; . 
 II22
 x x x y y y
 + Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xy ABCABC; . 
 GG33
Đ/C: Đơng Thạnh-Hĩc Mơn-TPHCM Trang 7