Bài tâp Chuyên đề căn bậc hai và một số vấn đề liên quan Toán 9

 CHUYÊN ĐỀ 1 
 CĂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 
I. Kiến thức 
1) Định nghĩa, tính chất của căn bậc hai
 a) Căn bậc hai của số thực a không âm là số x sao cho x2 a.
 b) Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.
 x 0
 c) Với a 0 ta có x a 2
 x a
 d) Với hai số a và b không âm, ta có a b a b .
2) ĐKXĐ của căn thức bậc hai:
 A có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) A 0
3) Các công thức biến đổi căn thức
 1. A2 A
 2. A.B A. B với A, B 0.
 A A
 3. với A 0 và B 0.
 B B
 4. A2.B A B với B 0.
 5. A B A2 B với A, B 0. 
 A B A2 B với A 0;B 0.
 A 1
 6. AB với AB 0, B 0.
 B B
 A 1
 7. AB với AB 0, B 0.
 B B
II. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
 3 2
 a) 2x 3 b) c) d) x2 10x 25.
 2x 1 x 1
Hướng dẫn:
 3
 a) ĐKXĐ của biểu thức là 2x 3 0 x .
 2
 1
 b) ĐKXĐ của biểu thức là 2x 1 0 x .
 2 Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức:
 2 2
a) A ;
 3 1 3 1
 2 2 1
b) B : ;
 5 3 5 3 3
 2 3 2 3
c) C .
 2 3 2 3
Hướng dẫn:
 2 2 2 3 1 2 3 1 
 a) A 3 1 3 1 2.
 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 
 2 5 3 2 5 3 
 2 2 1 
 b) B : . 3 5 3 5 3 . 3 
 5 3 5 3 3 5 3 5 3 
 2 3. 3 6.
 2 2
 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1
 c) C 2 2 
 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1
 2 2
 3 1 3 1 
 4.
 2 2
Ví dụ 4. Cho x 3 2. Tính giá trị của biểu thức B x5 3x4 3x3 6x2 20x 2024.
Hướng dẫn:
Ta có x 3 2 x 2 3 x2 4x 1 0.
B x5 3x4 3x3 6x2 20x 2024
 x5 4x4 x3 x4 4x3 x2 5x2 20x 5 2019
 x3 x2 4x 1 x2 x2 4x 1 5 x2 4x 1 2019
 x2 4x 1 x3 x2 5 2019
Từ đó tính được B 2019.
 1 7 1
Ví dụ 5. Cho biểu thức A : với x 0, x 1.
 x 2 x 4 x 2
 a) Rút gọn biểu thức A.
 2 2
 b) Tính giá trị của biểu thức với x .
 2 3 2 3
Hướng dẫn:
 a) Với x 0, x 1 ta có Hướng dẫn: 
 3 x
 a) Rút gọn biểu thức B ta được B .
 x 1
 3 x 3
 b) Ta có B 3 với x 0, x 16.
 x 1 x 1
 Trường hợp 1: x không là số chính phương x 1 là số vô tỉ B không nhận giá trị 
 nguyên.
 Trường hợp 2: x là số chính phương x 1 là số nguyên.
 3
 B nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên x 1 là ước dương của 3
 x 1
 ) x 1 1 x 0 (thỏa mãn điều kiện)
 ) x 1 3 x 4 (thỏa mãn điều kiện)
 Kết luận: x 0; x 4.
 3 x 3
 c) Ta có B 3 với x 0, x 16. Suy ra B 3.
 x 1 x 1
 Dễ chứng minh được B 0. Từ đó suy ra 0 B 3.
 1 
 Mà B nhận giá rị nguyên B 0;1;2. Từ đó tìm được x 0; ;4 .
 4 
III. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức sau
 A = 15 216 33 12 6
 B = 3 5 3 5
 C = 21 6 6 21 6 6
 D = 4 10 2 5 4 10 2 5
2. So sánh 
 a) A 2020 2019 và B 2018 2017;
 b) C 2020 2018 và D 2 2019.
 2 x 2
3. Cho hai biểu thức A x 2 và B với x 0; x 4 
 2 x 2 x x
 a) Tính giá trị của biểu thức A với x 6 2 5.
 b) Rút gọn biểu thức B. 1 1 1 5 1 5
 10. Tính giá trị của S . Biết x = và y = .
 x 1 2 y 1 2 2 2
 4 1- 9 + 4 2
 11. Rút gọn biểu thức P = - . 
 2 + 7- 2 10 7- 89- 28 10
 xz z z2 1
 12.Xét ba số thực dương x, y, z thoả mãn . Chứng minh rằng 
 z z2 1 y y
 1 1 1
 1. 
 xy x yz 1 yz y 1 zx z 1
 x 1 1
13. Cho biểu thức A : (với x 0 ).
 x x x x 1 x2 x
 1) Rút gọn biểu thức A.
 1
 2) Tìm các giá trị nguyên của x để là một số nguyên.
 A