Bài giảng Chuyên đề 3 - Bài 6: Hypebol - Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức

 CHUYÊN ĐỀ 3. BACHƯƠNG ĐƯỜNG CONIC I VÀ ỨNG DỤNG
 §2. Bài 6: Hypebol 1. HÌNH DẠNG CỦA HYPEBOL
HĐ1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc
 풙 풚 
 − = .
a) Hãy giải thích vì sao nếu điểm 퐌 퐱 ; 퐲 c) Với điểm 퐌 퐱 ; 퐲 thuộc hypebol, hãy so 
thuộc hypebol thì các điểm có tọa độ sánh 퐱 với a.
 퐱 ; −퐲 , −퐱 ; 퐲 , −퐱 ; −퐲 cũng 
thuộc hypebol (H.3.12).
b) Tìm tọa độ các giao điểm của hypebol với 
trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay 
không? Vì sao? 풙 풚 
Cho hypebol có phương trình chính tắc − = . Khi đó
Hypebol có hai trục đối xứng là 푶풙 và 푶풚, và có tâm đối xứng là gốc 
 toạ độ O.
Trục 푶풙 (chứa hai tiêu điểm) cắt hypebol tại hai điểm 
 − ; ,, ; và được gọi là trục thực.
Hai điểm − ; , ; được gọi là hai đỉnh.
Trục đối xứng 푶풚 không cắt hypebol và được gọi là trục ảo.
 , tương ứng được gọi là độ dài trục thực, trục ảo. 풙 풚 
 Ví dụ 1. Cho hypebol − = .
 a)Tìm độ dài các trục và tọa độ các đỉnh. b) Tìm các đường tiệm cận 
Giải.
Từ phương trình của hypebol, ta có Chú ý. Hai đường tiệm cận 
 = , = , nghĩa là = , = ퟒ. không cắt hypebol. Hơn nữa khi 
 một điểm thay đổi trên hypebol 
a) Hypebol có độ dài trục thực là = , 
 thì càng xa gốc tọa độ, khoảng 
độ dài trục ảo là = , và hai đỉnh là cách từ nó tới một trong hai 
 đường tiệm cận gần bằng 0 
 − ; , ; .
 (điều này giải thích cho việc 
b) Hypebol có hai đường tiệm cận là dùng từ “tiệm cận”).
 ퟒ ퟒ
 풚 = − 풙 và 풚 = 풙.
 2. BÁN KÍNH QUA TIÊU, TÂM SAI VÀ ĐƯỜNG CHUẨN
 Hoạt động 2.
 Cho điểm 푴 풙 ; 풚 thuộc hypebol có hai tiêu điểm 푭 − ; , 푭 ; độ 
 dài trục thực bằng .
 a) Tính 푴푭 − 푴푭 .
 b) Giả sử 푴 풙 ; 풚 thuộc nhánh chứa đỉnh ; , tức là 푴푭 − 푴푭 = .
 Tính 푴푭 + 푴푭 , 푴푭 , 푴푭 .
 c) Giả sử 푴 풙 ; 풚 thuộc nhánh chứa đỉnh − ; , 
 tức là 푴푭 − 푴푭 = . Tính 푴푭 + 푴푭 , 푴푭 , 푴푭 . Hoạt động 2.
Cho điểm 푴 풙 ; 풚 thuộc hypebol có hai tiêu điểm 푭 − ; , 푭 ; độ dài trục 
thực bằng .
 c) Giả sử 푴 풙 ; 풚 thuộc nhánh chứa đỉnh − ; , tức là, 푴푭 − 푴푭 = .
 Tính 푴푭 + 푴푭 , 푴푭 , 푴푭 .
Giải.
 c) Khi 풙 < : 푴푭 − 푴푭 = ퟒ 풙 ⇔ 푴푭 − 푴푭 푴푭 + 푴푭 = ퟒ 풙 
 ퟒ 풙 풙
 ⇔ 푴푭 + 푴푭 = = − 
 − 
 Suy ra 푴푭 = − − 풙 , 푴푭 = − 풙 .
 Hiệu độ dài bán kính qua tiêu của một điểm thuộc hypebol có mối 
quan hệ gì với độ dài trục thực?
Chú ý: Mặc dù công thức độ dài bán kính qua tiêu nói trên có chứa dấu 
giá trị tuyệt đối, nhưng từ đó, em cũng có thể dễ dàng suy luận ngược 
trở lại công thức bán kính qua tiêu ứng với từng nhánh hypebol mà em 
đã đạt được trong HĐ2:
Nếu 푴 풙; 풚 thuộc nhánh chứa đỉnh ; 
thì 풙 ≥ ⇒ + 풙 > nên 푴푭 = + 풙 = + 풙 và 푴푭 = − 풙 =
− + 풙 (để ý rằng > ).
Nếu 푴 풙; 풚 thuộc nhánh chứa đỉnh − ; 
thì 풙 ≤ − ⇒ + 풙 ) nên 푴푭 = + 풙 = − + 풙 
và 푴푭 = − 풙 = − 풙.
 Luyện tập 2.
Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng . 
Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có 
hoành độ bằng 9. 
 Giải. 
 Ta có = , = . Suy ra = , = , và = + = . 
 Điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 풙 = nên 
 푴푭 = + 풙 = + . = , 푴푭 = − 풙 = − . = .
 풙 풚 
 Ví dụ 3. Cho hypebol có phương trình chính tắc − = .
 Tìm điểm M trên hypebol để khoảng cách từ M đến tiêu điểm 푭 ; 
 nhỏ nhất (H.3.13)
 Nếu 푴 풙 ; 풚 thuộc nhánh chứa đỉnh − ; thì 풙 ≤ − nên 
 − 풙 ≥ − (− ) = + . Suy ra 
 푴푭 = − 풙 ≥ + .
 Vậy M trên hypebol để khoảng cách từ M đến tiêu điểm 푭 ; nhỏ nhất khi 
 M trùng đỉnh ; và khi đó, khoảng cách bằng − .
• Chú ý: Tương tự Ví dụ 3, khoảng cách từ M thuộc hypebol đến tiêu điểm 
 푭 − ; nhỏ nhất khi M trùng đỉnh − ; , và khi đó, khoảng cách bằng − . Hoạt động 3.
 풙 풚 
Cho hypebol có phương trình chính tắc − = với các tiêu điểm 
푭 − ; , 푭 ; Xét các đường thẳng
휟 : 풙 = − và 휟 : 풙 = (H 3.14). Với điểm 푴(풙; 풚) thuộc hypebol, tính các tỉ 
 푴푭 푴푭
số và theo và .
 풅 푴,휟 풅 푴,휟 
 Giải:
 Với điểm 푴 풙; 풚 thuộc hypebol ta có
 푴푭 + 풙 + 풙 푴푭 + 풙 − 풙 
 = = = , = = = .
 풅 푴,휟 풙+ + 풙 풅 푴,휟 풙− − 풙 
 풙 풚 
 Cho hypebol có phương trình chính tắc − = với các tiêu điểm 
 푭 − ; ,푭 ; . 
 푴푭 푴푭
 Khi điểm 푴 풙; 풚 thay đổi trên hypebol, ta luôn có = = 풆 
 풅 푴,휟 풅 푴,휟 
 không đổi, trong đó
 • 풆 = được gọi là tâm sai của hypebol.
 휟 : 풙 = − và 휟 : 풙 = được gọi là các đường chuẩn tương ứng với 
 풆 풆
 푭 − ; và 푭 ; của hypebol.
Chú ý
 •Tâm sai 풆 của hypebol là một số lớn hơn 1.
 • Độ dài các bán kính qua tiêu điểm của 푴 풙; 풚 thuộc hypebol 
còn được viết dưới dạng 푴푭 = + 풆풙 , 푴푭 = − 풆풙 . Ví dụ 5. Trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, hypebol 푯 có phương trình chính 
tắc, đi qua điểm ퟒ; và có tâm sai 풆 = . Tìm phương trình chính tắc của 
 푯 .
Phương trình chính tắc của hypebol Theo công thức tính tâm sai ta có
có dạng 풆 = = ⇒ = = . ퟒ = 
 풙 풚 
 − = . 
 Do đó = − = − ퟒ = .
Vì hypebol đi qua điểm ퟒ; nên ta Vậy phương trình chính tắc của 
có 풙 풚 
 hypebol là − = .
 − = ⇒ = ⇒ = ퟒ.
 Ví dụ 6 Giải thích vì sao ta có thể dùng hình vẽ một hypebol 푯 bất 
kì với tâm sai 풆 = , như là một hình ảnh thu nhỏ của hypebol chứa 
quỹ đạo của sao chổi Borisov mà ta đã gặp ở đầu bài học?
• Giả sử hình 푯 có độ dài trục thực bằng mét, tiêu cự bằng mét, và 
 hypebol chứa quỹ đạo của sao chổi Borisov có độ dài trục thực bằng ′ 
 mét, tiêu cự bằng ′ mét.
 ′ ′ ′
• Ta có = , = . Vậy, nếu đặt 풌 = = thì 푯 là bản vẽ thu nhỏ của 
 ′ 
 hypebol chứa sao chổi Borisov, với tỉ lệ : 풌. 
Nhận xét. Qua Ví dụ 6 ta thấy, tâm sai của của hypebol (tương tự của elip) 
 quyết định hình dạng của hypebol (elip). BÀI TẬP.
 풙 
3.7. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc −
풚 
 = . Xác định tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tâm sai và phương trình 
ퟒ
các đường chuẩn của hypebol.
 풙 풚 
Hướng dẫn: 푯 : − = .
 ퟒ
 = 
• Ta có = ⇒ . ⇒ = + = ⇒ = .
 = ퟒ = 
• Tọa độ các đỉnh: − ; , ; .
• Độ dài trục thực: = ; Độ dài trục ảo: = ퟒ.
• Tâm sai: 풆 = .
• Phương trình đường chuẩn: 휟 : 풙 = − , 휟 : 풙 = .
 3.9. Trong mặt phẳng tọa độ, hypebol có phương trình chính tắc. Lập phương trình 
chính tắc của trong mỗi trường hợp sau:
a) có nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10;
 2
b) có tiêu cự bằng 2 13, một đường tiệm cận là = ;
 3 2 2
c)• Hướng có dẫn:tâm sai 푒 = 5, và đi qua điểm 10; 6 . = 13 + = 13
 b) Ta có ⇔ 2
 2 = 
Phương trình chính tắc của hypebol = 3
 2 2 3
 : − = 1. 2 4 2
 2 2 + = 13
 9 = 3
 = 4 ⇔ 2 ⇒ .
 = = 2
a) Ta có 2 = 10 3
 2 2 2
 = − 2 2
 Vậy, : − = 1.
 2 = 16 9 4
⇒ = 5 .
 2 = 52 − 42 = 9
 2 2
Vậy, : − = 1.
 16 9