Bài giảng Chuyên đề 2 - Bài tập cuối Chuyên đề 2 - Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức

 CHUYÊN CHƯƠNGĐỀ 2. PHƯƠNG I PHÁP QUI 
 NẠP TOÁN HỌC. NHỊ THỨC 
 NEWTON Bài 2.19. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 푛 ≥ 1, ta có
 2. 21 + 3. 22 + 4. 23+. . . + 푛 + 1 . 2푛 = 푛. 2푛+1. (1)
Lời giải:
• Ta chứng minh bằng quy nạp theo 푛.
• Với 푛 = 1 ta có (1) 2. 21 = 4 = 1. 21+1 là mệnh đề đúng. Như vậy (1) đúng với 
 푛 = 1.
• Giả sử (1) đúng với 푛 = 풌 ≥ , tức là ta có 2.21 + 3.22 + 4.23+. . . + + 1 .2 =
 .2 +1.
• Ta sẽ chứng minh rằng (1) cũng đúng với 푛 = + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh
 2.21 + 3.22 + 4.23+. . . + + 1 .2 + + 1 + 1 .2 +1 = + 1 .2 +2 1 1 1
Bài 2.20. Đặt 푆 = + +. . . + .
 푛 1.3 3.5 2푛−1 2푛+1
a) Tính 푆1, 푆2, 푆3.
b) Dự đoán công thức tính tổng 푆푛 và chứng minh nó bằng quy nạp.
Lời giải:
 1 1
a) Ta có 푆 = = .
 1 1.3 3
 1 1 2
 푆 = + = .
 2 3 3.5 5
 2 1 3
 푆 = + = .
 3 5 5.7 7
 푛
b) Từ kết quả câu a) ta dự đoán 푆 = (1)
 푛 2푛+1
• Ta chứng minh (1) bằng quy nạp theo 푛, với 풏 ≥ .
 1
• Với 푛 = 1 ta có 푆 = . Như vậy (1) đúng với 푛 = 1.
 1 3 Bài 2.21. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 푛, ta có 102푛+1 + 1 chia hết cho 11. 
(1)
Lời giải:
• Ta chứng minh (1) bằng quy nạp theo 푛.
• Với 푛 = 0 ta có 102.0+1 + 1 = 11 chia hết cho 11. Vậy (1) đúng với 푛 = 0.
• Giả sử (1) đúng với 푛 = , (ĐK?) tức là 102 +1 + 1 chia hết cho 11.
• Ta cần chứng minh (1) đúng với 푛 = + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh 102 +1 +1 +
 1 chia hết cho 11.
• Thật vậy, ta có 102 +1 +1 + 1 = 102 +2+1 + 1 = 102. 102 +1 + 1 = 100.102 +1 +
 100 − 99 = 100 102 +1 + 1 − 99
• Rõ ràng −99 chia hết cho 11 và 102 +1 + 1 chia hết cho 11 theo giả thiết quy nạp.
• Vì thế 102 +1 +1 + 1 chia hết cho 11.
• Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên 푛. Bài 2.23. a) Khai triển 1 + 10. b) So sánh 1,1 10 và 2.
Lời giải:
a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có
 10 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
• 1 + = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 +
 9 9 10 10
 10 + 10 
 = 1 + 10 + 45 2 + 120 3 + 210 4 + 252 5 + 210 6 + 120 7 + 45 8 +
10 9 + 10
 10 10 10 0 1 1
b) Ta có 1,1 = 1 + 0,1 = σ =0 10. 0, 1 > 10 + 10. 0, 1 = 2
• Vậy 1,1 10 > 2. 12 2 12
Bài 2.25. Khai triển đa thức 1 + 2 thành dạng 0 + 1 + 2 +. . . + 12 . 
Tìm hệ số lớn nhất.
Lời giải:
 12 12 
• Ta có 1 + 2 = σ =0 12. 2 . 
• Do đó hệ số tổng quát trong khai triển là = 122
• Xét dãy số = 122 , = 1,12.
 +1 +1
• Ta có +1 = 12 2
 12! 12!
• Nếu < ⇔ 2 < +12 +1 ⇔ . 2 < . 2 +1
 +1 12 12 ! 12− ! +1 ! 11− !
 12! 12!
 ⇔ . 2 < . 2. 2 
 ! 12− 11− ! +1 ! 11− !
 1 2 22
 ⇔ < ⇔ <
 12− +1 3 0 2 4 2푛 1 3 5 2푛−1
Bài 2.26. Chứng minh rằng 2푛 + 2푛 + 2푛+. . . + 2푛 = 2푛 + 2푛 + 2푛+. . . + 2푛 .
Lời giải:
 2푛 0 1 2 2 3 3 4 4 2푛−2 2푛−2
• Ta có 1 + = 2푛 + 2푛 + 2푛 + 2푛 + 2푛 +. . . + 2푛 +
 2푛−1 2푛−1 2푛 2푛
 2푛 + 2푛 . (1)
 2푛 0 1 2 3
• Thay = −1 vào (1) ta được 1 − 1 = 2푛 − 2푛 + 2푛 − 2푛 +
 4 2푛−2 2푛−1 2푛
 2푛−. . . + 2푛 − 2푛 + 2푛
 0 1 2 3 4 2푛−2 2푛−1 2푛
 ⇔ 0 = 2푛 − 2푛 + 2푛 − 2푛 + 2푛−. . . + 2푛 − 2푛 + 2푛
 0 2 4 2푛 1 3 5 2푛−1
 ⇔ 2푛 + 2푛 + 2푛+. . . + 2푛 = 2푛 + 2푛 + 2푛+. . . + 2푛 (đpcm). 0 1 푛
Bài 2.27. Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị 푛 , 푛, . . . 푛 .
Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển + 푛, biết rằng tổng các hệ số của 
khai triển bằng 4096.
Lời giải:
 0 푛
• Ta có 푛 = 푛 = 1 không thể là giá trị lớn nhất.
• Xét 푛 với 1 ≤ ≤ 푛 − 1
 +1
 푛 ≥ 푛
• Ta có 푛 lớn nhất khi và chỉ khi −1
 푛 ≥ 푛
 푛! 푛!
 ≥
 푛− ! ! 푛− −1 ! +1 !
• ⇔ 푛! 푛!
 ≥
 푛− ! ! 푛− +1 ! −1 ! 0 1 푛
Bài 2.27. Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị 푛 , 푛, . . . 푛 .
Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển + 푛, biết rằng tổng các hệ số của 
khai triển bằng 4096.
 푛−1 푛+1
 2 2
• 푛 lẻ thì có hai giá trị lớn nhất là 푛 và 푛 .
• Áp dụng
• Tổng các hệ số của khai triển bằng 4096 ⇒ 2푛 = 4096 ⇔ 푛 = 12
 6
• Do 푛 chẵn, theo kết quả trên giá trị lớn nhất là 12 = 924. Bài 2.28. Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển + 푞 푛 với > 0, 푞 > 0, 
 + 푞 = 1.
• Trường hợp 3: Hai số hạng đầu tiên và cuối cùng không phải là số lớn nhất
 푛− +1 푛− −1 +1
 푛− 푛 푞 ≥ 푛 푞
Suy ra 푛 푞 lớn nhất khi và chỉ khi 푛− −1 푛− +1 −1 ,với 1 ≤ ≤ 푛 −
 푛 푞 ≥ 푛 푞
1
 ≥ 푞푛 − 
 ⇔ ⇔ 푞 푛 + 1 − 1 ≤ ≤
 ≤ 푞푛 + 
푞 푛 + 1 .
• Nếu 푞 푛 + 1 − 1 nguyên thì tồn tại 2 giá trị thỏa mãn = 푞 푛 + 1 − 1 hoặc =
 푞 푛 + 1 .
• Nếu 푞 푛 + 1 − 1 không nguyên thì là phần nguyên = 푞 푛 − 1 − 1 + 1, trong 
 đó kí hiệu là phần nguyên của .