Bài giảng Chuyên đề 2 - Bài 4: Nhị thức Newton - Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức

 CHUYÊNCHƯƠNG ĐỀ 2. PHƯƠNG I PHÁP 
 QUY NẠP TOÁN HỌC
§3. Phương pháp quy nạp 
toán học
§4. Nhị thức Newton
§3. Bài tập cuối chuyên đề 2 CHƯƠNG I
 4 NHỊ THỨC NEWTON
 1 Thuật ngữ
 • Tam giác Pascal
 • Hệ số
 • Nhị thức Newton
 2 Kiến thức, kĩ năng
• Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton thông qua tam giác Pascal.
 푛
•3 Khai triển nhị thức Newton + bằng cách sử dụng tam giác Pascal hoặc sử 
 dụng công thức tổ hợp.
• Xác định hệ số của trong khai triển + 푛 thành đa thức. 1. TAM GIÁC PASCAL
 • HĐ1: Khai triển + 푛, 푛 ∈ 1; 2; 3; 4; 5
 • Trong Bài 25 SGK Toán 10 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
 • + 4 = 4 + 4 3 + 6 2 2 + 4 3 + 4
 • + 5 = 5 + 5 4 + 10 3 2 + 10 2 3 + 5 4 + 5
 • Với 푛 ∈ 1; 2; 3; 4; 5 , trong khai triển của mỗi nhị thức + 푛:
 a) Có bao nhiêu số hạng?
 b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?
 c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng 
 tiếp theo, tính từ trái sang phải? a+b0 1 
 a+b4a+b1a+b2a+b3 1 1 41 13 26 13 41 1 1 1 + 312 = 4,23 3 + 3 = 6
 a+b5 1 5 10 10 5 1
• HĐ2: Tam giác Pascal
 Viết các hệ số của khai triển + 푛 với một số giá trị đầu tiên của 푛 trong bảng tam 
giác sau đây, gọi là tam giác Pascal
 ( + )0 1 
 ( + )1 1 1
 ( + )2 1 2 1 1 + 1 = 2
 ( + )3 1 3 3 1 1 + 2 = 3
 ( + )4 1 4 6 4 1 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6
 ( + )5 1 5 10 10 5 1
• Hàng đầu quy ước gọi là hàng 0. Hàng 푛 ứng với các hệ số trong khai triển nhị thức 
 + 푛. a+b5 1 5 10 10 5 1
 a+b5 1 5 10 10 5 1
a+b6 1 6 15 20 15 6 1 1 + 5 =6, 5 + 10 = 15, 10 + 10 = 20
 a+b6 1 6 15 20 15 6 1 1 + 5 =6, 5 + 10 = 15, 10 + 10 = 20
 • Ví dụ 1.
 • Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của + 6.
 Lời giải
 • Khai triển của + 6 có dạng :
 + 6 = 6+? 5 +? 4 2+? 3 3+? 2 4+? 5 + 6
 • Các hệ số trong khai triển này là các hệ số ở hàng 6 của tam giác Pascal. Do đó ta 
 có ngay
 + 6= 6 + 6 5 + 15 4 2 + 20 3 3 + 15 2 4 + 6 5 + 6. 
 . Lời giải
a) Dựa vào hàng 7 của tam giác Pascal, ta có
• + 7 = 7 + 7 6 + 21 5 2 + 35 4 3 + 35 3 4 + 21 2 5 + 7 6 + 7.
b) Ta viết khai triển của + 4 rồi sau đó thay = 2 , = −1 vào khai triển 
nhận được.
• Dựa vào hàng 4 của tam giác Pascal, ta có
• + 4 = 4 + 4 3 + 6 2 2 + 4 3 + 4. 
• Với = 2 , = −1, ta được
• 2 − 1 4 = 2 4 + 4. 2 3 −1 + 6. 2 2 −1 2 + 4. 2 −1 3 + −1 4
 = 16 4 − 32 3 + 24 2 − 8 + 1. Lời giải
 + 4 = 4 + 4 3 + 6 2 2 + 4 3 + 4
 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4
 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 
 + 5 = 5 + 5 4 + 10 3 2 + 10 2 3 + 5 4 + 5
 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 4 5
 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 
 푛− 푛− 
• Hệ thức giữa 푛 và 푛 0 ≤ ≤ 푛 là ∶ 푛 = 푛 0 ≤ ≤ 푛 .
b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam 
giác Pascal dưới dạng: −1 
• Chứng minh 푛−1 + 푛−1 = 푛 1 ≤ ≤ 푛
• Với 1 ≤ ≤ 푛, ta có
 풏− ! 풏− !
• 푽푻 = 푪풌− + 푪풌 = +
 풏− 풏− 풌− ! 풏− −풌+ ! 풌! 풏− −풌 !
 풌 풏− ! 풏− !(풏−풌) 풏− !풏 풏! 풌
 = + = = = 푪 = 푽푷
 퐤! 풏−풌 ! 풌! 풏−풌 ! 퐤! 풏−풌 ! 퐤! 풏−풌 ! 풏
(đẳng thức được chứng minh). 2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON
Công thức Newton
 풏 풏 풏− 풏− 풌 풏−풌 풌 풏 풏
 + = 푪풏 + 푪풏 + 푪풏 +. . . +푪풏 +. . . +푪풏 
• Chứng minh
Thật vậy, ta có 
 + + = + + 
 − − − 
 = 푪 + 푪 +. . . +푪 + 푪 + 
 − − − 
 = 푪 + 푪 +. . . +푪 + 푪 +
 − − − 
 푪 + 푪 +. . . +푪 + 푪 
 + 풌 풌− + −풌 풌
 = 푪 + 푪 + 푪 +. . . + 푪 + 푪 + ⋯ +
 − + 
 푪 + 푪 + 푪 
 + 풌 풌− 풌
Vì 푪 = = 푪 + , 푪 = = 푪 + , 푪 + 푪 = 푪 + , nên ta có (2) 
Vậy công thức nhị thức Newton là đúng với mọi số nguyên dương 풏. 2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON
 Ví dụ 3. Viết khai triển nhị thức Newton + 
 Bài giải
 ퟒ ퟒ ퟒ 
Ta có : + = 푪 + 푪 + 푪 + 푪 + 푪 + 푪 + 푪 
 = + + ퟒ + + ퟒ + + .
Như vậy ta tìm lại được kết quả của Ví dụ 1, nhưng bằng phương pháp 
khác.
 풌 풌−풌 
• Chú ý: Vì 푪 = 푪 ≤ 풌 ≤ nên ta chỉ cần tính 푪 , 푪 , 푪 , 푪 và dùng 
 ퟒ 
 tính chất này để suy ra 푪 , 푪 , 푪 . 2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON
 Luyện tập 2. Khai triển biểu thức 풙 − 풚 
 Bài giải
Theo công thức nhị thức Newton, ta có :
 ퟒ 
 풙 − 풚 = 푪 풙 + 푪 풙 − 풚 + 푪 풙 − 풚 + 푪 풙 − 풚 +
 ퟒ ퟒ 
 푪 풙 − 풚 + 푪 풙 − 풚 + 푪 − 풚
 = 풙 − 풙 풚 + 풙ퟒ풚 − 풙 풚 + ퟒ 풙 풚ퟒ − 풙풚 + 풚 . 2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON
 Luyện tập 3.
 Tìm hệ số của 풙 trong khai triển thành đa thức của − 풙 .
 Bài giải
 Số hạng chứa 풙풌 trong khai triển của − 풙 là: 
 풌 −풌 풌
 푻풌+ = 푪 − 풙
 Số hạng chứa 풙 ứng với 풌 = , tức là số hạng
 푪 − 풙 = − 풙 .
 Vậy hệ số của 풙 trong khai triển của − 풙 là− . 4 BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ
2. 19. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 푛 ≥ 1, ta có 
 2. 21 + 3. 22 + 4. 23 + ⋯ + 푛 + 1 . 2푛 = 푛. 2푛+1. (1)
 Lời giải
• Ta chứng minh (1) bằng quy nạp theo 푛.
• Với 푛 = 1 thì mệnh đề trên trở thành: 2. 21 = 1. 21+1 . Vậy (1) đúng với 푛 = 1.
• Giả sử (1) đúng với 푛 = ≥ 1, ∈ ℕ , tức là 2. 21 + 3. 22 + 4. 23 + ⋯ + ( +
 1). 2 = . 2 +1 (2) 1 1 1
2.20 Đặt 푆 = + + ⋯ + .
 푛 1.3 3.5 2푛−1 2푛+1
a) Tính 푆1, 푆2, 푆3.
b) Dự đoán công thức tính tổng 푆푛 và chứng minh nó bằng quy nạp. 2. 21. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 푛, ta có 102푛+1 + 1 chia hết cho 11. 
 Lời giải
Ta sẽ chứng minh 푃 푛 : “102푛+1 + 1 chia hết cho 11” bằng quy nạp.
• Với 푛 = 1 thì 푃 1 : "103 + 1 chia hết cho 11” (đúng vì 103 + 1 = 1001 = 91.11 ).
• Giả sử 푃 đúng với ≥ 1, ∈ ℕ. Khi đó 102 +1 + 1 = 11 với ∈ ℕ.
• Ta sẽ chứng mình 푃 + 1 đúng. Thật vậy, ta có 102 +3 + 1 = 100.102 +1 + 1 =
 100 11 − 1 + 1 = 100.11. − 99 chia hết cho 11.
• Vậy ta có 푃 푛 : “102푛+1 + 1 chia hết cho 11” đúng với mọi số tự nhiên 푛. 2.23. a) Khai triển 1 + 10. b) So sánh 1,1 10 và 2.
 Lời giải
 10 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
a) 1 + = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 
 8 8 9 9 10 10
 + 10 + 10 + 10 
 = 1 + 10 + 45 2 + 120 3 + 219 4 + 252 5 + 210 6 + 120 7
 +45 8 + 10 9 + 10
b) Theo câu a) ta có 1 + 10 > 1 + 10 , ∀ > 0. Suy ra, 1,1 10 = 1 + 0,1 10 > 1 +
10.0,1 hay 1,1 10 > 2. 12 2
2. 25. Khai triển thành đa thức 1 + 2 thành dạng 0+ 1 + 2 + ⋯ +
 12
 12 . Tìm hệ số lớn nhất.
 Lời giải
 12 
Số hạng tổng quát trong khai triển của 1 + 2 là 12 2 
nên có hệ số = 12. 2 .
 12! 12!
Xét < ⇔ . 2 < +1. 2 +1 ⇔ . 2 < . 2 +1
 +1 12 12 ! 12− ! +1 ! 11− !
 23
 ⇔ + 1 < 2. 12 − ⇔ <
 3
 23
Tương tự, > ⇔ > . 
 +1 3
Do đó, ≠ +1 và 0 9 > 10 > 11 > 12.
 8 8
Vậy hệ số lớn nhất là: 8 = 12. 2 = 126720. 0 1 푛
2. 27. Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị 푛 , 푛,  , 푛 .
Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển + 푛, biết rằng tổng các hệ số của 
khai triển bằng 4096.
 Lời giải
 푛! 푛! 푛+1
Xét −1 < ⇔ < ⇔ 1 ≤ < 푛 − + 1 ⇔ 1 ≤ < .
 푛 푛 −1 ! 푛− +1 ! ! 푛− ! 2
 −1 
• Nếu 푛 = 2 , thì 2 ≠ 2 và 
 0 1 2 +1 +2 +3 2 −1 2 
 2 2 > 2 > 2 > ⋯ > 2 > 2 . 
• Nếu 푛 = 2 + 1, thì
 0 1 2 +1 +2 2 2 +1
 2 +1 2 +1 > ⋯ > 2 +1 > 2 +1 .
 푛
 0 1 푛 2
• Vậy giá trị lớn nhất trong các giá trị 푛 , 푛,  , 푛 là 푛 , với là phần nguyên 
 của số .