Bài giảng Chuyên đề 2 - Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học (Phần 2) - Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức

 Ví dụ 4.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 풏 ≥ , ta có 
 풏 > 풏 + (4)
 Lời giải
Ta chứng minh bất đẳng thức ퟒ bằng quy nạp theo 풏, với 풏 ≥ .
Với 풏 = ta có > = . + .
Vậy ퟒ đúng với 풏 = .
Giả sử ퟒ đúng với 풏 = 풌 ≥ , tức là ta có 풌 > 풌 + .
Ta cần chứng minh ퟒ đúng với 풏 = 풌 + , tức là chứng minh
 풌+ > 풌 + + = 풌 + .
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có
 풌+ = . 풌 > . 풌 + = ퟒ풌 + = 풌 + 풌 + > 풌 + do 풌 ≥ 
Vậy bất đẳng thức ퟒ đúng với mọi số tự nhiên 풏 ≥ . Ví dụ 5.Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng tổng các góc 
trong một đa giác 풏 cạnh 풏 ≥ là 풏 − . °.
 Lời giải
Thật vậy, xét đa giác 풌 + cạnh . . . 풌 풌+ , nối hai 
đỉnh và 풌 ta được đa giác 풌 cạnh . . . 풌. Theo giả 
thiết quy nạp, tổng các góc của đa giác 풌 cạnh này bằng
 풌 − . °.
Dễ thấy tổng các góc của đa giác . . . 풌 풌+ bằng tổng 
các góc của đa giác . . . 풌 cộng với tổng các góc của tam 
giác 풌+ 풌 , tức là bằng
 풌 − . ° + ° = 풌 − . °
 = 풌 + − . °.
Vậy khẳng định đúng với mọi đa giác 풏 cạnh, 풏 ≥ . Vận dụng.(Công thức lãi kép)
 풏
 Lãi suất gửi tiết kiệm trong ngân Lời giảib) Dự đoán 푻풏 = ( + 풓) .
hàng thường được tính theo thể thức Ta chứng minh dự đoán trên bằng phương 
lãi kép theo định kì. Theo thể thức này, pháp quy nạp.
nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi
 풏 = 푻 = ( + 풓)
ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì Với suy ra (đúng).
kế tiếp. Giả sử một người gửi số tiền Giả thiết công thức đúng với 풏 = 풌 ≥ , ta 
 풌
với lãi suất 풓 không đổi trong mỗi kì. có 푻풌 = ( + 풓) , ta chứng minh công thức 
 đúng với 풏 = 풌 + , nghĩa là 푻풌+ = ( +
 a) Tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) 풓)풌+ 
푻 , 푻 , 푻 mà người đó nhận được sau kì
thứ 1, sau kì thứ 2 và sau kì thứ 3. Ta có, cuối kỳ thứ 풌 số tiền gốc và lãi là 푻풌, 
 sau kỳ thứ 풌 + số tiền gốc và lãi là: 푻풌+ =
 b) Dự đoán công thức tính tổng số 푻풌 + 푻풌풓 = 푻풌 + 풓
tiền (cả vốn lẫn lãi) 푻 mà người đó thu
 풏 = ( + 풓)풌( + 풓) = ( + 풓)풌+ 
được sau 풏 kì. Hãy chứng minh công
thức nhận được đó bằng quy nạp. Vậy công thức đúng ∀풏 ∈ ℕ , 풏 ≥ . 2.1/30.
 Lời giải b) Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên 풏 ≥ : 
 풏 풏+ 풏+ 
 + + +. . . +풏 = .
 . + . + 
Với 풏 = ta có = . Vậy đúng với 풏 = .
 풌 풌+ 풌+ 
Giả sử đúng với 풏 = 풌 ≥ , tức là ta có + + +. . . +풌 = .
Ta cần chứng minh đúng với 풏 = 풌 + , tức là chứng minh 
 풌 + 풌 + 풌 + 
 + + +. . . +풌 + 풌 + =
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có
 풌 풌+ 풌+ 풌 풌+ 풌+ + 풌+ 
 + + +. . . +풌 + 풌 + = + 풌 + =
 풌+ 풌 풌+ + 풌+ 풌+ 풌 + 풌+ 풌+ 풌+ 풌+ 
 = = =
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên 풏 ≥ . 2.2/30. Mỗi khẳng định sau là đúng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đúng,
hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ là nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.
a) 풑 풏 = 풏 − 풏 + là số nguyên tố với mọi số tự nhiên 풏;
b) 풏 > 풏 với mọi số tự nhiên 풏 ≥ .
 Lời giải 
b) Khẳng định “풏 > 풏” là khẳng định đúng với mọi số tự nhiên 풏 ≥ .
Ta chứng minh bất đẳng thức 풏 > 풏 ∗ bằng quy nạp theo 풏, với 풏 ≥ .
Với 풏 = ta có > . Vậy ∗ đúng với 풏 = .
Giả sử ∗ đúng với 풏 = 풌 ≥ , tức là ta có 풌 > 풌.
Ta cần chứng minh ∗ đúng với 풏 = 풌 + , tức là chứng minh 풌 + > 풌 + .
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có
 풌 + = 풌 + 풌 + > 풌 + 풌 + > 풌 + do 풌 ≥ 
Vậy bất đẳng thức ∗ đúng với mọi số tự nhiên 풏 ≥ . 2.4/30.Chứng minh rằng 풏 − 풏 + ퟒ là số lẻ với mọi số nguyên dương 풏.
 Lời giải
Ta chứng minh “풏 − 풏 + ퟒ là số lẻ ” ∗ bằng quy nạp theo 풏, với 풏 ≥ .
Với 풏 = ta có − + ퟒ = là số lẻ. Vậy ∗ đúng với 풏 = .
Giả sử ∗ đúng với 풏 = 풌 ≥ , tức là ta có “풌 − 풌 + ퟒ là số lẻ” .
Ta cần chứng minh ∗ đúng với 풏 = 풌 + , tức là chứng minh
 “ 풌 + − 풌 + + ퟒ là số lẻ” .
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp suy ra 풌 − 풌 + ퟒ = + , với là số tự nhiên nào 
đó.
Khi đó ta có: 풌 + − 풌 + + ퟒ = 풌 + 풌 + − 풌 − + ퟒ 
 = 풌 − 풌 + ퟒ + 풌 = + + 풌 = + 풌 + là số lẻ
Vậy bất đẳng thức ∗ đúng với mọi số tự nhiên 풏 ≥ . 
 2.6/30. Cho tổng 푺 = + +. . . + .
 풏 . . 풏 풏+ 
a) Tính 푺 , 푺 , 푺 .
b) Dự đoán công thức tổng 푺풏 và chứng minh bằng quy nạp.
 Lời giải
a) 푺 = = , 푺 = + = , 푺 = + + = .
 . . . . . .ퟒ ퟒ
 풏
b) Dự đoán công thức 푺 = + +. . . + = .
 풏 . . 풏 풏+ 풏+ 
 풏
Ta chứng minh + +. . . + = ∗ bằng quy nạp theo 풏, với 풏 ≥ .
 . . 풏 풏+ 풏+ 
Với 풏 = ta có = .
 . 
Vậy ∗ đúng với 풏 = .
 풌
Giả sử ∗ đúng với 풏 = 풌 ≥ , tức là ta có + +. . . + = .
 . . 풌 풌+ 풌+ 2.7/30. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo 
 풏 풏− 
của một đa giác 풏 cạnh 풏 ≥ ퟒ là .
 Lời giải
 풏 풏− 
Ta chứng minh “số đường chéo của một đa giác 풏 cạnh là ” ∗ bằng quy nạp theo 
풏, với 풏 ≥ ퟒ.
 ퟒ ퟒ− 
Với 풏 = ퟒ ta có số đường chéo của một tứ giác bằng = .
Vậy ∗ đúng với 풏 = ퟒ.
Giả sử ∗ đúng với 풏 = 풌 ≥ ퟒ, tức là ta có “số đường chéo của một đa giác 풌 cạnh là 
풌 풌− 
 ”.
Ta cần chứng minh ∗ đúng với 풏 = 풌 + , tức là chứng minh “số đường chéo của một 
 풌+ 풌+ − 
đa giác 풌 + cạnh là ”.
 2.8/30. Ta sẽ “lập luận” bằng quy nạp toán học để chỉ ra rằng: “Mọi con mèo đều có
cùng màu”. Ta gọi 푷 풏 với 풏 nguyên dương là mệnh đề sau: “Mọi con mèo trong một đàn
gồm 풏 con mèo đều có cùng màu”.
Bước 1. Với 풏 = thì mệnh đề 푷 là “Mọi con mèo trong một đàn gồm 1 con đều có
cùng màu”. Hiển nhiên mệnh đề này là đúng!
Bước 2. Giả sử 푷 풌 đúng với một số nguyên dương k nào đó. Xét một đàn mèo gồm 풌 +
 con. Gọi chúng là 푴 , 푴 , . . . , 푴풌+ . Bỏ con mèo 푴풌+ ra khỏi đàn, ta nhận được một
đàn mèo gồm k con là 푴 , 푴 , . . . , 푴풌. Theo giả thiết quy nạp, các con mèo có cùng màu.
Bây giờ, thay vì bỏ con mèo 푴풌+ , ta bỏ con mèo 푴 để có đàn mèo gồm k con là
푴 , 푴 , . . . , 푴풌+ . Vẫn theo giả thiết quy nạp thì các con mèo 푴 , 푴 , . . . , 푴풌+ có cùng
màu. Cuối cùng, đưa con mèo 푴 trở lại đàn để có đàn mèo ban đầu. Theo các lập luận
trên: Các con mèo 푴 , 푴 , . . . , 푴풌 có cùng màu và các con mèo 푴 , 푴 , . . . , 푴풌+ có
cùng màu. Từ đó suy ra tất cả các con mèo 푴 , 푴 , . . . , 푴풌+ đều có cùng màu. EM CÓ BIẾT
 Phương pháp lập luận bằng quy nạp không phải là một phát minh của một cá 
nhân tại một thời điểm cố định nào. Người ta cho rằng các nhà toán học Hy Lạp đã biết 
tới các nguyên lí quy nạp, nhưng không thật sự rõ ràng.
 Lập luận bằng quy nạp lần đầu tiên xuất hiện một cách tường minh trong cuốn 
sách Arithmeticorum Libri Duo năm 1575 của nhà toán học và thiên văn học người Ý 
Francesco Maurolico (1494 – 1575).
 Nhà toán học người Anh John Wallis (1616 – 1703) được coi là người đầu tiên sử 
dụng thuật ngữ quy nạp.