Bài giảng Chuyên đề 2 - Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học (Phần 1) - Toán Lớp 10 Sách Kết nối tri thức

 CHƯƠNGCHUYÊN I ĐỀ 2
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. 
 NHỊ THỨC NEWTON
Bài 3. Phương pháp quy nạp toán học
Bài 4. Nhị thức Newton
Bài tập cuối chuyên đề 2 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
HĐ1: Hãy quan sát các đẳng thức sau
 = • Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế 
 + = ퟒ = phải của các đẳng thức trên?
 + + = = 
 + + + = = ퟒ • Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của 
 + + + + = = 풏 số lẻ đầu tiên
  + + + ⋯ + ( 풏 − ). 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
HĐ2: Xét đa thức 풑 풏 = 풏 − 풏 + ퟒ a) 풑 = ퟒ ; 풑 = ퟒ ; 
a) Hãy tính: 풑 , 풑 , 풑 , 풑 ퟒ , 풑 풑 = ퟒ ; 풑 ퟒ = ; 
 và chứng tỏ các kết quả nhận được đều 풑 = .
 là số nguyên tố. b) Trường hợp tổng quát
b) Hãy đưa ra một dự đoán cho 풑 풏 trong • Khẳng định 풑(풏) là số nguyên tố với mọi 
 trường hợp tổng quát. số tự nhiên 풏 ≥ là một khẳng định sai.
 • Mặc dù khẳng định này đúng với 풏 =
 , , ,  , ퟒ , nhưng nó lại sai khi 풏 = ퟒ . 
 Thật vậy, với 풏 = ퟒ ta có 풑(ퟒ ) = ퟒ là 
 hợp số (vì nó chia hết cho ퟒ ). Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 퐧 ≥ , ta có
 + + + + ⋯ + ( 퐧 − ) = 퐧 ( )
Lời giải: Ta chứng minh bằng quy nạp theo 풏.
• Bước 1. Với 풏 = ta có = . Như vậy ( ) đúng cho trường hợp 풏 = .
• Bước 2. Giả sử ( ) đúng với 풏 = 풌 thêm điều kiện 풌 ≥ , tức là ta có
 + + + ⋯ + 풌 − = 풌 → Giả thiết quy nạp
Ta sẽ chứng minh rằng ( ) cũng đúng với 풏 = 풌 + thêm điều kiện 풌 ≥ , nghĩa là ta sẽ 
chứng minh
 + + + + ⋯ + ( (풌 + ) − = (풌 + ) .
Thật vậy, ta có:
 + + + + ⋯ + 풌 + − = + + + + ⋯ + 풌 − + ( 풌 + )
 = 풌 + ( 풌 + ) →Theo giả thiết quy nạp
 = 풌 + 풌 + = (풌 + ) 
Vậy ( ) đúng với mọi số tự nhiên 풏 ≥ . Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên 풏 ≥ 풑 (풑 là một số tự 
nhiên nào đó) thì
• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với 풏 = 풑.
• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên 풏 = 풌 ≥ 풑 và chứng minh mệnh đề đúng 
 với 풏 = 풌 + . Kết luận. Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp, ta có
 풌+ 풌+ (풌+ ) − 
 − −  − − = . − = .
 풌 (풌+ ) 풌 (풌+ ) 풌 (풌+ ) 
 풌+ (풌+ − )(풌+ + ) 풌+ 
 = . = .
 풌 (풌+ ) (풌+ )
Vậy ( ) đúng với mọi số tự nhiên 풏 ≥ . 2. Một Số Ứng Dụng Khác Của Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
 퐧. 퐧 + 퐧 + luôn chia hết cho 3 (3)
Lời giải: Ta chứng minh ( ) bằng quy nạp theo 풏.
Với 풏 = ta có . + + = ⋮ . Vậy ( ) đúng với 풏 = .
Giả sử( ) đúng với 풏 = 풌 thêm điều kiện 풌 ≥ , 풌 ∈ ℕ , tức là 풌(풌 + )(풌 + ) ⋮ , ta 
cần chứng minh ( ) đúng với 풏 = 풌 + .
Từ giả thiết quy nạp ta suy ra 풌(풌 + )(풌 + ) = với là số tự nhiên nào đó.
Khi đó ta có
(풌 + )(풌 + )(풌 + ) = (풌 + )(풌 + )(풌 + ) = 풌(풌 + )(풌 + ) + (풌 + )(풌 + )
 = + (풌 + )(풌 + ) = + (풌 + )(풌 + ) ⋮ .
Vậy ( ) đúng với mọi số tự nhiên 풏.